Ćw. A2

Ćwiczenie A2 : Filtry bierne
Jacek Grela, Radosław Strzałka
29 marca 2009
1
Wstęp
1.1
Wzory
Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, których używaliśmy w obliczeniach:
1. Stała czasowa filtru RC
τ = RC
(1)
Gdzie:
R – rezystancja opornika,
C – pojemność kondensatora, wchodzących w skład filtru.
2. Związek między stałą czasową a częstością i częstotliwością graniczną dla filtrów
1
= 2πfg
τ
Na podstawie tych wzorów obliczymy stałe czasowe i częstotliwości dla poszczególnych filtrów.
ωg =
(2)
3. Czas narastania/opadania w funkcji stałej czasowej
tr = 2.2τ
4. Transmitancja operatorowa
K(s) =
(3)
Uout (s)
Uin (s)
(4)
5. Transmitancja widmowa
ˆ Filtr dolnoprzepustowy (układ całkujący) 1-biegunowy
1
K f = r
K(jω) =
,
ω
1 + j ωg
fg ˆ Filtr górnoprzepustowy (układ różniczkujący) 1-biegunowy
1
K fg = r
K(jω) =
,
ωg
f 1+j ω
1
2
1 + ffg
1
2
f
1 + fg
(5)
(6)
ˆ Filtr górnoprzepustowy (układ różniczkujący) 2-biegunowy - układ dwóch filtrów górnoprzepustowych
połączonych szeregowo (przypadek: f1 f2 )
1
1
1
K f g = r 1
(7)
K(jω) =
·
,
2 · r
2
1 + j ωω1 1 + j ωω2
f 1 + ff1
1 + ff2
Jeżeli stałe czasowe obu filtrów są równe, to otrzymujemy 1 biegun podwójny.
ˆ Filtr pasmowoprzepustowy 1-biegunowy - układ dwóch filtrów: dolno- i górnoprzepustowego połączonych
szeregowo (fg filtru dolnoprzepustowego jest mniejsza niż dla filtru górnoprzepustowego).
6. Przejście z jednostek [V /V ] na [dB]
k [dB] = 20 log(|K(jω)|)
1
(8)
2
Wyniki pomiarów i opracowanie
W trakcie pomiarów na wejściu podawaliśmy różne sygnały o stałej amplitudzie U0 = 4 [V ] (2 · 2V P P ). Zbadaliśmy
filtry dolno- i górnoprzepustowe 1-biegunowe, górnoprzepustowy 2-biegunowy oraz pasmowoprzepustowy.
2.1
Filtry dolno- i górnoprzepustowe 1-biegunowe
2.1.1
Filtr dolnoprzepustowy
Układ składał się z opornika R1 = 20 [kΩ] oraz z kondensatora C1 = 470 [pF ]. W związku z tym stała czasowa
(wyliczona ze wzoru (1)) wynosi τ1 = 9.4 [µs]. W oparciu o te dane (wzór (2)) określamy teoretyczną wartość
częstotliwości granicznej: fg1 = 16931 [Hz].
Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
k [dB]
Na wyjściu podawaliśmy sygnał sinusoidalny o amplitudzie U0 i zmiennej częstotliwości. Na oscyloskopie obserwowaliśmy przefiltrowany sygnał. Zadaniem było odtworzenie charakterystyki i w oparciu o wykres k(f ) określenie
częstotliwości granicznej fg1 oraz asymptotycznego nachylenia charakterystyki.
(-18.37 +/- 0.22) [dB/dec]
-3 [dB]
Dopasowanie k(f)
0
(18603,-3)
-5
-10
-15
-20
-25
-30
1000
10000
100000
1e+06
f [Hz]
Wyk.1 Charakterystyka filtru dolnoprzepustowego 1-biegunowego.
Określamy nachylenie wykresu w zakresie dużych częstotliwości. Dla ostatnich ośmiu punktów pomiarowych dopasowujemy linię prostą, której nachylenie wynosi (−18.37 ± 0.22) [dB/dec]. Wiemy, że dla układu 1-biegunowego
nachylenie powinno wynosić −20 [dB/dec]. Odstępstwo wynika ze zbyt małej ilości punktów pomiarowych w zakresie odpowiednio dużych częstotliwości.
