8 Funkcja wykładnicza i logarytmy

8 FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY
1
8 Funkcja wykładnicza i logarytmy
11 Rozwia˛ż równania:
8.1 Funkcja wykładnicza
1. Oblicz:
−3
a) 2
b)32
1
5
c)
( 49 )− 12
25
d)
(
) 1
8 −3
27
− 13
e) 64
2. Zapisz za pomoca˛ pot˛egi:
√
√
√
√
3
5
a) liczby 2:
2 · 8 b) liczby 3:
27 · 81
f)
(
1. Oblicz logarytmy:
√
4
√
64 3 16
d) y = 2−x + 2.
c) y = (1, 4)x+1 ;
y=a
a) 4log4 3 ;
e) 2log2 32 ;
i) 49log7 2 ;
a
m)
1
Rys.4.18
a) 2 = x ;
b) 2 =
3
4x
+
−x
c) 2
= 2x + 1.
b) log5 125;
f) log2
√1
2
c) logx
c) log3 91 ;
√
g) log25 5
1
81
d) logx 4 = −2.
= 4;
d) log2
√
2
h) log4 2.
√
b) log3 16 − log3 2;
f) log 102+2 log 7 ;
j) log5 15 − log5 75;
log 2
1
14
10
c) 2 log
d) log3 12
+ log3 15
+ log3 21
4−log 8 ;
g) log6 4 + log6 9; h) log 0, 12 − log 0, 3 + log 25
k) log3 54 − log3 2; l) log5 0, 04 − log5 0, 008
n) log 2 + log 50;
o) log 12 6 − log 12 3.
b) log5 4.
7. Znajdź x, jeżeli:
8. Określ zbiór wartości parametru a, dla których funkcja określona wzorem f (x) = (a −
2a)x jest funkcja˛ rosnac
˛ a.˛
)x
(
2m
jest
9* Wyznacz zbiór wartości parametru m, dla których funkcja postaci f (x) = m+1
funkcja:
˛ a) malejac
˛ a,˛ b) rosnac
˛ a.˛
2
t
log6 125
log6 5 ;
a) log2 3;
5
4;
d) log 12 x = −2.
6. Oblicz posługujac
˛ si˛e kalkulatorem:
7. Rozwia˛ż graficznie równania:
x
b) logx 8 = 21 ;
5. Oblicz:
x
2
c) log√2 x = 4;
x
1
-1
1
e) log3 27
j) log25 25
3. Oblicz x(x > 0, x ̸= 1), jeżeli:
4. Oblicz:
a) log2 12 ;
√
e) log3 3 3
y
6. Wykres funkcji y = ax przedstawiono na
rysunku 4.18. Naszkicuj wykres funkcji:
a) y = −ax ;
b) y = ( a1 )x ;
x
c) y = 1 + a ; d) y = ax−2 ;
e) y = 2ax ;
f) y = −2ax ;
x
g) y = a2x ;
h) y = a 2 .
= 53x .
√
d) log2 (4 8)
i) log√2 1
1
c) log4 √
3
16
h) log9 81
b) log 12 x = −3;
a) log2 x = 5;
a) logx 64 = 3;
5. Naszkicuj wykres funkcji:
b) y = 4x + 1;
+2
2. Oblicz x(x > 0), jeżeli:
4. Wartości funkcji danej wzorem f (x) = ax sa˛ wi˛eksze od 1 dla argumentów ujemnych. Jaka˛
liczba˛ jest a?
x
√
b) log2 (2 2)
g) log4 2
a) log2 8
f) log3 √927
3. Określ dziedzin˛e, zbiór wartości oraz sporzadź
˛ wykres funkcji f (x) = 2x−2 − 3 .
a) y = 2x−2 ;
c) 5x
8.2 Funkcja logarytmiczna
) 1
1 −3
125
c) liczby 4:
2
b) 6x+2 + 2 · 6x−1 = 1308
a) 24x−5 = 8;
10 Wzór m = m0 · ( 12 ) T opisuje mas˛e próbki promieniotwórczego izotopu o okresie połowicznego rozpadu T , po upływie czasu t (m0 - masa poczatkowa
˛
próbki). Czastka
˛
radioaktywna ma mas˛e 10 gramów, a rozpad zmniejsza jej mas˛e o 20% każdego roku.
a) Znajdź wzór na mas˛e m tej czastki
˛
po t latach.
b) Na podstawie wykresu m(t) jako funkcji zmiennej t oceń (do jednej dziesi˛etnej roku),
kiedy masa tej czastki
˛
wynosiła 20 gramów, a kiedy 5 gramów.
a) log2 x = log2 3;
c) log5 x = 2 log5 3;
b) log2 x = log2 3 + log2 5;
d) log6 x = 2 log6 8 + 12 log6 12.
