e - Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej

Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej
Wydział Mechaniczny Technologiczny
Politechnika Śląska
www.imio.polsl.pl
fb.com/imiopolsl
twitter.com/imiopolsl
LABORATORIUM
WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Zastosowanie metody elementów
skończonych do rozwiązywania zagadnień
dwuwymiarowych
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 2
1. CEL ĆWICZENIA

Zapoznanie się z metodą elementów skończonych (MES) w aspekcie zastosowania do rozwiązywania dwuwymiarowych (płaskich) zagadnień teorii sprężystości, a w szczególności:
- wyprowadzenie podstawowych zależności metody elementów skończonych dla zagadnień płaskich;
- budowa macierzy sztywności dla płaskich elementów trójkątnych i czworokątnych z liniowymi funkcjami kształtu.

Zapoznanie się z pakietem metody elementów skończonych TARCZA, PRO-MES, ABC
PŁYTA, PATRAN/NASTRAN lub innym i jego obsługą w przypadku zagadnień płaskich.
Wyznaczenie rozkładu naprężeń i przemieszczeń w układach modelowanych dwuwymiarowymi elementami skończonymi.

2. WPROWADZENIE
Analityczne wyznaczenie rozkładu przemieszczeń i naprężeń w konstrukcjach, w których
występuje płaski stan odkształcenia lub naprężenia jest możliwe tylko w szczególnym przypadku, gdy rozpatruje się prostą geometrię (tarcze, płyty, prostokątne lub kołowe) przy nieskomplikowanych warunkach brzegowych (podparcia i obciążenia). W ogólnym przypadku
należy skorzystać z metod numerycznych, do których należy metoda elementów skończonych.
Podstawy teoretyczne metody elementów skończonych dla zagadnień płaskich przedstawiono w literaturze zamieszczonej na końcu rozdziału. W niniejszym rozdziale przedstawiono
metodę elementów skończonych wykorzystując koncepcję całki ważonej oraz tzw. sformułowanie słabe, które szczegółowo przedstawiono w [1]. Inne, alternatywne sformułowanie, równoważne niniejszemu, można wyprowadzić z warunku minimalizacji energii potencjalnej.
3. PODSTAWY TEORETYCZNE
3.1 Metoda elementów skończonych dla dwuwymiarowych zagadnień teorii sprężystości
Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości związane mogą być z płaskim stanem naprężenia lub płaskim stanem odkształcenia. W obu przypadkach pole przemieszczeń określone jest przez wektor przemieszczenia u = (ui), i = 1,2.
W płaskim stanie naprężenia tensor stanu naprężenia określany jest następująco:
 11  12
T    21  22
0
 0
Oznacza to, że składowe  13   23   33  0 .
0
0

0
(1)
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 3
W płaskim stanie odkształcenia tensor stanu odkształcenia ma postać:
11 12
T    21  22
0
 0
0
0

0
(2)
W tym przypadku 13   23   33  0 .
Płaski stan naprężenia występuje w cienkich tarczach obciążonych siłami leżącymi w płaszczyźnie środkowej tarczy (rys. 1).
x
x
x


F
n
F

x
dx



n
n̂
h
n

n̂ 

n
-dx





x
Rys. 1. Tarcza w płaskim stanie naprężenia
Płaski stan odkształcenia występuje w ciałach o dużej szerokości obciążonych siłami równomiernie rozłożonymi wzdłuż powierzchni (rys. 2).
Warto przypomnieć, że nie można utożsamiać płaskiego stanu naprężenia z płaskim stanem odkształcenia, ponieważ temu ostatniemu towarzyszą naprężenia  33 :
 33 
E
1   1  2 
11   22   0 ,
(3)
gdzie:
E – moduł Younga;
 – liczba Poissona.
Równania równowagi dla zagadnienia dwuwymiarowego teorii sprężystości mają postać:
 11  12

 X1( x)  0
x1
x2
 21  22

 X 2 ( x)  0
x1
x2
gdzie:
X1 i X2 – składowe sił objętościowych.
dla x  ( x1, x2 )  ,
(4)
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 4
x
x

n



n̂ 

x
n


x
x

h
Rys. 2. Ciało w płaskim stanie odkształcenia
Równanie (4) w zapisie macierzowym przyjmuje postać:
T *      X   0
gdzie:

 x
T*   1
 0

(5)
 
x 2 

 
x1 
(6)
T
    11,  22 ,  12 ,
(7)
 
