N - DSP AGH

Sygnały losowe
Starwars 256 próbek
1
Wartość średnia i rozstęp
Niech sygnał
s  s (0), s (1), , s ( M  1)  
T
przyjmuje jedną z N wartości, tzn.
s (i )  s1 , s2 ,  , s N 
Wartość średnia
rozstęp
gdzie
1
sśr 
N
N  M.
N
s
n 1
n
sR  maxs1 ,.., s N  mins1 ,.., s N .
2
M
Prawdopodobieństwo
Niech sygnał
s  s (0), s (1), , s ( M  1)  
T
przyjmuje jedną z N wartości, tzn.
s (i )  s1 , s2 ,  , s N 
gdzie N  M .
Wartościom tym przyporządkowane są
prawdopodobieństwa
p   p1 , p2 ,  , p N   
T
N
gdzie pn  M n M
n  1,2,  , N
jest krotnością występowania sn w sygnale s.
3
M
Wartość oczekiwana i momenty
Wartość oczekiwana sygnału losowego
N
E s    s n p n
n 1
i-ty moment sygnału losowego
N
mi  E ( s )   s pn
i
n 1
i
n
gdzie i jest wykładnikiem potęgi.
Pierwszy moment jest wartością oczekiwaną.
4
Momenty centralne
i-ty centralny moment sygnału losowego


N
 i  E s  E ( s)   sn  E ( s)  pn
i
i
n 1
Drugi centralny moment nazywa się wariancją i może być
wyrażony poprzez drugi moment
N
N
 2   s pn  2 E ( s )  sn pn  E ( s )
n 1
2
n
2
n 1
 2  m2  2 E ( s )  E ( s )  m2  E ( s )
2
2
2
Pierwiastek kwadratowy z wariancji jest odchyleniem standardowym.
  2
5
Prezentacja trzech sygnałów
Sygnał który może
wydawać się sygnałem
zdeterminowanym
Chopin 64 próbki
Handel 64 próbki
Starwars 64 próbki
Sygnał w którym należy
spodziewać się zjawisk
losowych
6
Łączny moment dwóch sygnałów
Dla dwóch sygnałów
1
s
i
2
s
łączny moment definiujemy jako


N1 N 2
mij  E 1 s 2 s   s s pkl
gdzie
pkl
i
j
k 1 l 1
i
j
1 k2 l
jest prawdopodobieństwem, że sygnał pierwszy
przyjmie wartość
s
1 k
a równocześnie sygnał drugi
s.
2 l
7
Centralny łączny moment
ij centralny łączny moment zdefiniowany jest wzorem

ij  E 1 s  E (1 s)  2 s  E ( 2 s)
i
j

czyli
N1 N 2
 ij   1 sk  E (1 s )   2 sl  E ( 2 s )  pkl
i
j
k 1 l 1
8
Kowariancja
Szczególnym przypadkiem centralnego łącznego momentu
jest kowariancja dwóch sygnałów losowych
cov(1 s 2 s )  11  E 1 s  E 1 s  2 s  E  2 s 
czyli

N1 N 2
cov(1 s 2 s )   1 sk  E 1 s  2 sl  E  2 s  pkl
k 1 l 1
N1 N 2
N1 N 2

1 s k 2 sl

p kl  E  2 s 
k 1 l 1
1 sk
k 1 l 1
N2
 s p
 m11  E  2 s 
1 k
k 1
k 1
1 sk
N1
2 l
l 1
N2

p k  E 1 s 
l 1
2 sl
2 sl
p kl  E 1 s E  2 s 
k 1 l 1
 s p
 E 1 s 
l 1
N1

 m11  E  2 s 
kl
N2
N1 N 2

 E 1 s 
N1
p kl 
kl
 E 1 s E  2 s 
k 1
pl  E 1 s E  2 s 
9
Kowariancja
Szczególnym przypadkiem centralnego łącznego momentu
jest kowariancja dwóch sygnałów losowych
czyli

cov(1 s 2 s )  11  E 1 s  E 1 s  2 s  E  2 s 
cov(1 s 2 s )   1 sk  E 1 s  2 sl  E  2 s  pkl
k 1 l 1
N1 N 2
N1 N 2

k 1 l 1
N1 N 2
1 s k 2 sl

p kl  E  2 s 
k 1 l 1
cov(1 s 2 s )  m11  E 1 s  E  2 s 
1 sk
p kl 
N1 N 2

 E 1 s 
2 sl
p kl  E 1 s E  2 s 
k 1 l 1
Kowariancja równa się różnicy momentu łącznego
i iloczynu wartości oczekiwanych.
10
Sygnały niezależne
Jeżeli sygnały
1
pkl  pk pl
s
i
2
s
są niezależne, to wtedy
a stąd wynika
N1
N2
k 1
l 1
cov(1 s 2 s )   1 sk  E 1 s  pk   2 sl  E  2 s  pl
czyli
cov(1 s 2 s )  E 1 s   E 1 s E  2 s   E  2 s   0
Zatem dla sygnałów niezależnych kowariancja jest równa zeru.
11