MATEMATYKA

Rozszerz swoje horyzonty
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MATEMATYKA
dla dociekliwych licealistów
Zadania i nie tylko
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FUNKCJE
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O
Spis treści
Część I
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. LICZBY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. FUNKCJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. CIĄGI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4. KOMBINATORYKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5. GEOMETRIA PŁASKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6. TRYGONOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7. GEOMETRIA ANALITYCZNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Rozwiązania zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Część II
8. STEREOMETRIA
9. PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA
10. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY
Rozwiązania zadań
Wstęp
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Autor
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1. LICZBY
Liczby naturalne
‹…œ„›…ƒÏ‘™‹–‡
N {0, 1, 2, 3, …}
Z {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}
⎫
⎧p
⎨ : p ∈ Z , q ∈ Z i q ≠ 0⎬
⎭
⎩q
‹…œ„› ‹‡™›‹‡”‡ –‘ –‡ Ž‹…œ„›ǡ –×”‡ ‹‡ †ƒ†œ¦ •‹¸ ’”œ‡†•–ƒ™‹© ™ ’‘•–ƒ…‹
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‹…œ„›™›‹‡”‡‹‹‡™›‹‡”‡”ƒœ‡–™‘”œ¦œ„‹×”Ž‹…œ„”œ‡…œ›™‹•–›…Š R.
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Q
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–ƒŒƒ™…ƒÏ‡Œä™‹ƒ–‘™‡ŒŽ‹–‡”ƒ–—”œ‡Ǥ
Liczby całkowite. Dzielenie z resztą
Twierdzenie 1.1 ȋ‘†œ‹‡Ž‡‹—œ”‡•œ–¦Ȍ
Žƒ†‘™‘Ž›…Š†™×…ŠŽ‹…œ„…ƒÏ‘™‹–›…Ša i b, b zͲǡ‹•–‹‡Œ‡†‘Ïƒ†‹‡Œ‡†ƒ
Ž‹…œ„ƒ…ƒÏ‘™‹–ƒq‹†‘Ïƒ†‹‡Œ‡†ƒŽ‹…œ„ƒ…ƒÏ‘™‹–ƒr, 0 d r _b_ǡÇ
a q · b r.
‹…œ„ƒq jest ‹Ž‘”ƒœ‡†œ‹‡Ž‡‹ƒ a’”œ‡œbǡƒŽ‹…œ„¸rƒœ›™ƒ›”‡•œ–¦œ–‡‰‘
†œ‹‡Ž‡‹ƒǤ
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…Ȍ „Ž‹…œ”‡•œ–¸œ†œ‹‡Ž‡‹ƒ–ͳͶ’”œ‡œ͵Ǥ
†Ȍ „Ž‹…œ”‡•œ–¸œ†œ‹‡Ž‡‹ƒ–ͳͶ’”œ‡œ–3.
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„Ȍ ͳͶ 4 · 3 ʹǤŽ‘”ƒœ‡Œ‡•–Ͷǡƒ”‡•œ–¦ʹǤ
…Ȍ –14 –5 · 3 ͳǤŽ‘”ƒœ‡Œ‡•––ͷǡƒ”‡•œ–¦ͳǤ
†Ȍ –14 5 · (–3) ͳǤŽ‘”ƒœ‡Œ‡•–ͷǡƒ”‡•œ–¦ͳǤ
6
Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I
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Wͳ‡•œ–ƒ‹‡Œ‡•–Ž‹…œ„¦—Œ‡¦Ǥ
W2‡•œ–ƒœ†œ‹‡Ž‡‹ƒa’”œ‡œbŒ‡•––ƒƒ•ƒƒŒƒ”‡•œ–ƒœ†œ‹‡Ž‡‹ƒa’”œ‡œ–b.
W3‡äŽ‹‹Ž‘”ƒœ‡†œ‹‡Ž‡‹ƒa’”œ‡œb jest qǡ–‘‹Ž‘”ƒœ‡†œ‹‡Ž‡‹ƒa’”œ‡œ–b
jest –q.
W4‡•œ–ƒœ†œ‹‡Ž‡‹ƒa’”œ‡œb•‹¸‹‡œ‹‡‹ǡŒ‡äŽ‹†‘a†‘†ƒ›†‘™‘Ž¦
™‹‡Ž‘”‘–‘ä©Ž‹…œ„›b.
W5‡äŽ‹”‡•œ–¦œ†œ‹‡Ž‡‹ƒa’”œ‡œc jest r1ǡƒ”‡•œ–¦œ†œ‹‡Ž‡‹ƒb’”œ‡œc jest r2,
–‘’”œ›†œ‹‡Ž‡‹—’”œ‡œc
ȋ‹Ȍa b i r1 r2ƒŒ¦–‡•ƒ‡”‡•œ–›
ȋ‹‹Ȍa – b i r1 – r2ƒŒ¦–‡•ƒ‡”‡•œ–›
ȋ‹‹‹Ȍab i r1r2ƒŒ¦–‡•ƒ‡”‡•œ–›Ǥ
‘™×†
WͳǤ‘”‡äŽ‡‹—”‡•œ–›rœ†œ‹‡Ž‡‹ƒa’”œ‡œbŒ‡•–‹‡”×™‘ä©Ͳd r _b_.
W2 i W3Ǥ‘”‘a qb r, to a –q(–b) r.
W4Ǥ‹‡…Šk„¸†œ‹‡†‘™‘Ž¦Ž‹…œ„¦…ƒÏ‘™‹–¦Ǥ‡äŽ‹a qb r,
to a – kb (q – k) b r.
W5Ǥœƒ…œ›a q1c r1, b q2c r2.
a b q1c q2c r1 r2 (q1 q2)c r1 r2
a – b q1c – q2c r1 – r2 (q1 – q2)c r1 – r2
a · b (q1c r1)(q2c r2) q1q2c2 q1r2c q2r1c r1r2
(q1q2c q1r2 q2r1)c r1r2
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‘œ™‹¦œƒ‹‡
Š‘†œ‹‘”‡•œ–¸œ†œ‹‡Ž‡‹ƒ’”œ‡œͷŽ‹…œ„›ʹ100 3100 1625 8125Ǥ–‘•—Œ¦…W3†‘
ʹͷ…œ›‹×™ǡ‘Ǐ›ͳ͸œƒ•–¦’‹©’”œ‡œͳ‹’‘†‘„‹‡ͺͳ’”œ‡œͳǤ–‘•—Œ¦…Wͳ,
‘–”œ›—Œ‡›”‡•œ–¸ʹǤ
ƒŽ‘‰‹…œ‹‡‘Ѓ’‘ƒœƒ©ǡÇ͵100 – 2100†œ‹‡Ž‹•‹¸’”œ‡œͷǤ
‡ϐ‹‹…ŒƒͳǤͳ
‡äŽ‹a i bƒŒ¦–‡•ƒ‡”‡•œ–›œ†œ‹‡Ž‡‹ƒ’”œ‡œcǡ–‘’‹•œ‡›a {c b.