0

x 2
 X    X1 ( x ),
X 2 ( x )
T
(8)
Zależności między odkształceniami eij i przemieszczeniami ui można przedstawić następująco:
 u u 
u
u
(9)
11  1 ;  22  2 ; 12   21   1  2 
x1
x2
 x2 x1 
lub w zapisie macierzowym:
   T u ,
(10)
gdzie:
T
   11,  22 , 212 
u  u1,
 
 x
 1

T    0

 
 x
 2
(11)
u2 
(12)

0 

 
x2 
 
x1 
(13)
T
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 5
Warto zwrócić uwagę, że między macierzami T  i T *  istnieje następująca zależność:
T   T * 
T
(14)
Związki konstytutywne można przedstawić w postaci macierzowej:
   c  ,
(15)
gdzie:
 c11 c12
 c  c21 c22
0
 0
0
0

c33 
(16)
Stałe cij zależą od tego, czy mamy do czynienia z płaskim stanem naprężenia, czy też płaskim
stanem odkształcenia.
Dla płaskiego stanu naprężenia stałe cij mają następującą postać:
E
1  2
E
c12  c21 
1  2
E
c33 
2 1   2 
c11  c22 
(17)
W przypadku płaskiego stanu odkształcenia stałe cij przyjmują wartości:
E 1   
1    2 2
E
c12  c21 
1   2
E
c33 
2 1   
c11  c22 
(18)
Wstawiając (15) i (10) do (5) otrzymuje się równania równowagi wyrażone w przemieszczeniach (równania Naviera-Lamego):
c11
  2u1
 2u1
 2u2
 2u2

c

c

12
33 
2
x12
x1 x2
 x2 x1 x2

  1  0

  2u1
 2u 
 2u1
 2u
c33 
 22   c12
 c22 22   2  0
x1 x2
x2
 x1 x2 x1 
(19)
Równania (19) należy jeszcze uzupełnić warunkami brzegowymi, które w przypadku ogólnym mają postać warunków brzegowych mieszanych:
- dla przemieszczeń:
u1  uˆ1 , u2  uˆ2 na 1
(20)
- dla sił powierzchniowych:
p1   11n1   12n2  pˆ1 
(21)
 na 2 ,
p2   21n1   22n2  pˆ 2 
gdzie:
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 6
1   2  ;
1   2  0;
ni – składowe wektora normalnego n̂ do brzegu .
Warunki brzegowe dla sił powierzchniowych można wyrazić przez przemieszczenia, jeśli
w (21) uwzględnimy (15) i (10). Otrzymujemy wówczas:
 u
 u u 
u 
p1   c11 1  c12 2  n1  c33  1  2  n2
x2 
 x1
 x2 x1 
(22)
 u u 
 u
u 
p2  c33  1  2  n1   c12 1  c22 2  n2
x2 
 x2 x1 
 x1
Układ równań (19) wraz z warunkami brzegowymi (20) i (21) tworzy tzw. zagadnienie
brzegowe teorii sprężystości.
Przybliżone rozwiązanie zagadnienia brzegowego teorii sprężystości otrzymać można przy
użyciu metody elementów skończonych. W tym celu płaski obszar  dzieli się na elementy
skończone e, e = 1, 2,..., E w postaci trójkątów lub czworokątów (rys. 3).
x
x

(u2 )3e , F6e (u )e , F e
1 3
5

(u1 )4e , F7e
(u2 )4e , F8e
(u2 )3e , F6e
(u1 )3e , F5e
(u2 )2e , F4e
(u2 )1e , F2e
(u1 )2e , F3e
e
1 1
e
1
(u ) , F
(u1 )2e , F3e
(u1 )1e , F1e
(u2 )1e , F2e
(u2 )2e , F4e
x
x
a)
b)
Rys. 3. Elementy skończone e: a) trójkątne; b) czworokątne


Objętość elementu skończonego e określona jest przez Ve = e   12 h, 12 h , gdzie h jest
grubością elementu.
Na każdym elemencie skończonym e przemieszczenia ui, (i = 1, 2) aproksymowane są za
pomocą wielomianu Uie ( x1 , x2 ):
m
ui ( x1 , x2 )  U e ( x1, x2 )   (ui ) ej N ej (x1, x2 ) ,
j 1
gdzie:
(ui )ej – wartości wstępne przemieszczeń;
N ej ( x1 , x2 ) – funkcje kształtu (funkcje interpolacyjne);
m – rząd aproksymacji.
(23)
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 7
Stosując zapis macierzowy aproksymację przemieszczeń na elemencie skończonym można
przedstawić następująco:
 (u1 )1e 

