SYMULACJA DRGAŃ PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45, t. 14, rok 2012 – ISSN 1896-771X
SYMULACJA DRGAŃ
PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO
Robert Kostek1a
Wydział Inżynierii Mechanicznej, Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy
e-mail: [email protected]
1
Streszczenie
W artykule przedstawiono model matematyczny drgań łożyska tocznego oraz wyniki obliczeń numerycznych.
Drgania łożyska wzbudzane są przez przemieszczające się elementy toczne, które zamodelowano jako nieliniowe
elementy sprężyste. Występujące drgania są parametryczne, nieliniowe i kontaktowe, ponieważ pomiędzy bieżniami a elementami tocznymi występuje nieliniowy kontakt Hertza. Zaobserwowano dla badanego modelu drgania
okresowe poliharmoniczne.
SIMULATION OF VIBRATIONS
OF RADIAL BALL BEARING
Summary
In this article mathematical model of vibrations of ball bearing and results of simulations are presented. The rolling elements, which circulate, excite the parametric vibrations. The rolling elements are modelled as non-linear
spring elements. Thus the vibrations can be considered as non-linear, contact and parametric, because of nonlinear Hertz contact. Periodical multiharmonic vibrations have been observed.
1. WSTĘP
Łożyska toczne są modelowane jako równoległe połącze-
wyniki obliczeń numerycznych dla wybranych wartości
nie liniowej sprężyny i liniowego tłumika, czyli ciało
luzu. Przedstawiono także drgania okresowe poliharmo-
Kelvina-Voigta [1, 2]. Taki model prowadzi do liniowych
niczne oraz trajektorie osi wału dla wybranych wartości
różniczkowych równań ruchu, które można łatwo roz-
luzów.
wiązać. W tym ujęciu łożysko toczne jest sprowadzone
do elementu który nie wzbudza drgań, lecz jedynie je
2. MODEL ŁOZYSKA TOCZNEGO
tłumi.
Kontakt Hertza natomiast ze swej natury jest nielinio-
Łożysko promieniowe kulkowe jednorzędowe zamodelo-
wy, a więc i łożysko toczne ma nieliniową charaktery-
wano jako układ sprężysto-tłumiący (rys. 1). Masę
stykę [3]. Przyjęcie nieliniowej charakterystyki kontaktu
skupiono w środku bieżni wewnętrznej (środku czopa
prowadzi do nieliniowych różniczkowych równań ruchu,
wału), masę kulek pominięto, natomiast bieżnię ze-
które rozwiązywane są metodami numerycznymi. Nieli-
wnętrzną zamocowano w nieodkształcalnej obudowie.
niowy model łożyska jest dokładniejszy od liniowego,
W takim ujęciu elementy toczne stają się nieważkimi
natomiast koszt obliczeń jest znacznie wyższy. Łożyska
nieliniowymi
toczne były modelowane przez wielu badaczy jako
wnętrzna obraca się w kierunku przeciwnym do kierun-
układy nieliniowe [4-15], również taki model łożyska
ku obrotów wskazówek zegara, co wywołuje ruch obro-
został przyjęty w pracy. Poza przedstawieniem nielinio-
towy elementów tocznych oraz koszyka. Ruch części
wego modelu łożyska tocznego zaprezentowano także
82
elementami
sprężystymi.
Bieżnia
we-
Robert Kostek
tocznych wzbudza drgania układu, co opisano wzorami
gdzie: δn – oznacza sumę penetracji n-tego elementu
tocznego, d – średnice kulki, D1 – średnice bieżni we-
matematycznymi poniżej.
wnętrznej, D2 – średnice bieżni zewnętrznej, x1 , y1–
a)
składowe położenia środka bieżni wewnętrznej, α położenie kątowe kulki (elementu tocznego), Rn – silę
sprężystości przenoszona przez n-ty element toczny [N],
K – stałą sprężystości [N/m1.5]. Wzory (1) i (2) są
przeliczane dla każdego elementu tocznego. Siłę tłumienia opisano natomiast następującymi wzorami
Fdx = - x& c,
(3)
y& c,
(4)
Fdy = -
gdzie: Fdx , Fdy – oznaczają składowe siły tłumienia [N],
x& , y&
- składowe prędkości osi wału [m/s], natomiast c
- reprezentuje współczynnik tłumienia c = 200 [(Ns)/m].