1.1. „Ž‹…œ”‡•œ–¸œ†œ‹‡Ž‡‹ƒ’”œ‡œͷŽ‹…œ„›
ƒȌ
„Ȍ
…Ȍ
†Ȍ
‡Ȍ
͵101 – 2101
͵102 – 2102
͵103 – 2103
͵104 – 2104
͵105 – 2105
1. Liczby
Dzielniki i wielokrotności. Indukcja matematyczna
‡ϐ‹‹…ŒƒͳǤʹ
‹…œ„¸ƒ–—”ƒŽ¦†‘†ƒ–‹¦ƒœ›™ƒ›Ž‹…œ„¦œÏ‘Ă‘¦ǡŒ‡äŽ‹‘ЃŒ¦’”œ‡†•–ƒ™‹©Œƒ‘‹Ž‘…œ›†™×…Š†‘†ƒ–‹…ŠŽ‹…œ„ƒ–—”ƒŽ›…Š™‹¸•œ›…Š‘†ͳǤ
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™ƒ‰ƒǤ‹…œ„¸ƒ–—”ƒŽ¦œÏ‘Ă‘¦‘Ѓ–‡Ăœ†‡ϐ‹‹‘™ƒ©”×™‘™ƒĂ‹‡ǡnj‡•–
–‘–ƒƒŽ‹…œ„ƒƒ–—”ƒŽƒǡ–×”ƒ†ƒ•‹¸’”œ‡†•–ƒ™‹©Œƒ‘‹Ž‘…œ›†™×…ŠŽ‹…œ„ƒ–—”ƒŽ›…Š‹‡Œ•œ›…Š‘†‹‡ŒǤ
ƒ•ƒ†ƒ†‘„”‡‰‘—’‘”œ¦†‘™ƒ‹ƒŽ‹…œ„ƒ–—”ƒŽ›…Š
ƒĂ†›‹‡’—•–›’‘†œ„‹×”œ„‹‘”—Ž‹…œ„ƒ–—”ƒŽ›…Šƒ‡Ž‡‡–ƒŒ‹‡Œ•œ›Ǥ
¸™Ïƒ•‘ä©œ„‹‘”—Ž‹…œ„ƒ–—”ƒŽ›…Š’”œ›Œ—Œ‡•‹¸œƒ‘…œ›™‹•–¦Ǥ
‹‡—Œ‡‡Ž‹…œ„›™›‹‡”‡‹‹‡—Œ‡‡Ž‹…œ„›”œ‡…œ›™‹•–‡‹‡•¦†‘„”œ‡—’‘⎧ 1 1 ⎫
”œ¦†‘™ƒ‡ǡ„‘œ„‹×”⎨1, , , ...⎬‹‡ƒ‡Ž‡‡–—ƒŒ‹‡Œ•œ‡‰‘Ǥ
⎩ 2 3 ⎭
Twierdzenie 1.2 ȋ‘”‘œÏƒ†œ‹‡ƒ…œ›‹‹’‹‡”™•œ‡Ȍ
ƒĂ†ƒ Ž‹…œ„ƒ ƒ–—”ƒŽƒ ™‹¸•œƒ ‘† ͳ ƒŽ„‘ Œ‡•– Ž‹…œ„¦ ’‹‡”™•œ¦ǡ ƒŽ„‘ †ƒ •‹¸
’”œ‡†•–ƒ™‹©Œƒ‘‹Ž‘…œ›Ž‹…œ„’‹‡”™•œ›…ŠǤ
‘™×†
ƒ•–‘•—Œ‡›œƒ•ƒ†¸†‘„”‡‰‘—’‘”œ¦†‘™ƒ‹ƒǤ
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†Žƒ–×”›…Š–™‹‡”†œ‡‹‡Œ‡•–‹‡’”ƒ™†œ‹™‡Ǥ‹‡ƒ™‹ƒ‹Œ‡†‡ŒŽ‹…œ„›
’‹‡”™•œ‡Œǡ „‘ †Žƒ Ž‹…œ„ ’‹‡”™•œ›…Š –™‹‡”†œ‡‹‡ Œ‡•– •’‡Ï‹‘‡Ǥ Ž‡ Œ‡äŽ‹ –‡
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‹…œ„›a i bƒŽ„‘‘„‹‡•¦’‹‡”™•œ‡ǡƒŽ„‘–›Ž‘Œ‡†ƒœ–›…ŠŽ‹…œ„Œ‡•–’‹‡”™•œƒǡ
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7
8
Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I
ƒ…œ›‹‹’‹‡”™•œ‡ǡ•¦†mƒ”‘œÏƒ†ƒ…œ›‹‹’‹‡”™•œ‡Ǥ‡Ă•’”œ‡…œ‘ä©Ǥ„‹×”AŒ‡•–™‹¸…’—•–›Ǥ•œ›•–‹‡Ž‹…œ„›ƒ–—”ƒŽ‡•’‡Ï‹ƒŒ¦–™‹‡”†œ‡‹‡ǣƒŽ„‘•¦’‹‡”™•œ‡ǡƒŽ„‘”‘œÏƒ†ƒŒ¦•‹¸ƒ…œ›‹‹’‹‡”™•œ‡ǤŶ
Twierdzenie 1.3 ȋ‹†—…Œƒƒ–‡ƒ–›…œƒȌ
”œ›’—䩏›ǡ Ç ’‡™‹‡ œ„‹×” A Ž‹…œ„ ƒ–—”ƒŽ›…Š N ƒ ƒ•–¸’—Œ¦…‡ †™‹‡
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Œ‡•–‹‡’—•–›ǡ–‘œƒ™‹‡”ƒ‡Ž‡‡–ƒŒ‹‡Œ•œ›ǡ–×”›‹‡Œ‡•–œ‡”‡Ǥƒœ™‹Œ›‰‘mǤ‘„‡…–‡‰‘m –ͳŒ‡•–‡Ž‡‡–‡AǤ‡äŽ‹m –ͳŒ‡•–‡Ž‡‡–‡A,
to i mŒ‡•–‡Ž‡‡–‡AǤ‘„‡…–‡‰‘mŒ‡•–‹‡Ž‡‡–‡A i BǤ‹‡‘ĂŽ‹™‡Ǥ
”œ›’—•œ…œ‡‹‡ǡǜ„‹×”BŒ‡•–‹‡’—•–›’”‘™ƒ†œ‹†‘•’”œ‡…œ‘ä…‹ǤA•¦
™•œ›•–‹‡Ž‹…œ„›ƒ–—”ƒŽ‡ǤŶ
™ƒ‰ƒǤ †ƒ”œƒ •‹¸ǡ Ç …Š…‡› …‘ä —†‘™‘†‹© †Žƒ ƒ ’”œ›Ïƒ† n
–‡†›œƒ•–¸’—Œ‡›Ͳ’”œ‡œ͵‹œ„‹‘”‡A jest {3, 4, 5, …}.
3, 4, 5, …
”œ›Ïƒ†ͳǤ͵
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2, 3, …
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412(k 1) 132(k 1) – 2 412 · 412k 132 · 132k – 2
132 · 412k 132 · 132k – 132 · 2 132 · 2 (412 – 132) · 412k – 2
132(412k 132k – 2) 132 · 2 (412 – 132) · 412k – 2
132(412k 132k – 2) 2 · (132 – 1) (41 – 13)(41 13) · 412k
132(412k 132k – 2) 2 · 12 · 14 28 · (41 13) · 412k
132(412k 132k – 2) 28 · (12 54 · 412k)
132(412k 132k – 2) 28 · 6 · (2 9 · 412k)
132(412k 132k – 2) 168 · (2 9 · 412k)
412k 132k –ʹŒ‡•–’‘†œ‹‡Ž‡’”œ‡œͳ͸ͺǡ„‘k  A. 168 · (2 9 · 412k)
Œ‡•–‘…œ›™‹ä…‹‡’‘†œ‹‡Ž‡’”œ‡œͳ͸ͺǡƒ™‹¸…Ͷͳ2(k 1) 132(k 1) – 2 jest
’‘†œ‹‡Ž‡’”œ‡œͳ͸ͺǤk 1  A.