e 
 (u1 ) 2 


 m
e
e
(
u
)
N



1
j
j


e
N 2e ... N me
0
0...0   (u1 ) em 
 u1   j 1
  N1


u      m

e 
e
e
e
(
u
)

u2   (u ) e N e   0
0...0
N1
N 2 ... N m   2 1 

2 j
j


 (u2 ) 2e 
 j 1





(u ) e 
 2 m
 N1e

 0

0
N 2e
0 ... N me
N1e
0
N 2e ... 0
 (u1 )1e 

e 
 (u2 )1 
(u1 ) 2e 
0 
  (u ) e    N e   e 
 2 2  
e 
Nm  



 (u1 ) em 

e 
(u2 ) m 
(24)
gdzie:
[N e] – macierz funkcji kształtu;
{e } – macierz kolumnowa przemieszczeń węzłowych.
Odkształcenia i naprężenia w elemencie e określone są następująco:
    B   
   C   B   ,
e
e
e
gdzie:
e
e
e
e
 B e   T   N e 
(25)
(26)
(27)
Z uwagi na przybliżenie rozwiązania zadania brzegowego wielomianem (23) równanie
(19) nie jest spełnione dokładnie, tzn.:
R1  c11
  2u1
 2u1
 2u2
 2u2

c

c

12
33
 2
x12
x1 x2
 x2 x1 x2

  X1  0

  u1
u 
 u1
u
R2  c33 
 22   c12
 c22 22  X 2  0
x1 x2
x2
 x1 x2 x1 
2
2
2
2
dla ui  U e ( x1 , x2 ) (28)
W celu wyznaczenia nieznanych wartości węzłowych przemieszczeń żąda się, aby równania (19) były spełnione na elemencie skończonym e o objętości V e w sensie całki ważonej:
 R1w1dV  0
Ve
 R2 w2 dV  0 ,
Ve
gdzie w1 i w2 – funkcje ważone.
(29)
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 8
Ponieważ przemieszczenia ui(x1, x2) nie zależą od współrzędnej x3, więc całki ważone (29)
przybierają postać:
he  R1 w1dx1dx2  0
e
(30)
he  R2 w2 dx1dx2  0
e
gdzie:
he – grubość elementu e.
Całkując (30) przez części otrzymuje się:
 w   u

 u   w1   u1  u2 
he   1  c11 1  c12 2  
c33 

  w1 X 1 dx1dx2 
 x1   x1
 x2   x2   x2  x1 

e 
he  w1 p1dS  0,
e
 w

  u  u   w2   u1
u 
he   2 c33  1  2  
 c22 2   w2 X 2 dx1dx2 
 c12
 x1   x2  x1   x2   x1
 x2 

e 
(31)
he  w2 p2dS  0
e
gdzie  – krawędź elementu skończonego e.
e
W metodzie elementów skończonych w ujęciu Ritza przyjmuje się, że funkcje wagowe
przyjmują postać funkcji kształtu, tzn. w1  N1e i w2  N 2e . Wówczas równania (31) można
przedstawić w następującej postaci macierzowej:
 K 11 
 21
 K 
 K u    F   ,
 K u   F 
12
1
1
22
2
(32)
2
gdzie:
e
 N ie N ej
N ej 

N
i
dx dx
K  he   c11
 c33
x1 x1
x2 x2  1 2
e 
11
ij
e
 N ie N ej
N ie N j 

K ij12  K 21

h
c

c
ji
e   33
22
dx1dx2

x

x

x

x
e
1
1
2
2
 

(33)
Fi1  he  N ie X 1dx1dx2  he  N ie p1dS
e
e
Fi 2  he  N ie X 2 dx1dx2  he  N ie p2 dS
e
e
Równanie (32) zapisać można także w bardziej zwartej postaci:
K    F ,
e
e
e
(34)
gdzie:
 K e   he   B e  C e   B e  dx1dx2
e
T
(35)

T X 
T
F e  he   N e   1 dx1dx2  he   N e 
X2 
e
e
 p1 
 dS
 p2 
(36)
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 9
Macierz [Ke] jest macierzą symetryczną sztywności elementu skończonego o wymiarach
2m2m, natomiast {Fe} jest macierzą kolumnową sił o wymiarach 2m1m.
Elementy trójkątne
W przypadku elementów trójkątnych (rys. 4) należy w zależności (23) przyjąć, że
m = 3, zaś funkcje kształtu N ie mają postać wielomianów liniowych:
N ie ( x1 , x2 ) 
1
ie  ie x1   ie x2  ;
2 Ae
i  1,2,3 ,
(37)
gdzie:
 i  ( x1 ) j ( x2 ) k  ( x1 ) k ( x2 ) j ;
 i  ( x2 ) j  ( x2 ) k ;
 i  ( x1 ) j  ( x2 ) k ,
dla i  j  k oraz wskaźniki i, j oraz k podlegają permutacji.
Funkcje kształtu N ie mają następującą własność:
Nie ( x1 )ej ,( x2 )ej    ij ;
x
a)
i, j  1,2,3
(38)
3


