30 Co tkwi we wzorach matematycznych: rzem

30 Co tkwi we wzorach matematycznych: rzem

30

PAK v o l . 5 3 , n r 5 / 2 0 0 7
Dorota CENDROWSKA
POLSKO-J A POŃ SKA W Y Ż SZ A SZ KOŁ A T E C H N I K KOM PU T E R OW Y C H , W A R SZ A W A
Co tkwi we wzorach matematycznych: rzemiosło czy sztuka?
Dr i n ż . Do r o t a C E N DR O W
A d iu n
P JW S
so w a ń
„ z a c ię
w ie d z
k t
T K
a u
c ie
y z
K a te d rz e
S y s te m
W a rs z a w ie . J e d n y m
to rk i je s t ty p o g ra fia , k tó
” d y d a k ty c z n e łą c z y s ię
z a k re s u s k ła d u te k s tu .
w
w
p ię kno. N ie każ dy b ę
r ó w z ar ó w no p od w z
p r z ec ież p ię kno t w or
s ob ie i P ań s t w u ż yc z ę
S K A
ó w
z o b s
ry u w
z p o p
In
z a r
z g
u la
te lig e n tn y c h
ó w z a in te re lę d n ia ją c je j
ry z o w a n ie m
2 . Wz ory m ate m aty c z n e — te ori a i . . . c z as
e-m a i l : d o r o t a . c en d r o w s k a @ p j w s t k . ed u . p l
S tr e s z c z e n ie
L u d z ie z a jm u ją c
je d n o o s o b o w y c h
re d a g o w a n y c h p
z m ie n ił s ię ś w ia
s k ła d u w z o ró w m
y s ię
z e s
rz e z
t lu d
a te m
n a u
p o łó
s ie b
z i s
a ty
dz ie w s t anie doc enić p ię kno P ań s t w a w z og lę dem mer yt or yc z nym c z y w iz u alnym, ale
z y s ię , b y b ył o p ię kniej w okó ł nas . C z eg o
.
k ą n ie s ą ju ż ty lk o a u to ra m i. S ta li s ię
w z a jm u ją c y c h s ię ró w n ie ż s tro n ą
ie p ra c . W a rty k u le ty m w s p o m n ia n o ,
k ł a d a j ą c y c h w z o r y . Po d a n o p o d s t a w o
c z n y c h o ra z p rz e d s ta w io n o ty p o w e b łę
c z ło n k a
te c h n ic z
ja k b a rd
w e z a sa
d y .
m i
n ą
z o
d y
P r z eg lą danie s t ar s z yc h p odr ę c z nikó w , s kr yp t ó w c z y ks ią ż ek,
z aw ier aj ą c yc h w z or y mat emat yc z ne, nieu c h r onnie p r ow adz i do
odkr yc ia, j ak b ar dz o s kł adanie w z or ó w z mienił o s ię w p r z ec ią g u
os t at nic h kilku dz ies ię c iu lat . Z a p r z ykł ad niec h p os ł u ż ą w z or y
z amies z c z one na r ys u nkac h 1 –5 , kt ó r yc h ź r ó dł em s ą p u b likac j e
[ 4 , 5 , 6 , 7 ] . W s p os ob ie z ł oż enia w s z ys t kic h t yc h w z or ó w moż na
dos t r z ec niez at ar t e ś lady ó w c z eś nie „ kł op ot liw yc h ” element ó w w e
w z or ac h np . s ymb olu p ier w ias t ka c z y lit er z alf ab et u g r ec kieg o
or az p r op onow ane r oz w ią z ania t yc h p r ob lemó w .
S ło w a k lu c z o w e : ty p o g ra fia , s k ła d w z o ró w m a te m a ty c z n y c h .
I n s i d e M ath e m ati c al F orm u l as : Craf t or Art?