1. Liczby
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Twierdzenie 1.4 ȋœ—’‡Ïƒ‹†—…Œƒƒ–‡ƒ–›…œƒȌ
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‘™×†ȋ’”œ‡œ‹†—…Œ¸œ—’‡Ï¦Ȍ
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ak ak – 1 ak – 2 ak – 3Œ‡•–•—¦–”œ‡…ŠŽ‹…œ„‹‡’ƒ”œ›•–›…Šǡ™‘„‡…–‡‰‘
Œ‡•–Ž‹…œ„¦‹‡’ƒ”œ›•–¦Ǥƒǡ™‹¸…kŒ‡•–‡Ž‡‡–‡A.
͵Ǥ ƒ‘…›‹†—…Œ‹œ—’‡Ï‡ŒA ȓͳǡʹǡ͵ǡǥȔǡ…œ›Ž‹™•œ›•–‹‡™›”ƒœ›…‹¦‰—an, n ͳǡʹǡ͵ǡǥ•¦‹‡’ƒ”œ›•–‡ǤŶ
„‹×”†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„›ƒ–—”ƒŽ‡Œ
ƒ’”œ›Ïƒ†œ„‹‘”‡†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„›ͳʹŒ‡•–ȓͳǡʹǡ͵ǡͶǡ͸ǡͳʹȔǤ„‹×”†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„›’‹‡”™•œ‡Œp•Ïƒ†ƒ•‹¸œ†™×…ŠŽ‹…œ„ȂœŒ‡†›‹‹•ƒ‡Œ•‹‡„‹‡ǡ
…œ›Ž‹Œ‡•––‘œ„‹×”ȓͳǡp}.
9
10
Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I
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{1, 2, 3, …}.
›Œ¦–‘™ƒŒ‡•––‡ĂŽ‹…œ„ƒͳǤ‡Œœ„‹‘”‡†œ‹‡Ž‹×™Œ‡•–ȓͳȔǤ
‡ϐ‹‹…ŒƒͳǤ͵
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Œ‡•–†‘†ƒ–‹ƒǤƒĂ†ƒœ‹…Šƒ•™×Œœ„‹×”†œ‹‡Ž‹×™Ǥœ¸ä©™•’׎ƒ–›…Š†™×…Š
œ„‹‘”×™ǡ…œ›Ž‹œ„‹×”™•’׎›…Š†œ‹‡Ž‹×™Œ‡•–‹‡’—•–›ǡ„‘Ž‹…œ„ƒͳŒ‡•–™‘„—
œ„‹‘”ƒ…Š †œ‹‡Ž‹×™Ǥ ƒŒ™‹¸•œƒ Ž‹…œ„ƒ ™ œ„‹‘”œ‡ ™•’׎›…Š †œ‹‡Ž‹×™ Œ‡•–
™Ïƒä‹‡ƒŒ™‹¸•œ›™•’׎›†œ‹‡Ž‹‹‡Ž‹…œ„a i b.
œƒ…œƒ›‰‘NWD(a, b).
”œ›Ïƒ†ͳǤͷ
‹‡…Ša ! 0.
NWD(0, 0) nie istnieje.
NWD(a, b) NWD(b, a)
NWD(a, 0) a
NWD(a, a) a
†‘™‘†‹Œǣ
‡äŽ‹a _ b, to NWD(a, b) a.
‘œ™‹¦œƒ‹‡
ƒŒ™‹¸•œ› †œ‹‡Ž‹‹‡ Ž‹…œ„› a Œ‡•– Ž‹…œ„ƒ aǤ ƒŒ™‹¸•œ› ™•’׎› †œ‹‡Ž‹
a i b‹‡‘Ç„›©™‹¸•œ›‹ĂaǡƒŽ‡™Ïƒä‹‡a†œ‹‡Ž‹”×™‹‡Ăbǡ™‹¸…Œ‡•–ƒŒ™‹¸•œ›™•’׎›†œ‹‡Ž‹‹‡Ž‹…œ„a i b.
‡ϐ‹‹…ŒƒͳǤͶ
‡äŽ‹Œ‡†››™•’׎›†œ‹‡Ž‹‹‡†‘†ƒ–‹…ŠŽ‹…œ„a i bŒ‡•–Ž‹…œ„ƒͳǡ–‘Ž‹…œ„›
a i bƒœ›™ƒ›™œ‰Ž¸†‹‡’‹‡”™•œ›‹Ǥƒ…œ‡Œ×™‹¦…ǡ†‘†ƒ–‹‡Ž‹…œ„›a i b
•¦™œ‰Ž¸†‹‡’‹‡”™•œ‡ǡ‰†›NWD(a, b) 1.
Twierdzenie 1.5 ȋŽ‡ƒ–1—Ž‹†‡•ƒȌ
‹‡…Ša, b  Z‹‹‡…Ša t bǤ–‡†›
NWD(a, b) NWD(a – b, b).
‡Ž‡ƒ–‘Ѓ•Ï‘™ƒ‹™›”ƒœ‹©–ƒǤ‡äŽ‹ƒ›œƒŽ‡Ā©ƒŒ™‹¸•œ›™•’׎›†œ‹‡Ž‹†‘†ƒ–‹…ŠŽ‹…œ„…ƒÏ‘™‹–›…Šǡ–‘‘Ǐ›Œ‡œƒ•–¦’‹©‹‡Œ•œ¦œ‹…Š
‹”×Ћ…¦™‹¸•œ‡Œ‹‹‡Œ•œ‡ŒǡƒƒŒ™‹¸•œ›™•’׎›‹…Š†œ‹‡Ž‹„¸†œ‹‡–ƒ‹•ƒǤ
‘™–ƒ”œƒŒ¦…–ƒ‹”‘ǡ„›©‘Ç™‹¸…‡Œ”ƒœ›ǡ‘Ǐ›œƒŽ‡œ‹‡‹‡ƒŒ™‹¸•œ‡‰‘
™•’׎‡‰‘†œ‹‡Ž‹ƒ†™×…Š†‘†ƒ–‹…ŠŽ‹…œ„…ƒÏ‘™‹–›…Šœƒ•–¦’‹©œƒŽ‡œ‹‡‹‡
1
‡ƒ– –‘ œ™›Ž‡ –™‹‡”†œ‡‹‡ ’‘‘…‹…œ‡ǡ ˆ‘”—Ï‘™ƒ‡ Œƒ‘ ‡–ƒ’ †‘™‘†— ‹‡‰‘
ȋ™ƒĂ‹‡Œ•œ‡‰‘Ȍ–™‹‡”†œ‡‹ƒǤ
1. Liczby
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™‹¸•œ‡Œ’”œ‡œ‹‡Œ•œ¦ǣ
NWD(a, b) NWD(a – kb, b),
‰†œ‹‡kŒ‡•–‹Ž‘”ƒœ‡†œ‹‡Ž‡‹ƒa’”œ‡œb.
‡ƒ–—Ž‹†‡•ƒ‘Ѓ™‹¸…™œ‘…‹©Ǥ
Twierdzenie 1.6 ȋŽ‡ƒ–—Ž‹†‡•ƒ‘…‹‡Œ•œ›Ȍ
‹‡…Ša, b  oraz a t bǤ–‡†›†Žƒ†‘™‘Ž‡ŒŽ‹…œ„›ƒ–—”ƒŽ‡Œk
NWD(a, b) NWD(a – k · b, b).
‘™×†
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i a, i bǤ–‡†›†œ‹‡Ž‹”×™‹‡Ăa – kbǤ‡•–™‹¸…™•’׎›†œ‹‡Ž‹‹‡Ž‹…œ„a,
b i a – kb i bǤ•œ…œ‡‰×Ž‘ä…‹Œ‡•–™‹¸…™•’׎›†œ‹‡Ž‹‹‡Ž‹…œ„a – kb i b.