1
x
2
b)
3

N
3
e
1
1
N 3e
N
3
2
1
2
e
2
2
2
Rys. 4. a) Trójkątny element skończony i b) funkcje kształtu N ie
Elementy czworokątne
W przypadku czworokątnych elementów skończonych (rys. 5) należy w zależności (23)
przyjąć m = 4. Wówczas w lokalnym układzie współrzędnych x1, x2 funkcje kształtu N ie
mają postać:
x 
x 
x 
x 

N1e   1  1   1  2  ,
N 2e  1  1  2  ,
a 
b
a
b

(39)
x1 x2
x1  x2

e
e
N3 
,
N 4  1  
ab
ab

Graficzną interpretację funkcji kształtu dla elementu czworokątnego przedstawiono na rys. 5b.
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 10
a)
x


x2 

3
4
1
2
b

a
N1e 4
b)
x1 
x
4

N 2e
3
3
1
1
2
2
N 4e
N 3e
4
4
1
3
2
3
1
2
Rys. 5. a) Czworokątny element skończony i b) funkcje kształtu N ie
Szczegółowy opis metody elementów skończonych dla zagadnień brzegowych teorii sprężystości znajdzie czytelnik w podręczniku [2]. Edukacyjne programy MES do zagadnień
dwuwymiarowych, osiowo-symetrycznych i przestrzennych (odpowiednio TARCZA, OSSYM i MES3D) znajdują się na stronach internetowych:
http://dydaktyka.polsl.pl/mes.
3.2 Przygotowanie zadania do rozwiązania metodą elementów skończonych
W celu rozwiązania konkretnego zadania brzegowego należy utworzyć model numeryczny
rozpatrywanego układu. W rzeczywistym układzie mechanicznym wyodrębniamy części składowe, które modelujemy jako pręty (belki) lub elementy płaskie dwuwymiarowe (płytowe,
tarczowe, powłokowe). Niektóre fragmenty konstrukcji mogą być modelowane elementami
przestrzennymi (trójwymiarowymi). W przypadku występowania w konstrukcji osiowej symetrii ze względu na geometrię i warunki brzegowe (podparcia i obciążenia) zagadnienie modeluje się elementami osiowo-symetrycznymi opisywanymi w przekroju osiowym konstrukcji. Elementy osiowo-symetryczne opisuje się tak jak elementy płaskie, przy czym kontur
przekroju osiowego (a w zasadzie jego połowa) jest brzegiem opisywanego obszaru. W niniejszych rozważaniach ograniczono się do elementów dwuwymiarowych (płyty, tarcze).
Płyty i tarcze modeluje się płaskimi dwuwymiarowymi elementami trójkątnymi lub czworokątnymi. Ze względu na większą dokładność zaleca się stosować elementy czworokątne
prostokątne lub zbliżone do prostokątów.
W każdym elemencie zadaje się grubość i rodzaj materiału. W przypadku elementów tarczowych obciążenia i podparcia mogą występować tylko w płaszczyźnie elementu w kierun-
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 11
kach osi x i y globalnego układu współrzędnych. W przypadku elementów płytowych obciążenia i podparcia występują tylko w kierunku prostopadłym do płaszczyzny elementu (w osi z).
Podział układu na węzły i elementy musi uwzględniać rzeczywiste własności układu.
Podczas tworzenia modelu numerycznego należy przestrzegać następujących zasad:
1. Elementy mogą łączyć się tylko w węzłach.
2. Siły skupione i momenty skupione mogą być zadawane tylko w węzłach.
3. Podpory mogą być umieszczane tylko w węzłach.
4. Obciążenia ciągłe należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zastąpić obciążeniami skupionymi.
5. Momenty ciągłe rozłożone należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zastąpić momentami skupionymi.
6. Podparcie ciągłe należy zastąpić podporami w węzłach.
7. Odległości pomiędzy węzłami (długości elementów) powinny być w miarę równomierne.
8. Różnica pomiędzy numerami węzłów w elemencie powinna być jak najmniejsza (pasmo
minimalne).
9. Układ musi mieć tak narzucone więzy (punkty podparcia), aby nie tworzył mechanizmu.
Dodatkowo przy opisie elementów dwuwymiarowych numery węzłów należy podawać
zawsze w tym samym kierunku, najlepiej w odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Zwrot
normalnej do elementu musi być we wszystkich elementach jednakowy.