8. Dla jakich wartości x wyrażenie ma sens:
a) log2 (2x + 1);
e) logx+2 3;
i) logx2 −25 7;
b) log3 (−x + 1);
f) logx2 9;
j) logx (x2 − 9);
c) log x2 ;
g) logx (x + 2);
9. Znajdź x:
a) logx 3 = log5 3;
b) logx 4 = 2 log8 2.
d) log5 (x2 − 4);
h) logx−2 (x2 + 2x − 3)
8 FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY
2
a) log(x + 5) − log(x − 2) = 1
c) 2 + log3 (2x + 1) = log3 (5x + 22)
e) log2 (x + 1) + log2 (x + 3) = 3
g) 2 log4 (x − 2) + 3 log8 (x + 2) = 5.
10. Uzupełnij tabelk˛e:
x
a)
log2 x
1
2
1
2
1
2
x
b)
log 21 x
4
1
2
4
11. Określ dziedzin˛e, zbiór wartości oraz wykonaj wykres funkcji
7. Rozwia˛ż nierówność
2
4 · 2x > 23x
f (x) = log 12 (x − 2) − 3
8. Rozwia˛ż nierówność
12. Oblicz wiek znaleziska, w którym zmierzona zawartość izotopu 14 C jest równa 70%
poczatkowej
˛
zawartości tego izotopu. (Odp.
około 2933 lat)
13. Oblicz wiek znaleziska, w którym zmierzona zawartość izotopu 14 C jest mniejsza od
zawartości poczatkowej
˛
o: a) 50%, b) 75%.
14. Oblicz wiek znaleziska, w którym stosunek
ilości izotopu 14 C do 12 C jest równy 1 :
1013 .
W żyjacym
˛
organizmie (roślinnym lub
zwierz˛ecym) stosunek ilości radioaktywnego izotopu w˛egla 14 C do izotopu
nieradioaktywnego 12 C wynosi około
1.5·10−12 . Po śmierci organizmu ilość
radioaktywnego 14 C maleje (okres
jego połowicznego rozpadu wynosi
około 5700 lat), a ilość izotopu 12 C
nie zmienia si˛e. Podczas prac archeologicznych pomiar zawartości izotopu
14
C może wi˛ec stanowić podstaw˛e do
określenia wieku znalezisk.
8.3 * Równania i nierówności - p. rozszerzony
1. Rozwia˛ż równania:
a) 2x+1 = 8
b) 2x
2
+2x
=8
3
c) ( 34 )x = ( 43 )x
2
+x
√
1
d) ( 3 2)x−3 = 16 3 x+2 .
1
64
c)
2. Rozwia˛ż równania:
a) 3x+2 · 93x−1 = 27x+4
2
b) (0, 5)x · 22x+2 =
1
25
x+3
x+1
· 5 x−1 = 25 x−1 .
3. Rozwia˛ż równania:
a) 2x+2 − 2x−1 = 14
d) 22x + 5 · 2x + 6 = 0
b) 3x+1 − 3x − 3x−1 = 15
x
3x −2
e) 33x +2
+3 = 3x −3 .
c) 8 · 5x + 7 · 5x−1 = 22 + 5x+1
4. Rozwia˛ż równania:
a) log2 x = 3
e) ln x = −2
b) log0,5 x = 4
c) log(x − 3) = −1
d) log5 x2 = 0
5. Rozwia˛ż równania:
a) log3 (log2 x) = 0
d) log2 (log4 x) = −1
6. Rozwia˛ż równania:
b) logπ (log 21 x) = 0
e) log3 (log5 x + 7) = 2.
b) log3 (log2 (log7 x)) = 0
d) log5 (x − 1) − log5 (4x + 1) = log5
f) log3 x + log9 x + log81 x = 7
c) ln(ln x) = 0
(
log
x−2
5x + 2
)
<0
x−5
5