Taki model siły tłumienia i wartość współczynnika
tłumienia c przyjęto w kilku pracach [5, 8, 9, 16].
b)
Z kolei silę oporu toczenia zamodelowano prostą zależnością
Fot n = Rn µ,
gdzie: Fot
n
(5)
- oznacza siłę oporu toczenia działającą na
n-ty element toczny, a µ - oznacza współczynnik oporu
toczenia. Ostatecznie uzyskuje się różniczkowe równania
ruchu przedstawione poniżej
&x& = m-1( Fx - x& c + ΣFotx n+ ΣRx n),
&y& = m-1( Fy - y& c + ΣFoty n+ ΣRy n).
(6)
(7)
gdzie: m – oznacza masę przyporządkowaną bieżni
wewnętrznej (osi wału). Równania te rozwiązano wyko-
Rys. 1. Modelowane łożysko toczne a) modelowane [17]
rzystując metody numeryczne. Więcej informacji na
b) model fizyczny łożyska
temat modelu łożyska tocznego podano w pracach [8, 9].
W prezentowanym modelu łożyska tocznego uwzględniono
siły
obciążenia
zewnętrznego,
3. SYMULACJA DRGAŃ
ŁOZYSKA TOCZNEGO
bezwładności,
sprężystości, tłumienia i oporu toczenia. Łożysko obciążone jest siłą zewnętrzną F o stałej wartości, kierunku
Do obliczeń przyjęto łożysko 6203. Kompletne dane
i zwrocie. Siła bezwładności opisana jest prawami
symulowanego układu przedstawiono w tabeli 1.
dynamiki Newtona. Siły sprężystości Rn są z kolei
wynikiem odkształceń bieżni i elementów tocznych.
Metoda obliczeń sił kontaktowych została opisana
w literaturze [3]. Po przekształceniach siłę sprężystości
można opisać następującymi wzorami
δn = d+0.5D1-0.5D2+x1cosα+y1sinα,
if δn > 0 Rn = K δn1.5 else Rn = 0,
(1)
(2)
83
SYMULACJA DRGAŃ PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO
Tabela 1. Dane przyjęte do obliczeń [8, 9]
a)
Opis zmiennej
Symbol
Wartość
Jednostka
średnica kulek
liczba kulek
d
n
6.75
8
mm
średnica bieżni wewnętrznej
D1
21.94
mm
średnica południka bieżni
wewnętrznej
średnica południka bieżni
zewnętrznej
modul Younga
D1p
6.89
mm
D2p
6.89
mm
2.0e+5
MPa
b)
E
współczynnik Poissona
współczynnik tarcia
tocznego
współczynnik tłumienia
ν
µt
0.3
0.0015
c
200
(Ns)/m
składowa pionowa siły
obciążającej
składowa pozioma siły
obciążającej
prędkość obrotowa wału
Fy
-950
N
Fx
0
N
no
1500
obr/min
masa przyporządkowana
bieżni wewnętrznej
m
3
kg
c)
W pierwszym etapie przeprowadzono symulacje drgań
łożyska tocznego dla wartości luzu równej l=0µm (rys.
2). Uzyskane przebiegi czasowe nie są sinusoidalne, lecz
mają poliharmoniczny charakter. Na wykresach przebiegów czasowych przemieszczeń dominuje pierwsza harmoniczna, której okres jest równy okresowi wzbudzenia
parametrycznego. Okres ten jest równy, w tym przypadku, jednej ósmej czasu obrotu koszyka z kulkami.
Natomiast na wykresach prędkości i przyśpieszeń zwiększa się udział wyższych harmonicznych, które są związane z częstotliwościami własnymi łożyska. Częstotliwo-
d)
ści własne są około dziesięć razy większe od częstotliwości wzbudzenia. W konsekwencji na rys. 2e widać wyraźnie okresowo powtarzające się wzbudzenie drgań,
a następnie zanik drgań wywołany tłumieniem. Zauważyć można także asymetrię przebiegów czasowych.
84
Robert Kostek
e)
a)
f)
b)
Rys. 2. Przebiegi czasowe drgań osi wału, uzyskane dla warto-
c)
ści luzu l = 0[µm]
Przeprowadzono następnie obliczenia dla wartości luzu
równej l=50µm (rys. 3). Uzyskane przebiegi czasowe
mają wyraźnie większe amplitudy drgań, drgania te są
także bardziej nieliniowe od poprzednich. Udział wyższych harmonicznych jest przez to większy, co skutkuje
bardziej złożonym kształtem przebiegów czasowych.