Częstość graniczną określamy w następujący sposób: do punktów pomiarowych dopasowujemy funkcję analityczną
e
(daną wzorem (5)) ze sparametryzowaną wartością częstotliwości granicznej fg1
. Uzyskaliśmy wartość:
e
fg1
= (18603 ± 178) [Hz]
Częstość graniczną można też określić szukając współrzędnej f punktu przecięcia charakterystyki z funkcją stałą
wzmocnienia k = −3 [dB] (zostało to uwidocznione na Wyk.1 ). Jednakże ta metoda jest mniej dokładna, ponieważ
nie dysponujemy tak gęstą liczbą punktów w okolicach domniemanego fg1 , żeby wyznaczyć dokładnie punkt przecięcia.
Wyznaczona z wykresu wartość częstotliwości granicznej jest większa niż przewidywana, a błąd względny wynosi
10%.
2
Odpowiedź układu całkującego na sygnał wejściowy
Na wejście podajemy sygnał prostokątny o czasie trwania tw = 5τ1 = 47 [µs]. Oscyloskop pokazał następującą
odpowiedź układu:
Wyk.2 Odpowiedź układu całkującego.
W oparciu o technikę określania czasu opadania/narastania (zasada 10% i 90% przedstawiona schematycznie na
Wyk.2 ) z oscyloskopu odczytaliśmy wartości ter = 19.2/18.4 [µs]. Wartość teoretyczna tr = 20.7 [µs] (wzór (3)).
Błędy względne uzyskanych wartości wyniosły dla opadania i narastania odpowiednio 7% i 11%.
Obserwacja skuteczności analogowego całkowania
Zbadaliśmy sygnał prostokątny w trzech wariantach częstotliwości. W przypadku dużej częstotliwości uzyskaliśmy
sygnał trójkątny na wyjściu, co jest wynikiem całkowania.
Wyk.3 Skuteczność analogowego całkowania sygnału prostokątnego.
3
Dla sygnału trójkątnego na wejściu, odpowiedź układu jest sygnałem ”parabolicznym” (pochodna funkcji liniowej
jest funkcją kwadratową). Tym razem zbadaliśmy dwa warianty częstotliwości.
Wyk.4 Skuteczność analogowego całkowania sygnału trójkątnego.
2.1.2
Filtr górnoprzepustowy
Filtr górnoprzepustowy rozpatrywaliśmy w dwóch przypadkach. Rezystancje w obu wynosiły R2 = 20 [kΩ], a pojemności C2a = 22 [nF ] (nazywany dalej 2a) oraz C2b = 2.2 [nF ] (nazywany 2b). W takim razie stałe czasowe
τ2a = 440 [µs] a τ2b = 44 [µs]. Teoretyczne wartości częstości granicznych : fg2a = 362 [Hz], fg2b = 3620 [Hz].
W tym podpunkcie oraz dalszej części działamy w dużej mierze analogicznie, przez co komentowane będą jedynie
elementy nie opisane dotychczas.
k [dB]
Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
0
(414,-3)
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
(21.6 +/- 1.1) [dB/dec]
-3 [dB]
Dopasowanie k(f)
-40
10
100
1000
10000
f [Hz]
Wyk.5 Charakterystyka filtru górnoprzepustowego 2a.
4
k [dB]
0
(3683,-3)
-5
-10
-15
-20
-25
-30
(20.0 +/- 0.23) [dB/dec]
-3 [dB]
Dopasowanie k(f)
-35
100
1000
10000
100000
f [Hz]
Wyk.6 Charakterystyka filtru górnoprzepustowego z pojemnością 2b.
Przy dopasowywaniu funkcji korzystaliśmy ze wzoru (6). Z Wyk.5 i Wyk.6 obliczamy doświadczalne wartości parametrów:
Tab.1 Tabela z parametrami filtrów górnoprzepustowych 2a i 2b.
2a
2b
Nachylenie [dB/dec]
21.6 ± 1.1
20.0 ± 0.23
Częstość graniczna [Hz]
414 ± 11
3683 ± 40
Błąd wzgl. częstości granicznej [%]
14
2
Porównując wartości eksperymentalne i teoretyczne widzimy, że dla filtru 2a rozbieżność jest znacznie większa
niż w przypadku 2b, dla którego zgodność jest niemal idealna (zarówno w przypadku nachylenia jak i częstotliwości
granicznej). Uzyskana niezgodność możemy tłumaczyć źle przyjętą strategią eksperymentalną - wykonaliśmy zbyt
mało pomiarów w zakresie niskich częstotliwości.
