Konkurs2006- zadania na II etap mat odp 1

KONKURS MATEMATYCZNY
dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego
10 lutego 2007 r. – zawody II stopnia (rejonowe)
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ – propozycje
Odpowiedzi do części I:
1
a
2
b
3
c
4
a
5
d
6
c
7
d
8
b
9
b
10
c
Uwaga!
Za kaŜdą prawidłową odpowiedź w tej części testu przyznajemy po 1 punkcie, brak
odpowiedzi lub odpowiedź błędna – 0 punktów.
Maksymalna liczba punktów za część z zadaniami zamkniętymi wynosi 10.
Przykładowe rozwiązania zadań z części II:
Nr
zadania
1
Przykładowe rozwiązanie
a)
2
5 +1
- to odwrotność złotej liczby.
Wykorzystując wzór skróconego mnoŜenia na róŜnicę
kwadratów dwóch wyraŜeń, moŜna odwrotność złotej
liczby doprowadzić do postaci:
(
)
(
)
2 5 −1
2 5 −1
=
=
5 −1
4
5 −1
,
2
korzystając z danych zadania mamy:
5 +1
–1=
2
5 +1− 2
=
2
5 −1
2
b) Podnosząc złotą liczbę do kwadratu otrzymamy:
(
5 +1
2
)2 =
Proponowana punktacja
a) 1 – za sprawdzenie, Ŝe
odwrotność złotej liczby
jest równa złotej liczbie
pomniejszonej o 1,
b) 1- za podniesienie złotej
liczby do kwadratu,
1 – za sprawdzenie, Ŝe
dodanie 1 do złotej
liczby równa się jej
kwadratowi,
c) 1- za podniesienie złotej
liczby do sześcianu,
1 – za sprawdzenie, Ŝe
dodanie liczby 1 do
podwojonej złotej liczby
daje jej sześcian.
5 + 2 5 +1 3 + 5
=
,
4
2
korzystając z danych zadania mamy:
5 +1
+1=
2
5 +1+ 2 3 + 5
=
2
2
Razem: 5 punktów
c) Podnosząc złotą liczbę do sześcianu otrzymamy:
 5 + 1  3 5 5 + 15 + 3 5 + 1
8 5 + 16


=
=
 2  =
8
8


5 +2,
korzystając z danych zadania mamy:
5 +1
ּ2+1=
2
2
5 +2.
Oznaczając d – długość drabiny, s = x + y – szerokość 1- wykonanie rysunku
ulicy,
z oznaczeniami
1- zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa ( wypisanie
zaleŜności między bokami dla
dwóch trójkątów prostokątnych:
o bokach: 9, x, d i 12, y, d,
1 - zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa w celu opisania
korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy :
zaleŜności s2 + 9 = (d 2 )2 ,
1- rozwiązanie układu równań
( uzyskanie poprawnych
wyników),
1- zapisanie odpowiedzi
z jednostką.
x2 + 81 = d2, y2 + 144 = d2, s2 + 9 = (d 2 )2 = 2d2.
Stąd: x2 – y 2 = 63, (x + y )2 + 9 = x2 + y 2 + 225,
x = 12, y = 9, s = 21, d = 15.
Odp.: Drabina ma długość 15 metrów i jest ustawiona na
ulicy o szerokości 21 metrów.
Razem: 5 punktów
Uwaga!
Za kaŜdy inny poprawny sposób rozwiązania zadania przyznajemy maksymalną liczbę
punktów. Jeśli uczeń zastosował błędną metodę (lub narysował zły rysunek, niezgodny
z warunkami zadania) nie przyznajemy punktów za całe zadanie.
Razem za część z zadaniami otwartymi: 10 punktów
Łącznie za cały test (I i II część) przyznajemy maksymalnie 20 punktów. Uczeń jest
rekomendowany do zawodów III stopnia (wojewódzkich), jeśli uzyskał co najmniej
17 punktów (tj. 85%).