A b str a c t
N o
a ls o
lik e
fo rm
a re
lo n g e r
m e m b
. In th
u la s a
d o n e w
s c ie n tis ts
e rs o f o n
is p a p e r,
re d e s c rib
h ile ty p e s
a re o n ly a u th
e -m a n -t e a m s w
b a s ic ru le s o
e d . T h e re a re
e ttin g m a th s .
o rs. T h e y h a v e u n c o
h o h a v e to c a re h o w
f ty p e s e ttin g c o n c e rn
p re s e n te d s o m e ty p ic
n s c io u
th e ir
in g m
a l m is
s ly b
w o rk
a th e m
ta k e s
e c o m e
lo o k s
a tic a l
w h ic h
R y s. 1 .
F ig . 1 .
P rz y k ła d w z o ru m a te m a ty c z n e g o z k s ią ż k i w y d a n e j w 1 9 1 6 [6 ]
A n e x a m p le o f a m a th e m a tic a l fo rm u la p u b lis h e d in 1 9 1 6 [6 ]
R y s. 2 .
F ig . 2 .
P rz y k ła d w z o ru m a te m a ty c z n e g o z k s ią ż k i w y d a n e j w 1 9 4 6 [7 ]
A n e x a m p le o f a m a th e m a tic a l fo rm u la p u b lis h e d in 1 9 4 6 [7 ]
R y s. 3 .
F ig . 3 .
P rz y k ła d w z o ru m a te m a ty c z n e g o z k s ią ż k i w y d a n e j w 1 9 6 0 [5 ]
A n e x a m p le o f a m a th e m a tic a l fo rm u la p u b lis h e d in 1 9 6 0 [5 ]
R y s. 4 .
F ig . 4 .
P rz y k ła d w z o ru m a te m a ty c z n e g o z k s ią ż k i w y d a n e j w 1 9 6 0 [5 ]
A n e x a m p le o f a m a th e m a tic a l fo rm u la p u b lis h e d in 1 9 6 0 [5 ]
R y s. 5 .
F ig . 5 .
P rz y k ła d w z o ru m a te m a ty c z n e g o z k s ią ż k i w y d a n e j w 1 9 8 2 [4 ]
A n e x a m p le o f a m a th e m a tic a l fo rm u la p u b lis h e d in 1 9 8 2 [4 ]
K e y w o r d s : ty p o g ra p h y , m a th s ty p e s e ttin g .
1 . Ws tę p
G dz ie z naj du j e s ię g r anic a mię dz y r z emios ł em a s z t u ką ? K iedy
c z ł ow iek p r z es t aj e b yć r z emieś lnikiem a z ac z yna b yć ar t ys t ą ?
W ydaw ać b y s ię mog ł o, ż e nau kow c y i s t u denc i nau k t ec h nic z nyc h nie mu s z ą z adaw ać s ob ie t akic h p yt ań , p oniew aż z e s z t u ką
niew iele maj ą w s p ó lneg o, moż e p oz a s p ec yf ic z nym w iz er u nkiem
u j ę t ym w s ł ow ac h p ios enki „ O ku lar nic y” A g nies z ki O s iec kiej .
N ie da s ię u kr yć , ż e w ś r ó d p r ac ow ej s p oł ec z noś c i b r ak p or yw aj ą c yc h op is ó w p r z yr ody c z y nag ł yc h z w r ot ó w akc j i. M imo t o w iele
z t yc h p r ac , c h oć w ymag aj ą c yc h , j es t w yj ą t kow o c iekaw yc h .
B ez w z g lę du na dz iedz inę , s p ec j aliz ac j ę i w ą s ki ob s z ar b adań
p r ac ow nikó w nau k t ec h nic z nyc h , w s p ó lny element — moż na b y
r z ec : w s p ó lny mianow nik — s t anow ią w z or y mat emat yc z ne.
Z w ykle p os t r z eg ane s ą p r z ez p r yz mat s ens u ic h is t nienia c z y
p ot r z eb y w ykor z ys t ania. W z or y s ł u ż ą do p r z eds t aw iania akt u alneg o s t anu p ola b it w y, do p r ow adz enia c z yt elnika konkr et ną ś c ież ką
lu b do p r ó b y p r z ekonania g o o s ł u s z noś c i nas z yc h r oz w aż ań .
