Jak liczyć pracę zmiennej siły?

Jak liczyć pracę zmiennej siły?
Jeśli siła jest stała, to jej zależność
od przesunięcia wygląda tak:
F
x
Dla uproszczenia załóżmy, że siła i przesunięcie są tak samo skierowane. Jak wtedy na podstawie
wykresu policzyć pracę? Praca to iloczyn siły i przesunięcia. Gdy ciało przesuniemy o x, wtedy...
F
F
W = Fx
x
x
...praca jest równa Fx a to jest pole pod wykresem siły w zależności od przesunięcia (pole
prostokąta). No dobrze, tak jest dla stałej siły. Nie mamy jednak pewności, że tak będzie dla
zmiennej. Tak rzeczywiście będzie, ale to wymaga jakiegoś uzasadnienia. To był dopiero wstęp, a
nie dowód! Idea jest taka. Całe przesunięcie x podzielmy na tak małe części, że można będzie
uważać siłę za stałą w obrębie tych części. Jest to oczywiście przybliżenie, ale na pewno
zmienność siły na krótkiej drodze jest trudniejsza do uchwycenia niż na długiej
F
x
Oto wykres pewnej zmiennej siły. Podzieliłem całe przesunięcie pchanego tą siłą ciała na osiem
części. Górne boki prostokątów to średnie siły działające w poszczególnych przedziałach drogi.
Inaczej mówiąc przybliżyłem rzeczywistą, zmienną siłę, siłą która skokowo zmienia swą wartość.
W obrębie każdego z przedziałów siła ma więc stałą wartość, stosuje się więc do niej to, co
powiedziałem powyżej: praca w tym czasie jest równa polu prostokąta, a praca całkowita to suma
pól wszystkich prostokątów. Niestety nie jest to praca, którą mamy policzyć, lecz jedynie jej
przybliżenie.
Trudno uznać to przybliżenie za dobre, zwłaszcza w pierwszym, siódmym i ósmym przedziale,
gdzie siła zmienia się dość szybko. Co możemy zrobić, by to przybliżenie poprawić? Oczywiście
podzielić przesunięcie na mniejsze kawałki. Przekonajcie się, że skokowe zmiany siły lepiej teraz
naśladują ciągłe zmiany siły.
F
x
No, widać, że jest znacznie lepiej. Praca jest znów równa sumie pól wszystkich prostokątów.
Gdybyśmy tak powiększali jeszcze ilość przedziałów „schodki” coraz lepiej naśladowałyby przebieg
wykresu siły a prostokąty coraz szczelniej wypełniałyby obszar pod wykresem. Suma ich pól
byłaby coraz bliższa polu figury pod wykresem. Zatem: pole pod wykresem siły (w zależności
od przesunięcia) jest równe wykonanej przez tę siłę pracy. Jeżeli kierunek siły i
przesunięcia tworzą ze sobą stały przez cały czas kąt α, to pole pod wykresem należy
pomnożyć przez cosα. Na boku zostawmy rozważania co by było, gdyby jeszcze kąt zmieniał się
w trakcie ruchu.
F
W
x