φ φ φ ψ π2 φ φ φ ψ π2 - ZAKŁAD CHEMII TEORETYCZNEJ

ChPiS, Podstawy chemii teoretycznej, III zestaw
"Jeśli nie potrafimy wyjaśnić wyniku, bez odwoływania się do matematyki, to go tak naprawdę nie rozumiemy"
Ernest Rutherford
1. Sprawdź, które z podanych funkcji są funkcjami porządnymi (klasy Q):
a) e ±αx dla − ∞ < x < ∞ ;
b) x n e − x dla − ∞ < x < ∞ ;
2
f) x n e −αx dla 0 ≤ x < ∞ ;
ln|x| dla 1 ≤ x < ∞ ;
c) e ± iαx dla − a ≤ x ≤ a ;
d) tg x dla 0 ≤ x < ∞ ; e)
h) e ± iαx dla 0 ≤ x ≤ 2π
g) sin αx dla 0 ≤ x ≤ 2π ;
gdzie α jest dodatnim parametrem oraz n = 0, 1, 2, ... Zmienna x jest kątem określającym położenie cząstki.
2. Unormuj funkcje:
a) f ( x ) = e − iax , x ∈ (0,2π ) ; b) f ( x) = e − a
d) f (r ) = e
− ar
w podprzestrzeni r i rθφ;
2 2
x
, x ∈ ( −∞, ∞ ) ;
e) f ( r ) = e
− zr / 2 a0
c) f ( x ) = sin bx , x ∈ (0,2π ) ;
(2 − zr / a 0 ) w podprzestrzeni rθφ.
3. Unormuj funkcje falową ψ = 3φ1 + 4φ5 + 5φ7 , wiedząc, że funkcje φi są funkcjami własnymi pewnego operatora
hermitowskiego.
4. Wykaż explicite, że funkcje f n ( x) =
f ( x) = e − ax
f ( x) = xe − ax
2
1
2π
e inx , gdzie |n|=0,1,2,... są ortonormalne w przedziale 0 ≤ x ≤ 2π
f ( x) = x 2 e − ax
2
f ( x) = x 3 e − ax
2
2
f ( x) = x 4 e − ax
2
ChPiS, Podstawy chemii teoretycznej, III zestaw
"Jeśli nie potrafimy wyjaśnić wyniku, bez odwoływania się do matematyki, to go tak naprawdę nie rozumiemy"
Ernest Rutherford
1. Sprawdź, które z podanych funkcji są funkcjami porządnymi (klasy Q):
a) e ±αx dla − ∞ < x < ∞ ;
ln|x| dla 1 ≤ x < ∞ ;
b) x n e − x dla − ∞ < x < ∞ ;
2
f) x n e −αx dla 0 ≤ x < ∞ ;
c) e ± iαx dla − a ≤ x ≤ a ;
g) sin αx dla 0 ≤ x ≤ 2π ;
d) tg x dla 0 ≤ x < ∞ ; e)
h) e ± iαx dla 0 ≤ x ≤ 2π
gdzie α jest dodatnim parametrem oraz n = 0, 1, 2, ... Zmienna x jest kątem określającym położenie cząstki.
2. Unormuj funkcje:
a) f ( x) = e − iax , x ∈ (0,2π ) ; b) f ( x) = e − a
d) f (r ) = e
− ar
w podprzestrzeni r i rθφ;
2 2
x
, x ∈ ( −∞, ∞ ) ; c) f ( x) = sin bx , x ∈ (0,2π ) ;
e) f ( r ) = e − zr / 2 a0 ( 2 − zr / a 0 ) w podprzestrzeni rθφ.
3. Unormuj funkcje falową ψ = 3φ1 + 4φ5 + 5φ7 , wiedząc, że funkcje φi są funkcjami własnymi pewnego operatora
hermitowskiego.
