docModele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje
download 
Reklamacja Transkrypt
Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje
Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje Marcin Abram WFAIS UJ w Krakowie 9 marca 2009 Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Standardowy ruch Browna Założenia modelu Cena rozpatrywanego obiektu zmienia się skokowo co czas δt. Bezwzględna wartość zmiany ceny obiektu w przedziale czasu δt ma rozkład normalny. Oznaczmy cenę obiektu przez B(t). Dla δt → 0 można zapisać: B(t + δt) = B(t) + dB(t), (1) gdzie dB(t) jest zmienną losowa o rozkładzie N(0,δt). Warunki początkowe to: B(t0 = 0) = B0 . Marcin Abram Modele rynku . . . (2) Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Rysunek: Przykład ruchów Browna. δt = 1, t0 = 0, B(t0 ) = 50. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Własności modelu Przyrosty cen są niezależne, tzn. rozkład przyrostów B(t) jest rozkładem normalnym N(0,δt). Przyrosty cen są stacjonarne, tzn. ∀t > t1 rozkłady warunkowe B(t) przy danym B(t1 ) są dane przez N(B(t1 ), t − t1 ). t→+∞ var (B(t)) −−−−→ +∞ Uwaga! B(t) może być ujemne dla pewnego czasu t. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Arytmetyczny ruch Browna Założenia modelu Cena rozpatrywanego obiektu zmienia się skokowo co czas δt. Bezwzględna wartość zmiany ceny obiektu w przedziale czasu δt jest złożeniem pewnego trendu i czysto losowego wahnięcia. Dla δt → 0 można zapisać: B(t + δt) = B(t) + µδt + σdB(t), (3) gdzie dB(t) jest zmienną losowa o rozkładzie N(0,δt). σ nazywamy współczynnikiem zmienności, µ przesunięciem lub dryfem. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Rysunek: Przykład ruchów Browna z dryfem. δt = 1, t0 = 0, B(t0 ) = 50, σ = 1, µ = 0,1. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Własności modelu ∀t > t1 rozkłady warunkowe B(t) przy danym B(t1 ) są dane przez N(B(t1 ) + µ(t − t1 ), σ 2 (t − t1 )). t→+∞ var (B(t)) −−−−→ +∞ Uwaga! B(t) może być ujemne dla pewnego czasu t (zwłaszcza jeśli µ < 0). Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Geometryczny ruch Browna Założenia modelu Cena rozpatrywanego obiektu zmienia się skokowo co czas δt. Średnio cena obiektu rośnie jak e µt . Losowe wahnięcia ceny są proporcjonalne do ceny. Dla δt → 0 można zapisać: B(t + δt) = B(t) + µB(t)δt + σB(t)dB(t), (4) gdzie dB(t) jest zmienną losowa o rozkładzie N(0,δt). σ nazywamy współczynnikiem zmienności, µ przesunięciem lub dryfem. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Rysunek: Przykład ruchów Browna z dryfem. δt = 1, t0 = 0, B(t0 ) = 50, σ = 0,01, µ = 3 · 10−4 . Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Własności modelu Jeśli B0 > 0, to ∀t > t0 B(t) > 0. Jeśli B0 = 0, to ∀t > t0 B(t) = 0. ∀t > t1 rozkłady warunkowe B(t) przy danym B(t1 ) są dane przez rozkład lognormalny. ∀t > t1 warunkowa wartość oczekiwana dana jest przez: E (B(t)|B(t1 )) = B(t1 )e µ(t−t1 ) . t→+∞ var (B(t)) −−−−→ +∞. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Multifraktale Zauważono: Wykresy cen są podobne do siebie, jeśli zmienimy skalę czasową. Wykresy cen są poszarpane. Dla δt → 0 tworzą krzywą ciągłą, w żadnym punkcie nie różniczkowalną. Standardowe modele portfeli inwestycyjnych zakładają, że zmiany cen są małe (ponieważ bazują na rozkładze normalnym). Rzeczywiste przypadki nagłych wzrostów lub spadków wartości akcji są częstsze niż przewidują to standardowe modele. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Marcin Abram Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Marcin Abram Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Marcin Abram Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Marcin Abram Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Marcin Abram Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Marcin Abram Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Standardowy ruch Browna Arytmetyczny ruch Browna Geometryczny ruch Browna Multifraktale Zastosowanie Testowanie wytrzymałości portfela. Szacowanie zmienności poszczególnych kursów poprzez dopasowanie generatora do danych historycznych. Do czego się nie nadaje Nie nadaje się do przewidywania konkretnego zachowania się cen. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Definicja Do czego powinny kontrakty terminowe służyć. Co się dzieje gdy soja drożeje? Co się dzieje gdy soja tanieje? Kontrakty terminowe Definicja (szkic) Dwie strony, A i B, podpisują zobowiązanie, że w określonym dniu (w przyszłości) strona A sprzeda/kupi od strony B określoną ilość towaru po ustalonej cenie. Historycznie były to umowy między rolnikami, a handlarzami. Dziś przeważnie towarem są rzeczy niematerialne – papiery wartościowe, inne kontrakty terminowe, waluta. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Definicja Do czego powinny kontrakty terminowe służyć. Co się dzieje gdy soja drożeje? Co się dzieje gdy soja tanieje? Do czego powinny kontrakty terminowe służyć. Przykład na podstawie działania towarowych kontraktów futures: Rozpatrzmy farmera, który uprawia soję. Jest luty. Soja kosztuje 5,60 zł/kg. Kontrakty futures na listopad na soję kosztują przykładowo 5,87 zł/kg (są to zobowiązania, że w listopadzie sprzeda się soje za 5,87 zł/kg). Kontrakty futures aktualizują swoją cenę każdego dnia. Im bliżej listopada, tym ich cena jest bliższa prawdziwej cenie soji w listopadzie. W listopadzie ich cena będzie dokładnie równa cenie soji. Farmer chce się zabezpieczyć przez spadkiem ceny soji jesienią. Sprzedaje kontrakty futures na 100 ton soji. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Definicja Do czego powinny kontrakty terminowe służyć. Co się dzieje gdy soja drożeje? Co się dzieje gdy soja tanieje? Co się dzieje gdy soja drożeje? Niech w listopadzie soja kosztuje 8 zł/kg. Listopadowe kontrakty futures również kosztują 8 zł/kg. Farmer musi kupić kontrakty futures na 100 ton soji po 8 zł/kg. Następuje rozliczenie, na którym traci (8 − 5,87) = 2,13 zł/kg (213 tys. zł). Jednocześnie farmer sprzedaje na rynku lokalnym 100 ton soji po 8 zł/kg (zyskuje 800 tys. zł). Całkowity zysk Całościowy zysk farmera to 8 − 2,13 = 5,87 zł/kg, czyli 587 tys. zł. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Definicja Do czego powinny kontrakty terminowe służyć. Co się dzieje gdy soja drożeje? Co się dzieje gdy soja tanieje? Co się dzieje gdy soja tanieje? Niech w listopadzie soja kosztuje 5 zł/kg. Kontrakty futures na listopad na soje też kosztują 5 zł/kg. Farmer musi kupić kontrakty futures na 100 ton soji po 5 zł/kg. Następuje rozliczenie, na którym zyskuje (5,87 − 5) = 0,87 zł/kg (87 tys. zł). Jednocześnie farmer sprzedaje na rynku lokalnym 100 ton soji po 5 zł/kg (zyskuje 500 tys. zł). Całkowity zysk Całościowy zysk farmera to 5 + 0,87 = 5,87 zł/kg, czyli 587 tys. zł. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Przykład filmowy Dźwignia finansowa – sposób na spekulacje Przykład filmowy Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Przykład filmowy Dźwignia finansowa – sposób na spekulacje Z nieopublikowanego raportu ministerstwa rolnictwa wynika, że pomimo mroźnej zimy będzie urodzaj na pomarańcze. Sesja na giełdzie rozpoczyna się. Kontrakty futures na koncentrat pomarańczowy kosztują 1,02 $/funt. Wszyscy spodziewają się, że koncentrat będzie drogi. Ceny kontraktów futures rosną do 1,42 $/funt. Bohaterowie sprzedają dużą liczbę kontraktów. Minister rolnictwa ogłasza prognozę w telewizji (na urodzaj pomarańczy). Ceny kontraktów spadają do 0,42 $/funt. Bohaterowie kupują dużą liczbę kontraktów realizując zysk. Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Przykład filmowy Dźwignia finansowa – sposób na spekulacje Dźwignia finansowa – sposób na spekulacje Niech kapitał początkowy to 100 tys. $. Można zarobić 105 1,42 (1,42 − 0,42) ≈ 70 tys. $. W praktyce nie trzeba jednak płacić za kontrakty gotówką. Wpłaca się tylko depozyt (np. 5%). Rozliczenie następuje w momencie gdy nadejdzie dzień wyznaczony w kontrakcie. Dzięki temu można zarobić (1400% kwoty bazowej). 105 0,05·1,42 (1,42 − 0,42) ≈ 1,4 mln. $ Gdyby jednak ceny kontraktów wzrosły do 1,49 $/funt (wzrost jedynie o 7 centów/kg), strata wynosiła by 98 tys. $, czyli prawie całą kwotę bazową. Wniosek Dźwignia finansowa znacząco zwiększa maksymalny zysk, jaki można osiągnąć (kosztem zwiększenia ryzyka inwestycji). Marcin Abram Modele rynku . . . Modele matematyczne rynku giełdowego Kontrakty terminowe Spekulacje Bibliografia Aleksander Weron, Fafał Weron Inżynieria finansowa, wyd. II, Warszawa, WNT, 1999, ISBN:83-204-2471-2, rozdziały 1-5. Benoit B. Mandelbrot Multifraktale rządzą na Wall Street, Świat Nauki, kwiecień 1999, str. 64-67. Marcin Abram Modele rynku . . .