W z or y s ą t eż mile w idz iane j ako w nios ki i kier u nkow s kaz y do
kolej nyc h p odr ó ż y nau kow yc h .
Ż yj ą c w dz is iej s z ym ś w iec ie lu dz ie z aj mu j ą c y s ię nau ką s t ali s ię
j u ż nie t ylko au t or ami ar t yku ł ó w , ale r ó w nież os ob ami, kt ó r e t e
p u b likac j e s kł adaj ą i r edag u j ą . Z t eg o t eż p ow odu c elem t eg o
ar t yku ł u j es t namó w ienie P ań s t w a na inne s p oj r z enie na w z or y
mat emat yc z ne. P r z ew r ot nie, mniej nas b ę dz ie int er es ow ać ic h
s ens a du ż o b ar dz iej ic h w yg lą d. T yp og r af ia t r akt ow ana j ako z b ió r
w ielow iekow yc h doś w iadc z eń dr u kar s kic h , okr eś la nie t ylko j ak
należ y s kł adać w yb r ane f r ag ment y t eks t u np . nag ł ó w ki, c yt at y,
p r z yp is y, ale r ó w nież p odaj e „ r ec ep t u r ki” na p op r aw ne i c z yt elne
z ł oż enie w z or ó w mat emat yc z nyc h . P r z yj r z ymy s ię w ię c t yp ow ym
b ł ę dom p op eł nianym p odc z as s kł adania w z or ó w .
W s z ys t ko t o p o t o, ab y p okaz ać , ż e db aj ą c o c z yt elnika nas z yc h
p r ac , p oz a t ym, ż e j es t eś my t w ó r c ami ar t yku ł u , s t aj emy s ię r ó w nież ar t ys t ami. A r t yś c i, b yć moż e, t w or z ą nikomu nie p ot r z eb ne
PAK v o l . 5 3 , n r 5 / 2 0 0 7

Najbar dziej jas k r awe r óżn ic e widać we wzor ac h zac zer p n ięt yc h
ze s k r yp t u p r zeds t awion e n a r ys un k ac h 3–5 . O c zywis t ym i og r an ic zen iam i związan ym i z n ar zędziem , jak im był a m as zyn a do p is an ia, dot yc zył y br ak u s ym bol i m at em at yc zn yc h or az dos t ęp n oś c i
t yl k o jedn eg o k r oju p is m a. O zn ac zał o t o m .in . br ak s k al owal n yc h
ws k aź n ik ów dol n yc h , g ór n yc h , br ak p oc h yl en ia s ym bol i, zas t ęp c ze s p os oby um ies zc zan ia s ym bol i z al f abet u g r ec k ieg o. P r zyk ł ady t e zos t ał y p r zeds t awion e, aby c zar n o n a biał ym p ok azać , że
dzis iejs ze m ożl iwoś c i s k ł adan ia wzor ów s ą n iebywal e bar dziej
zaawan s owan e i dos t ęp n e k ażdem u. T o c zeg o jedn ak edyt or y za
n as zr obić n ie m og ą t o, zadban ie o t o, by wzor y był y n ie t yl k o
m ożl iwe do n ap is an ia, al e aby był y c zyt el n e.
W p r zyp adk u t ek s t u c iąg ł eg o z ł at woś c ią dos t r zec m ożn a r óżn e
el em en t y n p .: t yt uł y, ś r ódt yt uł y c zy c yt owan ia. C el em ic h wyr óżn ian ia jes t zwięk s zen ie c zyt el n oś c i t ek s t u c zy um ożl iwien ie c zyt el n ik owi s p r awn e „ p or us zan ie s ię” p o p ubl ik ac ji. P odobn ie r zec z
s ię m a w p r zyp adk u wzor ów m at em at yc zn yc h .
