Analiza Matematyczna 1 dla Matematyki WPPT, lista 1 Oznaczmy

Analiza Matematyczna 1 dla Matematyki WPPT, lista 1
Oznaczmy zbiory liczb naturalnych, całowitych i wymiernych, następującymi symbolami:
N = {1, 2, 3, ...}, Z = −N ∪ {0} ∪ N, Q = { m
, m, n ∈ Z, n > 0}.
n
Zadanie 1. Których aksjomatów, spełnionych przez liczby rzeczywiste, nie spełniają liczby ze zbioru
N? To samo pytanie dla Z i dla Q.
Zadanie 2. Podaj przykład dobrze znanego ze szkoły działania arytmetycznego, które nie jest łączne.
Jak w takim przypadku radzimy sobie z jednoznacznością rachunków?
Zadanie 3. Wzorując się na dowodach dla dodawania, wykaż, że:
a) istnieje tylko jeden element neutralny mnożenia, b) element odwrotny w mnożeniu jest wyznaczony
jednoznacznie.
Zadanie 4. W oparciu o aksjomaty liczb rzeczywistych wykaż, że:
a) 0 < 1, b) a < b =⇒ −b < −a, c) a > 0 =⇒ a1 > 0, d) 0 < a < b =⇒ a2 < b2 ,
e) 0 < a < 1 =⇒ an < a dla wszystkich n > 1, f) a > 1 =⇒ an > a dla wszystkich n > 1.
Zadanie 5. Kresem dolnym niepustego podzbioru A ⊂ R nazywamy taką liczbę m, która:
1) ogranicza ten zbiór od dołu tzn. ∀a ∈ A m ¬ a;
2) jest największym ograniczeniem dolnym.
Oznaczmy −A = {−a : a ∈ A}.
P
a) Wykaż, że inf A = − (−A) oraz sup A = − inf(−A).
b) Wykaż, że każdy niepusty, ograniczony z dołu zbiór A ⊂ R ma kres dolny należący do R.
Zadanie 6. Rozważmy zbiory:
a) A = {x = n1 − m1 : n, m ∈ N},
b) A = {x = n−m
: n, m ∈ N},
n
p−q
c) A = {x = p+q : p, q ∈ Q ∩ (0, 1)}.
Które z tych zbiorów są ograniczone: z góry, z dołu, i z góry i z dołu? Które mają element najmniejszy?
A największy? Wyznacz kresy zbiorów ograniczonych.
Zadanie 7. Dla niepustych ograniczonych podzbiorów R określamy:
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, A − B = {a − b : a ∈ A, b ∈ B}, A · B = {ab : a ∈ A, b ∈ B}.
Które z poniższych równości są prawdziwe?
a) max(A + B) = max A + max B,
b) sup(A + B) = sup A + sup B,
c) sup(A · B) = sup A · sup B.
d) A jak to jest dla kresów dolnych i minimów?
e) Sformułuj wzory opisujące w analogiczny sposób kresy zbioru A − B i sprawdź ich poprawność.
Zadanie 8. Wykaż, że pomiędzy każdymi dwiema liczbami wymiernymi istnieje liczba wymierna.
Zadanie 9*. Wykaż, że pomiędzy każdymi dwiema liczbami rzeczywistymi istnieje liczba niewymierna.