Planimetria, związki miarowe w trójkącie
Transkrypt
Planimetria, związki miarowe w trójkącie
Planimetria, związki miarowe w trójkącie - poziom rozszerzony (1) Oblicz pole czworokąta wypukłego, którego przekątne mają długości 4 i 6 oraz przecinają się pod kątem 30◦ . (2) Wysokość AD opuszczona na przeciwprostokątną BC trójkąta prostokątnego ABC ma 5 długość 24, a stosunek długości przeciwprostokątnej do obwodu tego trójkąta wynosi 12 . Oblicz pole trójkąta ABC. (3) W trójkącie ABC dane są długości |AC| = 3 oraz |BC| = 7. Dwusieczna kąta przy wierzchołku C ma długość równą 3. Wyznacz długość boku AB. (4) Oblicz pole trójkąta (wyznacz wzór), gdy dane są jego kąty α, β, γ oraz promień R okręgu opisanego na nim. q 2 b2 +c2 − a2 (5) Wykaż, że długość d środkowej trójkąta wyraża się wzorem d = , gdzie a 2 - długość boku, na który opuszczono środkową, a b i c - długości pozostałych boków trójkąta. (6) Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt, którego boki mają długości 4, 5 i 6. (7) Długości boków trójkąta, w którym jeden kąt ma miarę 120◦ , tworzą ciąg arytmetyczny. Jakie są stosunki boków tego trójkąta? b a = cosβ , gdzie α i β są odpowiednio (8) Wykaż, że jeżeli w trójkącie zachodzi stosunek cosα kątami leżącymi naprzeciw boków o długościach a i b, to trójkąt ten jest równoramienny. (9) W trójkącie ABC mamy dane |AC| = |BC| = a oraz |∠ACB| = α. Oblicz pole trójkąta AOB, gdzie O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. (10) Wykaż, że w każdym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych równa jest sumie kwadratów długości wszystkich jego boków. Edukacja Karol Suchoń www.karolsuchon.pl [email protected] Odpowiedzi: (1) 6 (2) 120 √ (3) 207 7 (4) 2R2 sinαsinβsinγ (5) Wskazówka: skorzystaj dwukrotnie z twierdzenia kosinusów dla kątów między środkową, a√bokiem ją przecinającym. (6) 8 7 7 (7) 3 : 5 : 7 (8) Wskazówka: tw. sinusów 2 2 cos α (9) a (1−cosα) 2sinα (10) Wskazówka: tw. kosinusów Edukacja Karol Suchoń www.karolsuchon.pl [email protected]