W ś r ód zas ad s k ł adu t ek s t u dot yc ząc yc h s k ł adan ia wzor ów m at em at yc zn yc h s ą t e, k t ór e dot yc zą c ał yc h wzor ów, jak i ic h p os zc zeg ól n yc h el em en t ów [ 8 ] . I t ak , wzor y s k ł ada s ię t ym s am ym
k r ojem p is m a (dot yc zy t o r ówn ież s t op n ia p is m a). O ds t ęp s t wem
od t ej r eg uł y jes t zas t os owan ie in n eg o k r oju w p r zyp adk u, g dy
t ek s t p ods t awowy s k ł adan y jes t c zc ion k ą zawier ając ą c yf r y
n aut yc zn e.
W więk s zoś c i p r zyp adk ów wzor y s ą ut ożs am ian e z c zc ion k ą
p oc h yl on ą. T ym c zas em t yl k o s ym bol e ozn ac zając e s t ał e i zm ien n e
s k ł adan e s ą t ą odm ian ą p is m a. W c el u ł at wiejs zej iden t yf ik ac ji
s ym bol i ozn ac zając yc h war t oś c i s k al ar n e od t yc h s ym bol i, p od
k t ór ym i „ uk r ywają s ię” m ac ier ze c zy wek t or y p r zyjęt o, że t e os t at n ie s k ł adan e s ą n ie t yl k o c zc ion k ą p oc h yl on ą, al e dodat k owo s ą
wyt ł us zc zon e. I s t n ieje c ał a p l ejada el em en t ów we wzor ac h , k t ór yc h
n ie n al eży s k ł adać k ur s ywą, zac zyn ając od n awias ów c zy s ym bol i
l ub s k r ót ów n azw jedn os t ek m iar y l ub wiel k oś c i f izyc zn yc h . O m ówion e do t ej p or y zas ady p r zeds t awion o w p r zyk ł adzie (1 ).
 2 4
, B = d A, c = 300 000 km
A=
h
3 5
(1 )
K ur s ywy n ie s t os ujem y r ówn ież w t yc h el em en t ac h wzor u, k t ór e s t an owią op is s ł own y — p at r z wzór (2) — g dzie „ dla” , t o
s ł owo, a n ie il oc zyn t r zec h n iewiadom yc h d, l i a.
 1
 x −1

f ( x) =  1
 2x
 2
 x + 1
dla x < 1
dla x = 1
dla x > 1
(2)
M oże s ię t o wydać dziwn e, p is m em p r os t ym s k ł adan e s ą r ówn ież s k r ót y i ozn ac zen ia m at em at yc zn e n p .: c o s , c o n s t , e x p , m ax
it p ., p om im o że s ą in t eg r al n ą c zęś c ią m at em at yc zn eg o ś wiat a
i zwyk l e n ie s ą s p ot k an e w t ek ś c ie c iąg ł ym k s iążek bel et r ys t yc zn yc h . P r zyk ł ad s t an owią wyr ażen ia um ies zc zon e we wzor ze (3).
k = min f ( xi ) = max g ( x j ), x = log (exp (x ))
i
j
(3)
W s p ół is t n ien ie obok s iebie jedn oc ześ n ie f r ag m en t ów wzor ów,
k t ór e n ap r zem ien n ie s k ł adan e s ą k r ojem p r os t ym i p oc h yl on ym
n iezm ien n e m us iał oby p r owadzić do c ic h yc h wojen t er yt or ial n yc h
— s ym bol e zajm ują p r zes t r zeń n al eżąc ą do s ąs iadując yc h s ym bol i. Z t eg o p owodu wp r owadzon o zas ady um ies zc zan ia dodat k owyc h ods t ęp ów p om iędzy el em en t am i wzor ów. P r zyk ł ad n iep op r awn ie zł ożon eg o wzor u p r zeds t awion o w (4 ) or az jeg o p op r awion ą wer s ję w (5 ).
