Wielkości opisujące sygnały okresowe Sygnał sinusoidalny

Wielkości opisujące sygnały okresowe Sygnał sinusoidalny

Wielkości opisujące sygnały okresowe
prąd elektryczny
prąd stały (DC)
zmienny okresowo
przemienny
sinusoidalny
Wartość chwilowa – wartość, jaką sygnał przyjmuje w danej chwili: x x(t)
Wartość szczytowa – największa wartość chwilowa, jaką sygnał osiąga w
rozpatrywanym przedziale czasu: Um Im
Wartość średnia półokresowa lub całookresowa – średnia arytmetyczna z wartości
chwilowych sygnału okresowego o okresie T obliczona dla odpowiedno: połowy
okresu lub jednego okresu:
prąd zmienny (AC)
zmienny bezokresowo
Wartość skuteczna – pierwiastek kwadratowy z wartości średniej kwadratu sygnału
okresowego, obliczonej dla jednego okresu T
tętniący
odkształcony
1
2
Sygnał sinusoidalny
Chwilowa wartość napięcia sinusoidalnie zmiennego:
Amplituda
Faza
Pulsacja
Okres
Wartość skuteczna prądu okresowego odpowiada takiej wartości prądu
stałego, który płynąc przez tą samą rezystancję R w czasie okresu T,
spowoduje wydzielenie na tej rezystancji takiej samej ilości ciepła, co
tenże prąd okresowo zmienny w tym samym czasie.
Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnie zmiennego
(i analogicznie prądu sinusoidalnie zmiennego):
3
4
5
6
Metoda symboliczna (dla obwodów AC) - wprowadzenie
Dwójnik szeregowy RLC
Dwójnik – element mający dwa zaciski
Niech do dwójnika z idealnymi elementami RLC doprowadzone jest
napięcie sinusoidalnie zmienne:
7
8
Prawo Ohma w postaci zespolonej:
U=Z I
Z – impedancja zespolona (opór pozorny zespolony) [Ω] :
Z=Z e jϕ
Z – moduł impedancji; ϕ - argument impedancji
Prawo Ohma w postaci zespolonej:
U=Z I
rezystancja [Ω] : R=Re(Z)
reaktancja [Ω] : X=Im(Z)
Z=( R2+X 2 )½
–1
admitancja [S] : Y=Z
konduktancja [S] : G=Re(Y)
susceptancja [S] : B=Im(Y)
Y=( G2+B 2 )½
Ogólnie:
G ≠ R –1
B ≠ X –1
9
Napięcie (spadek napięcia) na rezystorze jest w fazie z prądem
10
Wykresy wektorowe
Napięcie (spadek napięcia) na cewce wyprzedza prąd o kąt fazowy π/2 , czyli o ¼T
¼T
Napięcie (spadek napięcia) na kondensatorze opóźnia się względem prądu o kąt
fazowy π/2 , czyli o ¼T
¼T
11
12
Dwójnik równoległy RLC
13
14
Moc w obwodach AC
Moc chwilowa przy wymuszeniu sinusoidalnym
( dla uproszczenia faza początkowa napięcia ψ = 0 ):
UIcosϕ
UIcosϕ = const
Gdy moc chwilowa p(t) >0 – energia dostarczana jest ze źródła do odbiornika.
Gdy moc chwilowa p(t) <0 – energia dostarczana jest zwracana do źródła przez
odbiornika (energia nagromadzona w polu elektrycznym - kondensatory lub
magnetycznym - cewki).
składowa stała + składowa zmienna
Moc chwilowa p przy przebiegach sinusoidalnych oscyluje sinusoidalnie wokół
wartości UIcosϕ
UIcosϕ z częstotliwością 2/T i z amplitudą równą UI.
15
16
Energia dostarczona do obwodu w ciągu okresu T :
Z wykresów widać, że:
Wartość średnia mocy chwilowej w okresie T to moc czynna:
Skąd moc czynna [ W ] :
Analogicznie moc bierna [ Var ] :
Moc czynna jest równa składowej stałej mocy chwilowej.
17
18
moc pozorna [VA] :
Trójkąt mocy
składowa nieujemna (czynna) + składowa oscylacyjna (bierna)
Moc bierna: indukcyjna jest dodatnia; pojemnościowa – ujemna
Współczynnik mocy :
19
Moc bierna to amplituda składowej oscylacyjnej mocy chwilowej.
Interpretacja prawdziwa tylko dla obwodów
jednofazowych z przebiegami idealnie sinusoidalnymi.