Odpowiedź układu różniczkującego na sygnał wejściowy
W Tab.2 zestawiliśmy wielkości potrzebne do zbadania czasu narastania i opadania dla sygnału prostokątnego
oraz przewidywane teoretycznie wartości.
Tab.2 Tabela z parametrami prostokątnych sygnałów wejściowych dla filtrów górnoprzepustowych.
2a
2b
t = 5τ [µs]
2200
220
f = 1/2t [Hz]
227
2270
tr [µs]
968
96.8
Gdzie:
t – czas trwania impulsu,
f – częstotliwość sygnału,
tr – teoretyczny czas narastania/opadania impulsu (wyznaczony ze wzoru (3)),
5
Wyk.7 Sygnał i odpowiedź dla układu różniczkującego 2a i 2b.
Jak widać na Wyk.7, dla filtra 2b czasy odczytane z oscyloskopu zgadzają się z teorią (błędy względne kolejno 1%
oraz 3%) natomiast dla 2a wartości eksperymentalne są zaniżone (błędy względne kolejno 9% i 11%). Na podstawie
powyższych wyników oraz tych uzyskanych dla filtru dolnoprzepustowego wnioskujemy, że dla dużych częstotliwości
zależność (3) przestaje być słuszna. Z tego wynika, że odpowiedź układu na skok napięcia traci charakter eksponencjalny. W świetle dobrych wyników dla jednego przypadku mało prawdopodobny wydaje się błąd pomiarowy.
Obserwacja skuteczności analogowego różniczkowania
Wyk.8 Skuteczność analogowego różniczkowania sygnału prostokątnego przez filtr 2a.
Badaliśmy odpowiedź układu różniczkującego na sygnał prostokątny przy dwóch częstościach : 300 [Hz] oraz 10 [Hz].
Idealne zróżniczkowanie tego sygnału daje nam nieskończone piki (pochodna skoku potencjału jest deltą Diraca).
6
2.2
Filtr górnoprzepustowy 2-biegunowy
Podawaliśmy sygnał sinusoidalny o amplitudzie U0 = 4 [V ]. Badaliśmy charakterystykę dla dwóch przypadków :
CI = CII oraz CI 6= CII . Filtr drugiego rzędu budujemy z kaskadowo połączonych filtrów górnoprzepustowych
wykorzystanych w poprzedniej części ćwiczenia. W takim razie parametry poszczególnych stopni pozostają takie
jak poprzednio.
Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
k [dB]
1. Przypadek równych stałych czasowych (CI = CII = C2b )
0
-5
(3686,-6)
-10
-15
-20
-25
-30
(37.8 +/- 1.0) [dB/dec]
-6 [dB]
Dopasowanie k(f)
-35
1000
10000
f [Hz]
Wyk.9 Charakterystyka filtru górnoprzepustowego 2-biegunowego z równymi pojemnościami.
Tab.3 Tabela z parametrami filtru 2-biegunowego przy CI = CII .
Relacja stałych czasowych
τI = τII
Nachylenie [dB/dec]
37.8 ± 1.0
Częstotliwość graniczna [µs]
3686 ± 34
Nachylenie charakterystyki filtru 2-biegunowego powinno teoretycznie wynosić 40 [dB/dec] zaś częstotliwość graniczna powinna być taka sama jak filtru 1-biegunowego. Dostaliśmy bowiem jeden biegun drugiego rzędu - stąd
zwiększenie nachylenia. Z innym charakterem krzywej łączy się także przesunięcie pomocniczej linii stałego wzmocnienia do −6 [dB].
Uzyskaliśmy zadowalające wartości zarówno nachylenia jak i częstotliwości granicznej (błąd względny 2%).
7
k [dB]
2. Przypadek różnych stałych czasowych (CI 6= CII ; CI = C2a i CII = C2b )
0
(3568,-3)
-5
-10
-15
-20
(423,-21.6)
-25
-30
-35
(36.5 +/- 0.3) [dB/dec]
(22.2 +/- 0.7) [dB/dec]
-3 [dB]
Dopasowanie k(f)
-40
-45
100
1000
10000
f [Hz]
Wyk.10 Charakterystyka filtru górnoprzepustowego 2-biegunowego z różnymi pojemnościami.