4. PRZEBIEG ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy wytrzymałościowej układu zamodelowanego dwuwymiarowymi elementami skończonymi. Jako przykład może posłużyć dowolny
obiekt spełniający warunki płaskiego stanu naprężenia lub odkształcenia. Poniżej przedstawiono przykład ustroju w płaskim stanie naprężenia.
4.1 Przykładowe zadanie
Przykładem zagadnienia dwuwymiarowego jest tarcza w płaskim stanie naprężenia. Jako
zadanie można zamodelować tarczę prostokątną, utwierdzoną na jednym boku, z półkolistym
wycięciem na boku przeciwległym (rys. 6).
Jako obciążenie można przyjąć siły P1, P2 i P3 działające w płaszczyźnie tarczy. Dane dotyczące geometrii, obciążenia i materiału zaleca się przyjąć następująco:
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 12
a  0.5 m
b  0.15 m
g  5 mm
P1  1 kN
E  2  105 MPa
  0.3
c  0.15 m
P2  5 kN
 dop  150 MPa
d  0.1 m
P3  2 kN
Należy wyznaczyć przemieszczenia układu (wypadkowe i składowe), rozkłady naprężeń
redukowanych, głównych i składowe oraz rozkłady odkształceń. Następnie zmieniając gruP1
P1
P2
d
g
c
b
a
P3
P3
bość elementów należy dobrać wymiary tarczy, dla których maksymalne naprężenia będą
równe naprężeniom dopuszczalnym dop = 150 MPa.
Rys. 6. Tarcza z wycięciem
5. OPRACOWANIE WYNIKÓW I WYTYCZNE DO SPRAWOZDANIA
Obliczenia należy przeprowadzić korzystając z pakietu programów do metody elementów
skończonych wskazanego przez prowadzącego ćwiczenia. Wyniki należy przedstawić w formie wydruków sporządzonych na drukarce.
Sprawozdanie powinno zawierać:
Cel ćwiczenia
Krótkie omówienie podstaw MES-u i zasad modelowania w MES-ie
Opis rozwiązywanego zagadnienia i modelu numerycznego (z rysunkami)
Wyniki obliczeń w formie wydruków sporządzonych na drukarce. Wyniki mają
zawierać:
1. Rysunki ugięć dla różnych wariantów obciążenia
2. Rysunki naprężeń składowych x i y
I.
II.
III.
IV.
3. Rysunki naprężeń redukowanych
V.
Analizę wyników
VI.
Wnioski
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ DWUWYMIAROWYCH 13
6. PRZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE
1.
Do czego służy metoda elementów skończonych?
2.
Co to jest macierz sztywności i w jakim wzorze występuje?
3.
Co to są funkcje kształtu?
4.
Co to są elementy skończone i jakie wielkości je opisują?
5.
Jakich zasad należy przestrzegać w przypadku rozwiązywania zagadnienia metodą elementów skończonych?
6.
Podaj prawo Hooke’a dla płaskiego stanu odkształcenia (lub płaskiego stanu naprężenia).
7. LITERATURA
1.
Beluch W., Burczyński T., Fedeliński P., John A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorium
z wytrzymałości materiałów. Wyd. Politechniki Śląskiej, Skrypt nr 2285, Gliwice, 2002.
2.
Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego,
WNT, Warszawa 2001.
3.
Jaworski A.: Metoda elementów skończonych w wytrzymałości konstrukcji, Wyd. Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1981.
4.
Kruszewski J.: Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji, PWN, Warszawa 1981.
5.
Pietrzak J., Rakowski G., Wrześniowski K.: Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, Warszawa-Poznań 1979.
6.
Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w mechanice, PWN, Warszawa 1980.
7.
Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w statyce konstrukcji, Arkady, Warszawa
1979.
8.
Szmelter J.: Metody komputerowe w mechanice, PWN, Warszawa 1980.
9.
Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa 1972.
Czy
wiesz,
że…
Większość samolotów Boeing została zaprojektowana
z wykorzystaniem programu MES MSC.Nastran.
Z programem tym oraz innymi programami MES
możesz zapoznać się wybierając specjalność na II
stopniu studiów w Instytucie Mechaniki i Inżynierii
Obliczeniowej: www.imio.polsl.pl/specjalnosci.aspx
(Obraz: www.mscsoftware.com/industry/aerospace)