‡”ƒœ’‘ƒĂ‡›ǡǜ„‹×”™•’׎›…Š†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„a – kb i b jest zawarty
™œ„‹‘”œ‡™•’׎›…Š†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„a i bǤƒÏ×ϛǡǎ‹…œ„ƒc†œ‹‡Ž‹Ž‹…œ„›
a – kb i bǤ–‡†›†œ‹‡Ž‹”×™‹‡ĂŽ‹…œ„¸(a – kb) kb aǡ†œ‹‡Ž‹™‹¸…‹a, i b,
i a – kbǤ•œ…œ‡‰×Ž‘ä…‹†œ‹‡Ž‹a i bǤ‡•–™‹¸…™•’׎›†œ‹‡Ž‹‹‡Ž‹…œ„
a i b.
‘ƒœƒŽ‹ä›ǡǜ„‹×”†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„a i b‹œ„‹×”†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„b i a – kb
•¦”×™‡ǤƒŒ™‹¸•œ›‹…Š‡Ž‡‡–Œ‡•––¦•ƒ¦Ž‹…œ„¦ǡ–×”ƒŒ‡•–Œ‡†‘…œ‡ä‹‡
NWD(a, b) i NWD(a – kb, b). Ŷ
Ž‰‘”›–—Ž‹†‡•ƒ
ƒ‡•¦†™‹‡‹‡—Œ‡‡Ž‹…œ„›…ƒÏ‘™‹–‡a i bǡ‹‡‘„‹‡œ‡”‘™‡ǡ’”œ›…œ›
a t bǤŠ…‡›œƒŽ‡Ā©d NWD(a, b).
ͳǤ ‡äŽ‹b 0, to d aǤ‘‹‡…Ǥ‡äŽ‹b !Ͳ‹†Ā†‘”‘—ʹǤ
ʹǤ œ‹‡Ž‹›™‹¸•œ¦Ž‹…œ„¸’”œ‡œ‹‡Œ•œ¦™Ž‹…œ„ƒ…Š…ƒÏ‘™‹–›…ŠǤœ‹‡Ž‹‹”‡•œ–ƒ–™‘”œ¦‘™¦’ƒ”¸ǡ–×”¦ƒœ›™ƒ›a i bǤ†Ā†‘”‘—ͳǤ
”œ›Ïƒ†ͳǤ͸
NWD(437, 323) NWD(323, 437 – 323) NWD(323, 114)
NWD(114, 323 – 2 · 114) NWD(114, 323 – 228) NWD(114, 95)
NWD(95, 114 – 95) NWD(95, 19)
NWD(19, 95 – 5 · 19) NWD(19, 0) 19
ƒ•–¸’› ’”œ›Ïƒ†œ‹‡ œ‘„ƒ…œ››ǡ Œƒ ƒŽ‰‘”›– —Ž‹†‡•ƒ ’‘”ƒ†œ‹ •‘„‹‡
œŽ‹…œ„ƒ‹a 5775 i b ʹͲͳͷǤ†”ƒœ—™‹†ƒ©ǡÇͷŒ‡•–™•’׎›†œ‹‡Ž‹‹‡
‘„—Ž‹…œ„ǤŽ‡…œ›Œ‡•–ƒŒ™‹¸•œ›ǫ
Ž‡™‡Œ‹’”ƒ™‡Œ‘Ž—‹‡—Ă›™ƒ›•›„‘Ž‹a i b.
11
12
Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I
”œ›Ïƒ†ͳǤ͹
ۙƒŒ¦…ƒŽ‰‘”›–——Ž‹†‡•ƒǡœƒŒ†ĀNWD(5775, 2015).
‘œ™‹¦œƒ‹‡
œƒ…œ›a 5775, b 2015.
a
5775
2015
b
a – 2b
2015 – 2 · 2015 1745 2015
b
a – 2b
1745
2015 – 1745 270 b – ͳ · (a – 2b) –a 3b
a – 2b – ͸(–a 3b)
7a – 20b
1745 – ͸ · 270 125
270
–a 3b
7a – 20b
125
270 – 2 · 125 20
–a 3b – 2(7a – 20b)
–15a 43b
7a – 20b – ͸ · (–15a 125 – ͸ · 20 5
43b) 97a – 278b
20
–15a 43b
ͻ͹a – ʹ͹ͺb
20 – 4 · 5 0
–15a 43b – 4 · (97a – 278b)
–403a 1155b
5
NWD(5775, 2015) ͷǤŽ‡™‡Œ†‘Ž‡Œ‘×”…‡–ƒ„‡Ž‹™‹†ƒ©ǡÇ
NWD(5775, 2015) ͻ͹ · 5775 – ʹ͹ͺ · 2015.
‡ϐ‹‹…ŒƒͳǤͷ
‹‹‘™¦ ‘„‹ƒ…Œ¦ Ž‹…œ„ a i b ‘ ™•’×υœ›‹ƒ…Š …ƒÏ‘™‹–›…Š ƒœ›™ƒ›
ƒĂ†‡™›”ƒĂ‡‹‡’‘•–ƒ…‹xa ybǡ™–×”›x i y•¦Ž‹…œ„ƒ‹…ƒÏ‘™‹–›‹Ǥ
‘™›Ă•œ› ’”œ›Ïƒ† ’‘ƒœ—Œ‡ǡ Ç NWD(5775, 2015) Œ‡•– Ž‹‹‘™¦ ‘„‹ƒ…Œ¦
‘™•’×υœ›‹ƒ…Š…ƒÏ‘™‹–›…ŠŽ‹…œ„ͷ͹͹ͷ‹ʹͲͳͷǤ
’”ׄ—Œ› Œ‡•œ…œ‡ ”ƒœ œƒŽ‡Ā© NWD(a, b) ‡–‘†¦ —Ž‹†‡•ƒ ‹ œ‘„ƒ…œ›©ǡ Œƒ¦
‘„‹ƒ…Œ¦Ž‹‹‘™¦Ž‹…œ„a i b jest NWD(a, b).
”œ›Ïƒ†ͳǤͺ
ƒŒ†Ā NWD(5776, 2016) ‹ ’‘ƒĂǡ Œƒ¦ ‘„‹ƒ…Œ¦ Ž‹‹‘™¦ Ž‹…œ„ ͷ͹͹͸ ‹ ʹͲͳ͸
jest NWD(5776, 2016).
‘œ™‹¦œƒ‹‡
a
5776
2016
b
a – 2b
5776 – 2 · 2016 1744 2016
b
a – 2b
1744
2016 – ͳ · 1744 272 b – (a – 2b) –a 3b
a – 2b – ͸(–a 3b)
7a – 20b
1744 – ͸ · 272 112
272
–a 3b
13
1. Liczby
272 – 2 · 112 48
–a 3b – 2(7a – 20b) –15a 43b
7a – 20b – 2 · (–15a 112 – 2 · 48 16
43b) 37a – 106b
48
–15a 43b
37a – 106b
48 – 3 · 16 0
–15a 43b – 3 · (37a – 106b)
–126a 361b
7a – 20b
112
16
NWD(5776, 2016) 16 i NWD(5776, 2016) 37 · 5776 – 106 · 2016.
Twierdzenie 1.7
Žƒ†‘™‘Ž›…Š†™×…Š‹‡—Œ‡›…ŠŽ‹…œ„a i bǡœ–×”›…Š’”œ›ƒŒ‹‡ŒŒ‡†ƒ
Œ‡•–†‘†ƒ–‹ƒǡ‹•–‹‡Œ¦–ƒ‹‡Ž‹…œ„›…ƒÏ‘™‹–‡x i yǡÇNWD(a, b) xa yb.