4. Wykaż explicite, że funkcje f n ( x) =
f ( x) = e − ax
2
f ( x) = xe − ax
2
1
2π
e inx , gdzie |n|=0,1,2,... są ortonormalne w przedziale 0 ≤ x ≤ 2π
f ( x) = x 2 e − ax
2
f ( x) = x 3 e − ax
2
f ( x) = x 4 e − ax
2
Max Born (1882-1970) – profesor uniwersytetów w Getyndze,
Berlinie, Cambridge i Edynburgu, autor terminu „mechanika
kwantowa” i probabilistycznej interpretacji funkcji falowej.
Urodził się we Wrocławiu w gdzie zaczął studiować matematykę,
którą kontynuował potem w Heidelbergu i Zurychu. Doktorat z
fizyki i astronomii otrzymał w 1907 w Getyndze, gdzie w wkrótce
zaczął piąć się po schodach kariery akademickiej. U Borna zaczęli
pracować Werner Heisenberg, Pascual Jordan i Wolfgang Pauli. Born dostrzegł związek
sformułowanej w 1925 przez Heisenberga mechaniki kwantowej z algebrą macierzy, a
potem wspólnie z Heisenbergiem i Jordanem napisali spójną teorię mechaniki kwantowej.
W 1954 otrzymał spóźnioną o conajmniej kilkanaście lat nagrodę Nobla („for his
fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of
the wave-function”). Born był pochodzenia żydowskiego i dlatego w 1933 został zmuszony
do opuszczenia Niemiec a w 1939 przyjął obywatelstwo brytyjskie. „Nie pasuję do
dzisiejszej fizyki, w której badania prowadzą duże zespoły specjalistów. Zawsze bardziej
interesowało mnie filozoficzne tło nauki niż konkretne wyniki” – napisał w swojej
autobiografii. Born był także muzykiem i lubił uczyć się na pamięć wierszy. W ostatnim
okresie życia powrócił do Niemiec i osiadł niedaleko Getyngi. Na jego nagrobku do dziś
dnia widnieje jedno z fundamentalnych równań mechaniki kwantowej pq – qp = h / 2πi.
Nagroda Nobla
1954
źródła: J. Simmons „100 najwybitniejszych uczonych wszech czasów”, Świat Książki, Warszawa 1997, L. Piela ”Idee Chemii Kwantowej”, PWN, Warszawa 2003
Max Born (1882-1970) – profesor uniwersytetów w Getyndze,
Berlinie, Cambridge i Edynburgu, autor terminu „mechanika
kwantowa” i probabilistycznej interpretacji funkcji falowej.
Urodził się we Wrocławiu w gdzie zaczął studiować matematykę,
którą kontynuował potem w Heidelbergu i Zurychu. Doktorat z
fizyki i astronomii otrzymał w 1907 w Getyndze, gdzie w wkrótce
zaczął piąć się po schodach kariery akademickiej. U Borna zaczęli
pracować Werner Heisenberg, Pascual Jordan i Wolfgang Pauli. Born dostrzegł związek
sformułowanej w 1925 przez Heisenberga mechaniki kwantowej z algebrą macierzy, a
potem wspólnie z Heisenbergiem i Jordanem napisali spójną teorię mechaniki kwantowej.
W 1954 otrzymał spóźnioną o conajmniej kilkanaście lat nagrodę Nobla („for his
fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of
the wave-function”). Born był pochodzenia żydowskiego i dlatego w 1933 został zmuszony
do opuszczenia Niemiec a w 1939 przyjął obywatelstwo brytyjskie. „Nie pasuję do
dzisiejszej fizyki, w której badania prowadzą duże zespoły specjalistów. Zawsze bardziej
interesowało mnie filozoficzne tło nauki niż konkretne wyniki” – napisał w swojej
autobiografii. Born był także muzykiem i lubił uczyć się na pamięć wierszy. W ostatnim
okresie życia powrócił do Niemiec i osiadł niedaleko Getyngi. Na jego nagrobku do dziś
dnia widnieje jedno z fundamentalnych równań mechaniki kwantowej pq – qp = h / 2πi.
Nagroda Nobla
1954
źródła: J. Simmons „100 najwybitniejszych uczonych wszech czasów”, Świat Książki, Warszawa 1997, L. Piela ”Idee Chemii Kwantowej”, PWN, Warszawa 2003