2!j+3!y+7 7 T(a+ b) (4 )
2! j + 3! y + 7 7 T (a + b)
(5 )
W t en s p os ób dos zl iś m y do n ajc iek aws zej c zęś c i dot yc ząc ej r ol i
ods t ęp ów we wzor ac h m at em at yc zn yc h . J es t z n im i p odobn ie jak
31
z k ul t ur ą, o k t ór ej m awia s ię, że n ie wiadom o c zym jes t , al e dos k on al e widać g dy jej br ak . O m ówm y więc p ok r ót c e n ajbar dziej
p ods t awowe zas ady związan e z ods t ęp am i we wzor ac h .
O ds t ęp y wiel k oś c i 1 p un k t u ws t awia s ię p om iędzy ozn ac zen ia
m at em at yc zn e s k ł adan e c zc ion k ą p r os t ą a l ic zbam i l ub s ym bol am i
je r ep r ezen t ując e (6 ). T ak i s am ods t ęp ws t awian y jes t r ówn ież:
p om iędzy l ic zbam i a n awias am i ot wier ając ym i (7 );
p r zed n awias em ot wier ając ym i p o n awias ie zam yk ając ym ,
jeżel i br ak jes t zn ak ów dział ań odp owiedn io p r zed i p o n awias ie (7 );
p om iędzy n as t ęp ując ym i p o s obie ozn ac zen iam i m at em at yc zn ym i (8 );
p r zed p r zec in k am i użyt ym i jak o zn ak i m at em at yc zn e (9 );
p r zed op er at or am i f un k c yjn ym i (9 ).
4 cos β + sin 17 + 4!α
3 (a + b ) + 5 x (a − b )
arc sin (α + β )
a = [x , y, z ], c = x f (a )
O ds
p
p
p
(6 )
(7 )
(8 )
(9 )
t ęp y wiel k oś c i 2 p un k t ów ws t awian y p owin ien być :
o p r zec in k ac h użyt yc h jak o zn ak i m at em at yc zn e (9 );
om iędzy dwa odwr ot n e n awias y (1 0 );
r zed i p o wiel ok r op k u (1 0 );
(1 + 2) (n + (n − 1)) +
K + ((n − 1) + n )(2 + 1)
(1 0 )
T ak wyg l ądają n ajważn iejs ze z is t ot n yc h f r ag m en t ów s zt uk i
p r awidł oweg o s k ł adan ia wzor ów, k t ór ej p r zyś wiec a s zac un ek dl a
odbior c y, c o n ie jes t bez zn ac zen ia, g dy w p r ac y s ześ ć dzies ięc ios t r on ic owej zn ajdziem y dwadzieś c ia p ięć s t r on s k ąp o k om en t owan yc h wzor ów. J ak wyg l ąda p r ak t yk a?
W ięk s zoś ć z t yc h zas ad zwyk l e jes t aut om at yc zn ie wp r owadzan a w c zyn p odc zas edyt owan ia wzor u, bez wzg l ędu n a t o, c zy
os oba s k ł adając a t ę wiedzę p os iada, c zy t eż n ie.
J edn ak zas t os owan ie n iek t ór yc h zas ad ozn ac za ś wiadom ie wyk on an ą dodat k ową p r ac ę. P odk r eś l ić n al eży, że jak p ok ażem y
w k ol ejn yc h c zęś c iac h ar t yk uł u n ie m a edyt or a, k t ór y był by od
t yc h br ak ów c ał k owic ie wol n y.
3. T y p o w e b ł ę d y — M I C R O S O F T W O R D
P ods t awowy bł ąd związan y z t ym edyt or em n ie dot yc zy bezp oś r edn io wzor ów m at em at yc zn yc h , c h oć k ł adzie s ię n a n ic h dł ug im
c ien iem . B ł ąd t en dot yc zy p ol s k iej n iep odważal n ej p ewn oś c i, że
edyt or t en n ie m a p r zed n am i żadn yc h t ajem n ic . T o, w p oł ąc zen iu
z p ol s k ą zar adn oś c ią daje n iebywał e ef ek t y „ r adzen ia s obie” , g dy
p r zyjdzie s ię zm ier zyć z um ies zc zan iem wzor ów m at em at yc zn yc h
w t ek ś c ie.