‘™×†
‘Ž‡Œ›”‘ƒŽ‰‘”›–——Ž‹†‡•ƒœƒ•–¸’—Œ‡™›Œä…‹‘™¦’ƒ”¸Ž‹…œ„a i b’”œ‡œ
Ƿ‹‡Œ•œ¦dz’ƒ”¸Ž‹…œ„ac i bcǡ‰†œ‹‡ac d a i bc d b‹’”œ›ƒŒ‹‡ŒŒ‡†ƒœ–›…Š
‹‡”×™‘ä…‹Œ‡•–‘•–”ƒǡ’”œ›…œ›‹ac, i bc•¦‘„‹ƒ…Œƒ‹Ž‹‹‘™›‹a i b.
ƒ•–¸’›”‘œƒ•–¸’—Œ‡’ƒ”¸ac i bcǷ‹‡Œ•œ¦dz’ƒ”¦as i bsǡ’”œ›…œ›‹as, i bs
•¦‘„‹ƒ…Œƒ‹Ž‹‹‘™›‹ac i bcǤ‘„‹ƒ…ŒƒŽ‹‹‘™ƒ‘„‹ƒ…Œ‹Ž‹‹‘™›…Š
Ž‹…œ„a i bŒ‡•–‘„‹ƒ…Œ¦Ž‹‹‘™¦Ž‹…œ„a i bǡ™‹¸…‹as, i bs•¦‘„‹ƒ…Œƒ‹
Ž‹‹‘™›‹a i bǤ•–ƒ–‡…œ‹‡NWD(a, b)Œ‡•–‘„‹ƒ…Œ¦Ž‹‹‘™¦Ž‹…œ„a i b. Ŷ
‹‘•‡ͳǤ‹‡…ŠŽ‹…œ„›a i b„¸†¦‹‡—Œ‡‡‹’”œ›ƒŒ‹‡ŒŒ‡†ƒ‹…Š‹‡…Š
„¸†œ‹‡†‘†ƒ–‹ƒǤ
ƒĂ†›™•’׎›†œ‹‡Ž‹Ž‹…œ„a i b†œ‹‡Ž‹”×™‹‡ĂNWD(a, b).
‘™×†
•’׎›†œ‹‡Ž‹Ž‹…œ„a i b†œ‹‡Ž‹”×™‹‡Ă†‘™‘Ž¦‘„‹ƒ…Œ¸Ž‹‹‘™¦Ž‹…œ„
a i bǡƒ™‹¸…–ƒĂ‡Ž‹…œ„¸NWD(a, b)ǡ–×”ƒŒ‡•–’‡™¦‘„‹ƒ…Œ¦Ž‹‹‘™¦Ž‹…œ„
a i b. Ŷ
‹‘•‡ʹǤ„‹×”™•œ›•–‹…Š†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„›NWD(a, b)Œ‡•––›•ƒ›œ„‹‘”‡ǡ…‘œ„‹×”™•’׎›…Š†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„a i b.
‘™×†
‹‘•‡ͳ×™‹ǡǙ•’׎›†œ‹‡Ž‹a i b†œ‹‡Ž‹NWD(a, b).
ƒ–‘‹ƒ•–NWD(a, b)†œ‹‡Ž‹‹a i b‹Œ‡äŽ‹ŒƒƒäŽ‹…œ„ƒ†œ‹‡Ž‹NWD(a, b)ǡ–‘†œ‹‡Ž‹‹a,
i bǡ…œ›Ž‹Œ‡•–™•’׎›†œ‹‡Ž‹‹‡a i b. Ŷ
Twierdzenie 1.8 ȋ–™‹‡”†œ‡‹‡±œ‘—–ƒȌ
‹‡…Ša i b„¸†¦†™‹‡ƒ‹‡—Œ‡›‹Ž‹…œ„ƒ‹…ƒÏ‘™‹–›‹ǡœ–×”›…Š’”œ›ƒŒ‹‡ŒŒ‡†ƒŒ‡•–†‘†ƒ–‹ƒǤƒŒ‹‡Œ•œƒ†‘†ƒ–‹ƒ‘„‹ƒ…ŒƒŽ‹‹‘™ƒ‘…ƒÏ‘™‹–›…Š™•’×υœ›‹ƒ…ŠŽ‹…œ„a i bŒ‡•–”×™ƒNWD(a, b).
14
Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I
‘™×†
•–‹‡Œ‡’”œ›ƒŒ‹‡ŒŒ‡†ƒ‘„‹ƒ…ŒƒŽ‹‹‘™ƒŽ‹…œ„a i bǡ–×”ƒŒ‡•–†‘†ƒ–‹ƒǡƒŒ‡•–‹¦ƒ’”œ›Ïƒ†ͳȉa 1 · b a bǤ‡äŽ‹‹•–‹‡Œ‡’”œ›ƒŒ‹‡ŒŒ‡†ƒ†‘†ƒ–‹ƒ‘„‹ƒ…ŒƒŽ‹‹‘™ƒŽ‹…œ„a i bǡ–‘™ä”׆™•œ›•–‹…Š†‘†ƒ–‹…Š
‘„‹ƒ…Œ‹ Ž ‹‹‘™›…Š Ž‹…œ„ a i b ‹•–‹‡Œ‡ ƒŒ‹‡Œ•œƒ †‘†ƒ–‹ƒ ‘„‹ƒ…Œƒ
Ž‹‹‘™ƒ Ž‹…œ„ a i bǢ ‘œƒ…œ› –ƒ¦ ‘„‹ƒ…Œ¸ ’”œ‡œ xa ybǤ ‘ƒĂ‡›ǡ Ç
xa yb†œ‹‡Ž‹aǤ‡äŽ‹a 0, to xa yb†œ‹‡Ž‹aǤ”œ›’—䩏›ǡÇa !ͲǤ
†›„›
xa yb‹‡†œ‹‡Ž‹Ï‘Ž‹…œ„›aǡ–‘œ†œ‹‡Ž‡‹ƒa’”œ‡œxa yb’‘œ‘•–ƒÏƒ„›”‡•œ–ƒr,
0 r xa ybǡ…œ›Ž‹‹•–‹ƒÏƒ„›–ƒƒŽ‹…œ„ƒ…ƒÏ‘™‹–ƒkǡÇa k(xa yb) r.
–‡Œ”×™‘ä…‹r†ƒÏ‘„›•‹¸’”œ‡†•–ƒ™‹©ƒ•–¸’—Œ¦…‘r (1 – kx) · a – ky · b,
ƒ™‹¸…r„›Ï‘„›†‘†ƒ–‹¦‘„‹ƒ…Œ¦Ž‹‹‘™¦Ž‹…œ„a i b‹‡Œ•œ¦‘†ƒŒ‹‡Œ•œ‡Œ –ƒ‹‡Œ ‘„‹ƒ…Œ‹Ǥ ‹‡‘ĂŽ‹™‡Ǥ ™‹¸… xa yb †œ‹‡Ž‹ aǤ ‘™–ƒ”œƒŒ¦… –‘
•ƒ‘”‘œ—‘™ƒ‹‡ǡ†‘™‘†œ‹›ǡÇxa by†œ‹‡Ž‹bǤ‘„‡…–‡‰‘xa yb†œ‹‡Ž‹
i a, i bǤ‡•–™‹¸…™•’׎›†œ‹‡Ž‹‹‡a i bǡ…œ›Ž‹xa yb d NWD(a, b)ǡƒŽ‡
NWD(a, b)†œ‹‡Ž‹‹a i bǡ™‹¸…†œ‹‡Ž‹xa ybǡœƒ–‡NWD(a, b) d xa ybǤƒ™‹¸…
xa yb NWD(a, b). Ŷ
Twierdzenie 1.9 ȋƒ•–¸’›Ž‡ƒ–—Ž‹†‡•ƒȌ
‡äŽ‹a _ bc i NWD(a, b) 1, to a _ c.