Dlatego interpretacja uzyskanych przebiegów czasowych
jest trudna. Można jednak zauważyć, podobnie jak
poprzednio (rys. 2b, 3b), unoszenie i opuszczenie się
środka wału, pod wpływem przemieszczających się kulek
d)
i zanikające drgania wzbudzone przez to zjawisko (rys.
3f). Warto zwrócić uwagę na fakt, że dla obydwu przypadków obliczeniowych amplituda drgań w kierunku osi
X jest znacznie większa aniżeli amplituda w kierunku osi
Y, co wynika z większej podatności łożyska w kierunku
osi X.
85
SYMULACJA DRGAŃ PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO
e)
a)
f)
b)
Rys. 3. Przebiegi czasowe drgań osi wału, uzyskane dla warto-
c)
ści luzu l = 50[µm]
Kolejne obliczenia przeprowadzono dla luzu l=100µm.
Uzyskane przebiegi czasowe są okresowe, drgania te
mają jednak bardzo złożoną kinematykę. Na przebiegach czasowych przemieszczeń występuje wiele ekstremów lokalnych, podobne na przebiegach czasowych
prędkości i przyśpieszeń. Na przebiegu czasowym przyśpieszeń w kierunku osi Y (rys. 4f) trudno wskazać
wyraźny obszar w którym drgania te są wzbudzane a
następnie tłumione. Natomiast na rys. 4e obszary te
d)
można wyróżnić. Podobnie jak poprzednio, drgania w
kierunku osi X mają większą amplitudę od drgań w
kierunku osi Y. Ponadto zwiększenie luzu wywołało
zwiększenie amplitudy drgań. Drgania tego układu,
mimo że posiada on tylko dwa stopnie swobody i jest
wyidealizowanym modelem łożyska tocznego, są daleko
bardziej złożone aniżeli drgania układu liniowego o
dwóch stopniach swobody, co widać na przedstawionych
rysunkach (rys. 2-4). Model liniowy nie jest w stanie
odwzorować takich zjawisk.
86
Robert Kostek
e)
f)
Rys. 4. Przebiegi czasowe drgań osi wału, uzyskane dla wartości luzu l = 100[µm]
Analiza trajektorii jest wykorzystywana z powodzeniem
do badania dynamiki łożysk ślizgowych i maszyn wirnikowych, dlatego wykorzystano ją do badania dynamiki
łożysk tocznych. Wykonano obliczenia dla czterech
wartości luzu: l=0[µm], l=50[µm], l=100[µm] i l=150[µm].
Wyniki obliczeń przedstawiono na rys. 5. Zaobserwowano zwiększenie amplitudy drgań w kierunku osi X oraz
w kierunku osi Y. Wraz ze zwiększeniem wartości luzu
kształt trajektorii staje się coraz bardziej złożony.
Początkowo dla luzu l=0[µm] trajektoria osi wału przypomina elipsę, jednak zwiększenie wartości luzu do
l=50[µm] powoduje, że poza główną pętlą pojawiają się
także mniejsze pętelki. Dla tych dwu wartości luzu oś
wału wykonuje ruch w kierunku przeciwnym do obrotu
wskazówek
zegara.
Natomiast
dla
wartości
luzu
l=100[µm] oś wału wykonuje ruch w kierunku zgodnym
z ruchem wskazówek zegara, ponadto trajektoria ta ma
złożony kształt. Ostatnią symulację przeprowadzono dla
Rys. 5. Trajektorie osi wału obliczone dla czterech wartości
wartości luzu l=150[µm]. Kształt tej trajektorii jest
luzu promieniowego: l=0[µm] a), l=50[µm] b), l=100[µm] c),
l=150[µm] d)
bardzo złożony, co wynika ze złożonej kinematyki
drgań. Trudno mówić w tym wypadku o kierunku,
w którym oś wału zatacza pętle.
87
SYMULACJA DRGAŃ PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO
trajektorie osi wału stają się coraz bardziej złożone.