Wyznaczenie mniejszej częstości granicznej nie dałoby się wykonać poprzez metodę stałej linii wzmocnienia, wartość
punktu została więc wyznaczona z dopasowanej krzywej.
Tab.4 Tabela z parametrami filtru 2-biegunowego przy CI 6= CII .
Relacja stałych czasowych
τI = 10τII
Nachylenie [dB/dec]
22.2 ± 0.7
36.5 ± 0.3
Częstotliwość graniczna [µs]
3568 ± 52
423 ± 11
Błąd częstotl. gr. [%]
1
17
Nachylenia odpowiadają mniej więcej oczekiwanym wartościom teoretycznym jednakże fragment odpowiadający
biegunowi drugiego rzędu jest wypłaszczony, zaś odpowiadający biegunowi rzędu pierwszego zbyt stromy.
Częstotliwość większa zgadza się bardzo dobrze z teorią, mniejsza już nie. Częstotliwości graniczne są przesunięte
ku sobie. Można próbować wytłumaczyć tę sytuację swego rodzaju sprzężeniem obydwu filtrów. Być może, efektem
tego sprzężenia jest także zawyżenie wartości mniejszej częstotliwości granicznej.
Kompensacja ujemnego przerzutu
Kompensacji dokonywaliśmy na układzie z różnymi stałymi czasowymi. Na wejściu podaliśmy sygnał prostokątny o czasie trwania wielokrotnie przewyższającym stałe czasowe. W odpowiedzi dostaliśmy eksponentę z ujemnym
przerzutem. Manipulując wartością oporu Rb rezystora dopiętego równolegle do pojemności na drugim członie
różniczkującym obserwowaliśmy zmianę zależności U (t). Wartość Rb dobraliśmy tak, żeby skompensować ujemny
przerzut.
Przy pomocy miernika cyfrowego zmierzyliśmy wartość tego oporu : Rbe = 180.70 [kΩ]. Wartość teoretyczna
I
Rb = CτII
= 200 [kΩ]. Jest ona większa od obliczonej w pomiarze (błąd względny: 10%). Przyczyny tego upatrujemy
w niedoskonałej metodzie dopasowania oporu do przebiegu charakterystyki U (t), przy której znika przerzut. Konkretnie, zmiany oporu w dość szerokim zakresie regulatora, nie odbijały się w znacznej zmianie kształtu odpowiedzi
układu (wykresu U (t)).
8
2.3
Filtr pasmowoprzepustowy
k [dB]
Filtr pasmowoprzepustowy zbudowany został z zestawionych kaskadowo filtrów górnoprzepustowego 2a i dolnoprzepustowego. Zbadaliśmy charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową, której kształt odtwarzamy na poniższym
wykresie:
0
(401,-3)
-5
(17704,-3)
-10
-15
-20
-25
-30
(19.43 +/- 0.34) [dB/dec]
(-19.96 +/- 0.22) [dB/dec]
-3 [dB]
Dopasowanie k(f)
-35
10
100
1000
10000
100000
1e+06
f [Hz]
Wyk.11 Charakterystyka filtru pasmowoprzepustowego.
Pasmo przenoszenia częstotliwości naszego filtru zawiera się w przedziale ok. (400 : 17700) [Hz], przy czym te granice
są częstotliwościami granicznymi filtru odpowiednio górnoprzepustowego 2a i dolnoprzepustowego, których używaliśmy w ćwiczeniu. W tym zakresie charakterystyka k(f ) jest w miarę płaska, więc te częstotliwości są przenoszone
bez straty amplitudy.
Tab.5 Tabela z parametrami filtru pasmowoprzepustowego.
Nachylenie [dB/dec]
19.43 ± 0.34
−19.96 ± 0.22
Częstotliwość graniczna [Hz]
401 ± 3
17704 ± 133
Częstotliwość teoretyczna [Hz]
fg2a = 362
fg1 = 16931
Błąd częstotl. [%]
11
5
Zauważamy , że wartości częstotliwości granicznych, obliczone w dyskusji filtru pasmowego, są bliższe wartościom
teoretycznym niż w przypadku obliczeń dla filtrów oddzielnie (paragraf 2.1.1 i 2.1.2 ). Również nachylenia charakterystyk są dokładniejsze. Wytłumaczyć możemy to faktem, że zebraliśmy większą liczbą dokładniejszych punktów
pomiarowych, które pozwoliły odtworzyć nam wiernie charakterystykę.
9