‘™×†
‘‹‡™ƒĂNWD(a, b) ͳǡ™‹¸…ƒ‘…›–™‹‡”†œ‡‹ƒͳǤ͹‹•–‹‡Œ‡–ƒƒ‘„‹ƒ…ŒƒŽ‹‹‘™ƒŽ‹…œ„a i b‘™•’×υœ›‹ƒ…Š…ƒÏ‘™‹–›…Šx i yǡÇ
NWD(a, b) 1 xa ybǤ™‹¸…c c · 1 c · (xa yb) cx · a y · bcǤ‘„‡…
–‡‰‘a _ c. Ŷ
‡†‘œƒ…œ‘ä©”‘œÏƒ†—Ž‹…œ„›ƒ…œ›‹‹’‹‡”™•œ‡
‹…œ„ƒ ƒ–—”ƒŽƒ ™‹¸•œƒ ‘† Œ‡†‡ Œ‡•– ƒŽ„‘ ’‹‡”™•œƒǡ ƒŽ„‘ œÏ‘Ă‘ƒǤÏ‘Ă‘ƒƒ”‘œÏƒ†ƒ…œ›‹‹’‹‡”™•œ‡Ǥ‘„›Ï‘’‘ƒœƒ‡™…œ‡ä‹‡Œȋ–™‹‡”†œ‡‹‡ͳǤʹȌǤ‡†‘œƒ…œ‘䩐‹‡„›Ïƒ—†‘™‘†‹‘ƒǤ
Twierdzenie 1.10
‘œÏƒ†ƒ…œ›‹‹’‹‡”™•œ‡Œ‡•–Œ‡†‘œƒ…œ›Ǥ
‘™×†
”œ›’—䩏›ǡ Ç ‹•–‹‡Œ‡ Ž‹…œ„ƒǡ –×”ƒ ƒ †™ƒ ”×Ї ”‘œÏƒ†› ƒ …œ›‹‹
’‹‡”™•œ‡Ǥ‡äŽ‹–ƒǡ–‘‹•–‹‡Œ‡ƒŒ‹‡Œ•œƒ–ƒƒŽ‹…œ„ƒȋœœƒ•ƒ†›†‘„”‡‰‘—’‘”œ¦†‘™ƒ‹ƒȌǤƒœ™‹Œ›Œ¦aǤ™‹¸…a p1p2…pn i a q1q2…qmǡ‰†œ‹‡™•œ›•–kie pi i qj •¦ Ž‹…œ„ƒ‹ ’‹‡”™•œ›‹Ǥ ƒ†‡ pi ‹‡ ‘Ç •‹¸ ”×™ƒ© Œƒ‹‡—ä
qjǡ„‘™–‡†›‘‰Ž‹„›ä›’‘†œ‹‡Ž‹©Ž‹…œ„¸a’”œ‡œpi‹‘–”œ›ƒŽ‹„›ä›Ž‹…œ„¸
‹‡Œ•œ¦‘†aǡ–×”ƒ‹ƒÏƒ„›‹‡Œ‡†‘œƒ…œ›”‘œÏƒ†ƒ…œ›‹‹’‹‡”™•œ‡Ǥ
‘„‡…–‡‰‘ȓp1, p2, …, pn} ˆ {q1, q2, …, qm} ‡Ǥ‹…œ„ƒa†œ‹‡Ž‹•‹¸’”œ‡œp1ǡ™‹¸…
p1 _ q1q2… qm – 1qmǤ‘‹‡™ƒĂp1 i qm•¦™œ‰Ž¸†‹‡’‹‡”™•œ‡ȋ†™‹‡”×Ї’‹‡”™•œ‡Ž‹…œ„›•¦™œ‰Ž¸†‹‡’‹‡”™•œ‡Ȍǡ™‹¸…œŽ‡ƒ–——Ž‹†‡•ƒȋ–™‹‡”†œ‡‹‡ͳǤͻȌ
p1 _ q1q2…qm – 1Ǥ‹‡†›’‘•–¸’—Œ‡›–ƒ†ƒŽ‡Œǡ‘ƒœ—Œ‡•‹¸ǡÇp1 _ q1Ǥœ‘™—
•’”œ‡…œ‘ä©Ǥ‘œÏƒ†ƒ…œ›‹‹’‹‡”™•œ‡Œ‡•–Œ‡†‘œƒ…œ›ǤŶ
1. Liczby
‡ϐ‹‹…ŒƒͳǤ͸
ƒŒ‹‡Œ•œƒ™•’׎ƒ™‹‡Ž‘”‘–‘䩆‘†ƒ–‹…Š…ƒÏ‘™‹–›…ŠŽ‹…œ„a i b to naj‹‡Œ•œƒ†‘†ƒ–‹ƒŽ‹…œ„ƒ…ƒÏ‘™‹–ƒ’‘†œ‹‡Žƒ‹’”œ‡œa‹’”œ‡œbǤœƒ…œƒ•‹¸Œ¦
NWW(a, b).
Twierdzenie 1.11 ȋŽ‡ƒ–Ȍ
‡äŽ‹a _ c i b _ c, to NWW(a, b) _ c.
‘™×†
†›„›„›Ï‘‹‡’”ƒ™†¦ǡÇNWW(a, b) _ cǡ–‘‹•–‹ƒÏ›„›Ž‹…œ„›q i r,
0 r NWW(a, b)ǡÇc k · NWW(a, b) rǤ‘‹‡™ƒĂŒ‡†ƒ
a _ c i b _ c, to i a _ r, i b _ rǡ™‹¸…NWW(a, b)‹‡Œ‡•–ƒŒ‹‡Œ•œ¦™•’׎¦™‹‡Ž‘”‘–‘ä…‹¦Ž‹…œ„a i bǤ’”œ‡…œ‘ä©œ–›ǡÇNWW(a, b)‹‡†œ‹‡Ž‹c. Ŷ
Twierdzenie 1.12 ȋŽ‡ƒ–Ȍ
‹‡…Ša, b i c„¸†¦†‘™‘Ž›‹†‘†ƒ–‹‹…ƒÏ‘™‹–›‹Ž‹…œ„ƒ‹Ǥ–‡†›
NWD(ac, bc) c · NWD(a, b)
NWW(ac, bc) c · NWW(a, b)
‘™×†
NWD(ac, bc) xac ybcǡ‰†œ‹‡™›”ƒĂ‡‹‡’‘’”ƒ™‡Œ•–”‘‹‡Œ‡•–ƒŒ‹‡Œ•œ¦
†‘†ƒ–‹¦‘„‹ƒ…Œ¦Ž‹‹‘™¦Ž‹…œ„ac i abǤŽ‡xac ybc c(xa yb)ǡ‰†œ‹‡
xa bc—•‹„›©ƒŒ‹‡Œ•œ¦†‘†ƒ–‹¦‘„‹ƒ…Œ¦Ž‹‹‘™¦Ž‹…œ„a i bǤ‘‘Ñ…œ›†‘™×†’‹‡”™•œ‡Œ”×™‘ä…‹Ǥ
NWW(ac, bc)†œ‹‡Ž‹•‹¸’”œ‡œac‹’”œ‡œbcǡ™‹¸…†œ‹‡Ž‹•‹¸’”œ‡œc.