20
Rezonans w obwodach AC – szeregowy (napięć)
Postać zespolona mocy
Rezonans – stan obwodu, w którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie
Pulsacja rezonansowa:
Częstotliwość rezonansowa:
21
22
Rezonans w obwodach AC – równoległy (prądów)
Obwód szeregowy RLC
Stan przy częstotliwości
równej rezonansowej
(charakter rezystancyjny) Stan przy częstotliwości
większej od rezonansowej
Stan przy częstotliwości
(charakter indukcyjny)
mniejszej niż rezonansowa
(charakter pojemnościowy)
Pulsacja rezonansowa:
Częstotliwość rezonansowa:
23
24
Obwód równoległy RLC
Sprzężenia magnetyczne cewek
Stan przy częstotliwości
równej rezonansowej
(charakter rezystancyjny)
rezystancyjny) Stan przy częstotliwości
większej od rezonansowej
Stan przy częstotliwości
(charakter pojemnościowy)
pojemnościowy)
mniejszej niż rezonansowa
(charakter indukcyjny)
indukcyjny)
Strumienie magnetyczne położonych blisko siebie cewek przenikają się.
Całkowity strumień skojarzony z daną cewką:
Ψ =Ψ +Ψ
Ψ =Ψ +Ψ
gdzie:
1
11
12
2
22
21
Ψ11 - strumień cewki 1 wytworzony przez prąd tej cewki;
Ψ12 - strumień wytworzony w cewce 2, który przenika do cewki 1;
25
Ψ22 , Ψ21 -analogicznie
26
Jeżeli prądy i1 , i2 i napięcia u1, u2 są sinusoidalnie zmienne, to można wyrazić je jako wektory wirujące:
Indukcyjności własne:
Indukcyjności wzajemne:
Czyli:
W środowisku o tej samej przenikalności magnetycznej indukcyjności
wzajemne cewek są równe: M12=M21=M
gdzie: k – współczynnik sprzężenia dla dwóch
cewek sprzężonych magnetycznie
skąd:
27
28
Układy trójfazowe
Układ wielofazowy – zbiór obwodów elektr.
w których działają napięcia źródłowe
sinusoidalne o jednakowej częstotliwości i
przesunięte względem siebie w fazie,
wytwarzane w jednym źródle energii
(generatorze wielofazowym).
Faza – pojedynczy obwód generatora
wielofazowego
W układach 3-fazowych kolejne fazy oznacza
się jako:
A, B, C lub L1, L2, L3,
L3, rzadziej: R, S, T.
T.
29
30
Wartości chwilowe napięć fazowych układu 3f symetrycznego:
Napięcia źródłowe generatora wielofazowego o liczbie faz równej n tworzą
układ symetryczny zasilania,
zasilania, gdy we wszystkich fazach mają równe
wartości skuteczne i przesunięte są względem siebie o kąt:
W postaci zespolonej:
Wprowadźmy tzw. operator obrotu o kąt 120o:
Dla układu 3-fazowego α=k2π/3
Wówczas:
symetryczne źródło:
Zauważmy, że:
32
Napięcia międzyfazowe
– napięcia między punktami zewnętrznymi poszczególnych faz:
Relacja pomiędzy napięciem fazowym f i między fazowym mf (modułami):
(trójkąt równoboczny)
Prąd płynący w przewodzie fazowym to prąd przewodowy:
przewodowy: IA , IB , IC
33
34
Prąd płynący przez przewód neutralny to prąd zerowy (neutralny
(neutralny)) IN lub I0
Układ 3f λ − λ 4-ro przewodowy, odbiornik niesymetryczny
ZN ≠ 0,
skąd UN ≠ 0
Napięcie niezrównoważenia
Napięcia na fazach odbiornika i prądy fazowe:
35
36
Układ 3f λ − λ 4-ro przewodowy, odbiornik niesymetryczny
Układ 3f λ − λ trój-przewodowy, odbiornik niesymetryczny
ZN = 0 (zwarcie),
skąd UN = 0
YN = 0 (przerwa),
skąd IN = 0
UA=EA
UB=EB
UC=EC
Pomimo, że UN = 0,
to IN = IA+IB+IC≠0
IA+IB+IC=0
IA=EAYA
IB=EBYB
IC=ECYC
IA=(EA-UN)YA
IB=(EB-UN)YB
IC=(EC-UN)YC
37
38
Układ 3f , odbiornik symetryczny
Moce w układach wielofazowych
YA=YB=YC=Y
Suma mocy chwilowych we wszystkich n fazach:
skąd:
UA=EA
UB=EB
UC=EC
Gdy:
W układach wielofazowych symetrycznych,
symetrycznych,
o licznie faz co najmniej 3 ,
suma mocy chwilowych wszystkich faz nie zależy od czasu
(tzw. układy wyrównane)
wyrównane)
Gdy odbiornik jest symetryczny
(bez względu, czy układ jest 3,
czy 4-ro przewodowy), to zawsze:
39
40
Moc czynna pobierana przez jedną fazę odbiornika:
Pomiary mocy czynnej w obwodach 3f
Gdy układ jest symetryczny (źródło i odbiornik),czyli:
Układ symetryczny
pomiar jednym watomierzem
Wówczas moc czynna odbiornika:
Moc bierna i pozorna:
41
42
Układ niesymetryczny
pomiar dwoma watomierzami
Układ niesymetryczny
pomiar dwoma watomierzami (Układ
(Układ Arona)
Arona)
Gdy układ jest symetryczny:
43
44
45
46
Układ niesymetryczny
pomiar trzema watomierzami