T ym c zas em p ot r zebujem y zal edwie dwóc h ak ap it ów, aby ws k azać t e m iejs c a, k t ór yc h zn ajom oś ć w p eł n i wys t ar c za, aby bez zbędn eg o n ak ł adu c zas u s t os ować , om ówion e w p un k c ie 2, zas ady.
P odal iś m y już, że f r ag m en t y wzor u m og ą p eł n ić r óżn ą r ol ę: być
n azwą n iewiadom ej, s t ał ej, wek t or a c zy być f r ag m en t em n iezbędn eg o op is u. O s p os obie s k ł adan ia t yc h el em en t ów (r odzaj c zc ion k i, ew. p oc h yl en ie, wyt ł us zc zen ie) m ożem y zadec ydować wybier ając z m e n u e d y t o r a r ó w n a ń op c je Styl/Definiuj. S am a
dec yzja w t ym wzg l ędzie n ie wys t ar c zy jedn ak , aby edyt or wiedział , k t ór e el em en t y wzor u jak ą p eł n ią r ol ę. D om yś l n ie, ws zys t k ie s ym bol e, k t ór e wp r owadzan o z k l awiat ur y, s ą t r ak t owan e jak o
n iewiadom a, c zyl i w t ak i s p os ób, jak by p r zedt em wybr an o z m en u
edyt or a r ówn ań op c je: Styl/M a tem a tyk a . „ D om yś l n oś ć ” t ę jedn ak
m ożem y zm ien iać w t r ak c ie wp r owadzan ia wzor u wybier ając
odp owiedn io dl a ozn ac zen ia m ac ier zy Styl/M a c ier z -W ek to r l ub
um ożl iwiając wp r owadzen ie op is u p o wybr an iu Styl/T ek s t.
W edyt or ze t ym dos t ęp n e s ą c zt er y ods t ęp y dodat n ie i jeden ods t ęp ujem n y, k t ór y um ożl iwia zbl iżan ie do s iebie s ąs iadując yc h ze
s obą s ym bol i. W s zys t k ie dos t ęp n e s ą n a p as k u n ar zędziowym .
I n t er es ując y n as jeg o f r ag m en t p r zeds t awion o w t abel i 1 . Z il us t r owan o r ówn ież użyc ie k ażdeg o z ods t ęp ów we wzor ze (1 1 ). D l a
32

porównania, wyrażenie ab ob rys owane l inią , t o s t and ard owy
od s t ęp międ zyznak owy w ed yt orze równań .
Tab. 1.
Tab. 1.
O d s t ę p y w e w z o r ac h m at e m at y c z ny c h
Te X c o m m and s f o r d i f f e r e nt t y p e s o f s p ac e s
m e nu
p r z y k ł ad y u ż y c i a ( e x am p l e s o f u s e )
ab
ab , a b, a b, a b, a b
4. T y p o w e b ł ę d y w
( 11)
ś w i e c i e T E X -a
N aj b ard ziej t ypowym b łęd em j es t myś l enie, że wzory złożone
w T eX u ( L aT eX u l ub innej od mianie T eX a) s ą zaws ze s k ład ane
perf ek c yj nie i użyt k ownik może c zuć s ię c ałk owic ie zwol niony
z t eg o, o c zym pis al iś my w c zęś c i d rug iej . B łęd y, c h oć w innym
zak res ie, nie omij aj ą nas również w przypad k u t eg o narzęd zia
i d ot yc zą t eg o, c zeg o nie wid ać , c zyl i od s t ępów.
T ymc zas em w T eX u s ą d o d ys pozyc j i c zt ery rod zaj e od s t ępów,
w t ym j ed en uj emny. O d powiad aj ą c e im ins t ruk c j e przed s t awiono
w t ab el i 2 . P oza przyk ład ami pod anymi d o t ej pory, k t óre również
w T eX u zos t ałyb y w przeważaj ą c ej więk s zoś c i złożone niepoprawnie, na rys unk u 6 . zamies zc zono nowe pros t e przyk ład y
il us t ruj ą c e aut omat yc zny s pos ób złożenia t yc h wzorów w T eX -u
oraz ef ek t , k t óry c h c iel ib yś my uzys k ać .