NWW ( ac , bc )
NWW ( ab, ac )
c
ƒ–‡
=
Œ‡•–Ž‹…œ„¦…ƒÏ‘™‹–¦
ac
a
NWW ( ac , bc )
c
i
=
Œ‡•–Ž‹…œ„¦…ƒÏ‘™‹–¦Ǥ
bc
b
NWW ( ac , bc )
ƒ ™‹¸…
≥ NWW ( a , b ) ǡ …œ›Ž‹ NWW(ac, bc) t c · NWW(a, b).
c
†”—‰‹‡Œ•–”‘›c · NWW(a, b)†œ‹‡Ž‹•‹¸’”œ‡œac‹†œ‹‡Ž‹•‹¸’”œ‡œbcǡ™‹¸…
c · NWW(a, b) t NWW(ca, cb). Ŷ
NWW ( ab, ac )
Twierdzenie 1.13 ȋŽ‡ƒ–Ȍ
Žƒ†‘™‘Ž›…ŠŽ‹…œ„ƒ–—”ƒŽ›…Ša i bŒ‡äŽ‹NWD(a, b) 1, to NWW(a, b) ab.
1.2. ƒŒ†ĀƒŒ™‹¸•œ›™•’׎›†œ‹‡Ž‹(NWD)ǡ•–‘•—Œ¦…ƒŽ‰‘”›–—Ž‹†‡•ƒǤ
ƒȌ NWD(882, 735)
„Ȍ NWD(1000001, 1000000)
15
16
Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I
…Ȍ NWD(2(1 2 3 … n), n 1)
†Ȍ NWD(2(1 2 3 … n) 1, n 1)
‡Ȍ NWD(2n2 3n 1, n 1)
1.3. „Ž‹…œ
ƒȌ
„Ȍ
…Ȍ
†Ȍ
‡Ȍ
NWW(12, 28)
NWW(47, 3)
NWW(7 · 13, 13)
NWW(n, n 1)
NWW(2n2 3n 1, n 1)
1.4. ƒȌ†‡ϐ‹‹—ŒNWD(a, b, c)
„Ȍ œ›NWD(a, b, c) NWD(NWD(a, b), c)ǫ
…Ȍ ’”ׄ—Œ —‘‰×Ž‹© ƒŽ‰‘”›– —Ž‹†‡•ƒ œ †™×…Š Ž‹…œ„ †‘ œƒŒ†›™ƒ‹ƒ NWD
–”œ‡…ŠŽ‹…œ„Ǥ
†Ȍ ƒŒ†ĀNWD(234, 567, 890).
1.5. †‘™‘†‹Œǡnj‡äŽ‹a _ bcd i NWD(a, c) 1 i NWD(a, d) 1, to a _ b.
Algorytm Euklidesa i „odcinanie” kwadratów
ƒ›’”‘•–‘¦–‘™›‹ƒ”ƒ…Šm na nǡ‰†œ‹‡ m ! nǤŠ…‡›‰‘’‘”›©ŒƒƒŒ™‹¸•œ›‹‹†‡–›…œ›‹ƒˆ‡Žƒ‹™ƒ†”ƒ–‘™›‹Ǥ‹‡›ǡǏ‘Ѓ‰‘’‘”›©
ƒˆ‡Žƒ‹™ƒ†”ƒ–‘™›‹‘™›‹ƒ”ƒ…ŠͳƒͳǤŽ‡‘Ǐ‘Ѓ‰‘’‘”›©™‹¸•œ›‹™ƒ†”ƒ–ƒ‹ǫ‘„ƒ…œƒ”›•——Ǥ
m
l2
m – 2n
n
l1
n
n
”œ›’—䩏›ǡǒ”‘•–‘¦–œ‘•–ƒÏ’‘”›–›‹†‡–›…œ›‹ƒŒ™‹¸•œ›‹œ‘ĂŽ‹™›…Š™ƒ†”ƒ–ƒ‹Ǥƒ’‡™‘‘†…‹¸…‹‡™ƒ†”ƒ–—n na n™œ†Ï—ĂŽ‹‹‹l1‹‡’”œ‡–‹‡ Ɛ‡‰‘ ™ƒ†”ƒ–—ǡ „‘ ’‡™ƒ Ž‹…œ„ƒ ™ƒ†”ƒ–×™ —Ï‘Ă‘›…Š ‘„‘ •‹‡„‹‡
‘•‹¦‰ƒÏ¦…œ¦†Ï—‰‘ä©”×™¦nǤ‘†‘„‹‡”‘œ——Œ¦…ǡ‘Ѓ‘†’”‘•–‘¦–ƒƒ
”›•——‘†…‹¦©œƒŒ‡†›”ƒœ‡†™ƒ™ƒ†”ƒ–›n na n™œ†Ï—ĂŽ‹‹‹l2Ǥœ—ƒ‹‡
ƒŒ™‹¸•œ‡‰‘™ƒ†”ƒ–—ǡ–×”›‘ЃǷ’‘ƒˆ‡Ž‘™ƒ©dz’”‘•–‘¦–m na nǡ•’”‘-
1. Liczby
™ƒ†œ‹Ž‹ä›™‹¸…†‘œƒŽ‡œ‹‡‹ƒƒŒ™‹¸•œ›…Š™ƒ†”ƒ–‘™›…Šƒˆ‡Ž×™’‘”›™ƒŒ¦…›…Š’”‘•–‘¦–n na m – 2nǤ–‘™Ïƒä‹‡ƒŽ‰‘”›–—Ž‹†‡•ƒǤ‹…™–›
†œ‹™‡‰‘ǡ„‘•œ—ƒ›™ƒ†”ƒ–ƒ„‘‘†Ï—‰‘ä…‹NWD(m, n).
‘‹Ă•œ›”›•—‡’”‘•–‘¦–ƒ͵͸ƒʹͳ‘’‹•—Œ‡ƒŽ‰‘”›–Ƿ‘†…‹ƒ‹ƒdz™ƒ†”ƒ–×™ǡ
–×”›’”‘™ƒ†œ‹†‘œƒŽ‡œ‹‡‹ƒNWD(36, 21).
„…‹¸…‹‡™ƒ†”ƒ–—ʹͳƒʹͳǣNWD(36, 21) NWD(15, 21),
‘„…‹¸…‹‡™ƒ†”ƒ–—ͳͷƒͳͷǣNWD(15, 21) NWD(15, 6),
‘„…‹¸…‹‡†™×…Š™ƒ†”ƒ–×™͸ƒ͸ǣNWD(15, 6) NWD(6, 3)
Ƿƒˆ‡Žƒ”œdz †‘•–”œ‡‰Ï„›ǡ Ç œ‘•–ƒÏ› — †™ƒ ™ƒ†”ƒ–‘™‡ ƒˆ‡Ž‹ ͵ ƒ ͵ǡ ”‘œ‹ƒ”—–×”›…Š•œ—ƒÏǤŽ‰‘”›–—Ž‹†‡•ƒœƒä’‘™‹‡†œ‹ƒÏ„›™–›‘‡…‹‡ǣ
NWD(6, 3) NWD(0, 3) 3.
†…‹ƒ‹‡™ƒ†”ƒ–×™‘†’”‘•–‘¦–ƒ͵͸ƒʹͳ’”‘™ƒ†œ‹Ï‘†‘‘†…‹¸…‹ƒŒ‡†‡‰‘
™ƒ†”ƒ–—ǡ’‘–‡Œ‡•œ…œ‡Œ‡†‡‰‘™ƒ†”ƒ–—ǡ’‘–‡†™×…Š™ƒ†”ƒ–×™‹–‘†‘’”‘™ƒ†œ‹Ï‘†‘–”œ‡…Š”×™›…Š™ƒ†”ƒ–×™‘„‘•‹‡„‹‡ǤƒĂ†›‹›’”‘•–‘¦–ǡ
™–×”›’”‘’‘”…Œƒ„‘×™„›Ïƒ„›Œƒ͵͸†‘ʹͳǡ…œ›Ž‹Œƒͳʹ†‘͹œƒ…Š‘™ƒÏ„›•‹¸
–ƒ•ƒ‘ǣͳǡͳǡʹ‹͵™ƒ†”ƒ–›Ǥ×Ћ…ƒ’‘‹¸†œ›™‹¸•œ›ȋ͵͸ƒʹͳȌƒ‹‡Œ•œ›ȋͳʹƒ͹Ȍ„›Ïƒ„›™™‹‡Ž‘ä…‹‘•–ƒ–‹‡‰‘™ƒ†”ƒ–—Ǥ•–ƒ–‹‘†…‹ƒ›
™ƒ†”ƒ–‡™‹¸•œ‡‰‘’”‘•–‘¦–ƒŒ‡•–™ƒ†”ƒ–͵ƒ͵ǡƒ‹‡Œ•œ‡‰‘Ȃ™ƒ†”ƒ–
1 na 1.
†…‹ƒ‹‡ ™ƒ†”ƒ–×™ ƒ ’‡™¦ ’”œ‡™ƒ‰¸ ƒ† ƒŽ‰‘”›–‡ —Ž‹†‡•ƒǡ –×”›
„ƒ†ƒ †™‹‡ Ž‹…œ„› …ƒÏ‘™‹–‡ǡ „‘ ’”œ› ‘†…‹ƒ‹— ™ƒ†”ƒ–×™ ‘‰¦ •‹¸ ’‘Œƒ™‹©
‹™†‘†ƒ–—ƒŒ¦•‡•’”‘•–‘¦–›‘„‘ƒ…Š™›‹‡”›…Šǡƒƒ™‡–‹‡™›‹‡”›…ŠǤ
17
Rozwiązania zadań
1. Liczby
1.1. ƒȌ͵4 · 25 1 – 24 · 25 1 {5 3 · (34)25 – 2 · (24)25 {5 3 · 8125 – 2 · 1625 {5
„Ȍ
…Ȍ
†Ȍ
‡Ȍ
{5 3 · (14)25 – 2 · (14)25 {5ͳǢ”‡•œ–¦Œ‡•–ͳ
͵102 – 2102 {5 32 · (34) 25 – 22 · (24) 25 {5 9 · 8125 – 4 · 1625 {5 4 · 125 – 4 · 125 {5 0
͵103 – 2103 {5 33 · (34) 25 – 23 · (24) 25 {5 27 · 125 – 8 · 125 {5 2 – 3 {5 –1 {5 4
͵104 – 2104 {5 34 · (34) 25 – 24 · (24) 25 {5 81 · 125 – 16 · 125 {5 1 – 1 {5 0
͵105 – 2105 {5 35 – 25 {5 81 · 3 – 32 {5 3 – 2 {5 1
1.2. ƒȌNWD(882, 735) NWD(735, 147) NWD(147, 0) 147
„Ȍ NWD(1000001, 1000000) NWD(1000000, 1) NWD(1, 0) 1
…Ȍ NWD(n(n 1), n 1) NWD(n 1, 0) n 1
†Ȍ NWD(2(1 2 3 … n) 1, n 1) NWD(n(n 1) 1, n 1)
NWD(1, n 1) NWD(1, 0) 1
‡Ȍ NWD((2n 1)(n 1), n 1) NWD(n 1, 0) n 1
1.3. ƒȌNWW(12, 28) 4 · NWW(3, 7) 4 · 3 · 7 84
„Ȍ
…Ȍ
†Ȍ
‡Ȍ
NWW(47, 3) 47 · 3
NWW(7 · 13, 13) 13 · NWW(7, 1) 13 · 7 91
NWW(n, n 1) n(n 1)
NWW((2n 1)(n 1), n 1) (n 1) · NWW(2n 1, 1) (n 1)(2n 1)]
1.4. ‹‡…ŠD(a)‘œƒ…œƒœ„‹×”†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„›a, D(b)œ„‹×”†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„›
b i D(c)œ„‹×”†œ‹‡Ž‹×™Ž‹…œ„›c.
ƒȌ NWD(a, b, c)Œ‡•–ƒŒ™‹¸•œ›‡Ž‡‡–‡œ„‹‘”—D(a) ˆ D(b) ˆ D(c).
„Ȍ ƒǡ„‘’‘Ž‡™‡Œ•–”‘‹‡Œ‡•–ƒŒ™‹¸•œ›‡Ž‡‡–œ„‹‘”—D(a) ˆ D(b) ˆ D(c).
‘ ’”ƒ™‡Œ ƒ› ƒŒ™‹¸•œ› ‡Ž‡‡– …œ¸ä…‹ ™•’׎‡Œ œ„‹‘”— D(c) ‹ œ„‹‘”— ™•œ›•–‹…Š †œ‹‡Ž‹×™ NWD(a, b)Ǥ ‘ƒœƒŽ‹ä› ȋ™‹‘•‡ ʹǡ –™‹‡”†œ‡‹‡ ͳǤ͹Ȍǡ Ç œ„‹×” ™•œ›•–‹…Š †œ‹‡Ž‹×™ NWD(a, b) ‹ œ„‹×” ™•’׎›…Š
†œ‹‡Ž‹×™ a i bǡ …œ›Ž‹ D(a) ˆ D(b)ǡ Œ‡•– –› •ƒ›Ǥ ƒ ™‹¸… œ ”×™‘ä…‹
(D(a) ˆ D(b)) ˆ D(c) D(a) ˆ D(b) ˆ D(c)™›‹ƒǡǐƒŒ™‹¸•œ›‡Ž‡‡–‘„—
œ„‹‘”×™Œ‡•––‡•ƒǤ
…Ȍ ”œ‡„ƒ’‘ƒœƒ©ǡnj‡äŽ‹a d b, to NWD(a, b, c) NWD(a, b – a, c)Ǥ‹‡›œ†‘™‘†—Ž‡ƒ–——Ž‹†‡•ƒȋ–™‹‡”†œ‡‹‡ͳǤͷȌǡÇD(a) ˆ D(b) D(a) ˆ D(b – a).
‘„‡…–‡‰‘D(a) ˆ D(b)) ˆ D(c) D(a) ˆ D(b – a)) ˆ D(c)Ǥƒ–‡‹ƒŒ™‹¸•œ› ‡Ž‡‡– ‘„— œ„‹‘”×™ Œ‡•– –‡ •ƒǤ †Ā› ”‘ †ƒŽ‡Œǣ ™ ™›”ƒĂ‡‹—
NWD(a, b, c)‘Ǐ›œƒ•–¦’‹©a i b’”œ‡œ‹‡Œ•œ¦œ‹…Š‹”‡•œ–¸œ†œ‹‡Ž‡‹ƒ
™‹¸•œ‡Œ’”œ‡œ‹‡Œ•œ¦‹ǡ‘…œ›™‹ä…‹‡ǡ–‘•ƒ‘‘Ѓœ”‘„‹©œ†‘™‘Ž¦’ƒ”¦
•’‘ä”׆Ž‹…œ„a, b, c.
†Ȍ NWD(234, 567, 890) NWD(234, 567 – 2 · 234, 890 – 3 · 234)
NWD(234, 99, 188) NWD(99, 234 – 2 · 99, 188 – 99) NWD(99, 36, 89)
NWD(36, 99 – 2 · 36, 89 – 2 · 36) NWD(36, 27, 17) NWD(17, 10, 2)
NWD(2, 0, 1) NWD(1, 0, 0) 1