Tab. 2 .
Tab. 2 .
I ns t r u k c j e Te X a d o t . o d s t ę p ó w w e w z o r ac h m at e m at y c z ny c h
Te X c o m m and s f o r d i f f e r e nt t y p e s o f s p ac e s
i ns t r u k c j a
\,
z nac z e ni e ( d e s c r i p t i o n)
3 / 18 r o z m i ar u ak t u al ni e u ż y w ane j c z c i o nk i
\:
4 / 18 r o z m i ar u ak t u al ni e u ż y w ane j c z c i o nk i
\;
5 / 18 r o z m i ar u ak t u al ni e u ż y w ane j c z c i o nk i
\!
–3 / 18 r o z m i ar u ak t u al ni e u ż y w ane j c z c i o nk i
PAK v ol . 5 3 , n r 5 / 2 0 0 7
Z a przyk ład pos łuży nam łamanie „ d ług ic h wzorów” , c zyl i t ak ic h , k t óre nie mies zc zą s ię w j ed nym wiers zu i j es t eś my zmus zeni d o ic h pod ziału na k il k a k rót s zyc h wiers zy. W zory, k t óre w t en
s pos ób pows t aj ą nazywane s ą wiel owiers zowymi. P ows t aj e t eż
uzas ad nione pyt anie: j ak łamać t ak ie wzory?
O t óż, przyj ęt o [ 8 ] , że wzory przenos i s ię na znak ac h rel ac j i.
J eś l i j es t t o k oniec zne, wzór możemy również przenieś ć na znak ac h d ziałań . W ob u przypad k ac h znak poc h od zą c y z k oń c a wiers za nal eży powt órzyć na poc zą t k u nas t ępneg o wiers za. J eżel i wzór
j es t d ziel ony na znak u mnożenia, t o j ak o s ymb ol u oznac zaj ą c eg o
mnożenie nal eży umieś c ić s k oś ny k rzyżyk ( ×) . W c el u zwięk s zenia c zyt el noś c i d opus zc za s ię, ab y znak i d ziałań l ub rel ac j i znaj d uj ą c e s ię na poc zą t k ac h wiers zy s t anowiły j ed en pion. Z il us t rowano
t o s c h emat em wzoru ( 1 2 ) .
....... = .............................................................. =
= ............................................. =
= ........................................ +
+ ....................................... +
+ ............................ =
= .................
N ieznaj omoś ć ws pomnianyc h zas ad łamania wzorów wiel owiers zowyc h może prowad zić d o nieporozumień , g d y d ziałanie
j es t „ c zułe” na powt órzenia np. od ej mowanie — narzęd zie, j ak ie
j es t używane d o s k ład ania wzorów, j es t w t ym przypad k u zupełnie
d rug orzęd ne.
6 . P o d s u m o w an i e
W ierzą c , że na t yc h s k romnyc h t rzec h s t ronac h znal eź l i P ań s t wo d l a s ieb ie c oś noweg o i użyt ec zneg o pozos t aj e j uż t yl k o
zad ać zag ad k ę. I l e we wzorze ( 1 3 ) popełniono b łęd ów. N al eży
d od ać , że nie j es t t o „ zwyk ły” wzór wymyś l ony na pot rzeb y t eg o
art yk ułu, t o „ żyj ą c y” wzór, zd ob yt y od s t ud ent ów maj ą c yc h c zas em d o zd ania j ak ieś c o l l o q u i u m .
1

 arctg x + 1 dla x < −1

f ( x) =  ax + b dla − 1 ≤ x < 2
arccos( x − 2) dla 2 ≤ x ≤ 3


R y s .6 .
F ig .6 .
R z e c z y w i s t o ś ć i ż y c z e ni a w s k ł ad z i e w z o r ó w w Te X u
W i s h e s and r e al i t y — m at h e m at i c al f o r m u l as i n Te X
N ie pozos t aj e j uż nic inneg o j ak b ez zb ęd neg o rozpis ywania s ię
zwróc ić P ań s t wa uwag ę na t e miej s c a, w k t óryc h poprawimy
t ros zec zk ę T eX a. K od ź ród łowy zawart o w t ab el i 3 .
Tab. 3 .
Tab. 3 .
I ns t r u k c j e Te X a d o t . o d s t ę p ó w w e w z o r ac h m at e m at y c z ny c h
Te X c o m m and s f o r d i f f e r e nt t y p e s o f s p ac e s
e fe k t
k o d
$x=1,\:2 ,\:\d o t s ,\:k\!-\!1,\!k$
$x_ 1^ 2 + y _ j ^ 2 =\;\,? $
$s q r t { \,\l o g x} $
$s q r t { 2 } \,x$
$\i n t \!\!\i n t _ D
\m b o x{ d } x\, \m b o x{ d } y $
5 . I n t e r -e d y t o r s k i p r o b l e m
C h oć można d ys k ut ować o wyżs zoś c i j ed nyc h ed yt orów nad
d rug imi t o, mimo t o zaws ze znaj d zie s ię w życ iu j ak iś prob l em,
k t óry nie j es t w og ól e rozwią zywany aut omat yc znie. R zec nal eży:
i c ałe s zc zęś c ie! W ymag a t o j ed nak pewnej umowy międ zy c złonk ami s połec znoś c i żyj ą c ymi na c o d zień w c ieniu t ak ieg o prob l emu.
(1 2 )
(1 3 )
„ D l a t rening u” można również złożyć wzór z rys . 2 wyk orzys t uj ą c k ażd y z używanyc h przez P ań s t wa ed yt orów. I l e zas ad ,
o k t óryc h pis al iś my zos t ało w nim poprawnie zas t os owanyc h ,
o k t óryc h zapomniano s k ład aj ą c wzór ( 1 3 ) ?
C h oć przyt oc zone przyk ład y il us t ruj ą rac zej , że w s k ład aniu
wzorów j es t d użo rzemios ła, t o pozos t aj e mieć nad ziej ę, że przyznaj ą P ań s t wo, że można znal eź ć w nic h również c h oć od rob inę
s zt uk i, zwłas zc za g d y w ic h złożenie włożymy t roc h ę s erc a, b o
mała różnic a c zyni d użą różnic ę.
7 . L i t e r at u r a
[ 1 ] C e n d row s k a D . : Z ró b t o l e p i e j ! O s z t u c e k om p u t e row e g o s k ł ad u
t e k s t u , PWN , Wars z aw a 2 0 0 6 .
[ 2 ] C h w ał ow s k i R . : T y p og raf i a t y p ow e j k s i ą ż k i , H e l i on , G l i w i c e 2 0 0 2 .
[ 3 ] Kop k a H . , D al y P. W. : A G u i d e t o L aT e X , Ad d i s i on -We s l e y , 1 9 9 9 .
[ 4 ] T u row i c z A. : T e ori a m ac i e rz y , Wy d aw n i c t w o AG H , Krak ó w 1 9 8 2 .
[ 5 ] Wron a W. : M at e m at y k a, c z . I V , z e s z y t 1 , Pol i t e c h n i k a Wars z aw s k a, 1 9 6 0 .
[ 6 ] Z y d l e r J . : G e om e t ry a w z ak re s i e s z k oł y ś re d n i e j , Wy d aw n i c t w o M .
Arc t a, Wars z aw a 1 9 1 6 .
[ 7 ] Prac a z b i orow a, T e c h n i k , p od rę c z n i k d l a i n ż y n i e ró w , T om I , P.
Wod z i ań s k i ( w y d aw c a) , L on d y n 1 9 4 6 .
[ 8 ] N orm a B N -6 5 / 7 4 4 0 -0 5 , Z as ad y s k ł ad an i a w z oró w m at e m at y c z n y c h .
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Artyku ł re c e n z o w a n y