4. PODSUMOWANIE
Wymienione zjawiska mogą zostać wykorzystane do
W pracy przedstawiono nieliniowy model łożyska tocz-
diagnozowania stanu łożysk. Reasumując, uzyskane
nego, który został wykorzystany do obliczeń numerycz-
wyniki są obiecujące, dlatego badania będą kontynu-
nych. Przeprowadzono symulacje drgań dla wybranych
owane [18].
wartości luzów. Uzyskane przebiegi czasowe drgań stają
się coraz bardziej złożone wraz ze zwiększeniem wartości
luzu, co jest efektem coraz większej nieliniowości badanego układu. Wraz ze zwiększeniem wartości luzu
zaobserwowano także wzrost amplitud drgań. Zauważono ponadto, że wraz ze zwiększeniem wartości luzu
Literatura
1.
Marchelek K.: Dynamika obrabiarek. Warszawa: WNT, 1991.
2.
Witek A.: Identification method of the dynamic stiffness of rolling bearings. “Archiwum Technologii Maszyn i
Automatyzacji” 2004, vol. 24, nr 2, s. 223-231.
3.
Krzemiński-Freda H.: Łożyska toczne. Warszawa: PWN, 1985.
4.
Datta J., Farhang K.: A nonlinear model for structural vibration in rolling element bearings. Part I and II.
“ASME Journal of Tribology” 1997, Vol. 119, No. 1, p. 126-131 323-331d.
5.
Harsha S.P., Sandeep K., Prakash R.: The effect of balanced rotor on nonlinear vibrations associated with ball
bearings. “International Journal of Mechanical Sciences” 2003, Vol. 45, No. 4, p. 725-740.
6.
Harsha S.P.: Nonlinear dynamic response of a balanced rotor supported by rolling element bearings due to radial
internal clearance effect. “Mechanism and Machine Theory” 2006, Vol. 41, No. 6, p. 688-706
7.
Jang G., Jeong S.W.: Vibration analysis of a rotating system due to the effect of ball bearing waviness. “Journal
of Sound and Vibration” 2004, Vol. 269, No. 3–5, p. 709–726.
8.
Kostek R., Landowski B.: Próba opisu drgań łożyska tocznego. Problemy naukowe młodych w obszarze budowy i
eksploatacji maszyn. W: Materiały ze spotkania „Warsztaty Młodych” pod red. B. Żółtowskiego i J. Szafrańskiego. Bydgoszcz, 8.05.1998. Bydgoszcz: Wydział Mechaniczny ATR w Bydgoszczy, Zespół Środowiskowy SPE
KBM PAN w Gdańsku, s. 57-65.
9.
Kostek R.: Komputerowa symulacja i analiza drgań nieliniowych w poszukiwaniu symptomów diagnostycznych.
Praca magisterska. ATR w Bydgoszczy, 1998.
10. Leblanc A., Nelias D., Defaye C.: Nonlinear dynamic analysis of cylindrical roller bearing with flexible rings.
“Journal of Sound and Vibration” 2009, Vol. 325, No. 1-2, p. 145-160.
11. Nataraj C., Harsha S.P.: The effect of bearing cage run-out on the nonlinear dynamics of a rotating shaft.
“Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation” 2008, Vol. 13, No. 4, p. 822-838.
12. Rahnejat H., Gohar R.: The vibrations of radial ball bearings. In: Proceedings of the Institution of Mechanical
Engineers, 1985, Vol. 199, No. C3, p. 181-193.
13. Singh R., Lim T.C.: Vibration transmission through rolling element bearings in geared rotor system. Ohio State
University, NASA Grant No. NAG 3-773, Final Report - Part I, RF Project 765863/719176, December 1989.
14. Villa C.V.S., Sinou J.J., Thouverez F.: Investigation of a rotor- bearing system with bearing clearances and Hertz
contact by using a harmonic balance method. “Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering” 2007, Vol.29, No. 1, p. 14-20.
15. Wensing J.A.: On the dynamics of ball bearings. PhD thesis, University of Twente, Enschede, The Netherlands,
1998.
88
Robert Kostek
16. Purohit R.K., Purohit K.: Dynamic analysis of ball bearings with effect of preload and number of balls. “International Journal of Applied Mechanics and Engineering” 2006, Vol.11, No. 1, p. 77-91
17. http://kkpmo.pl/lozysko-kulkowe-3mmx1mmx1mm/
18. Kostek
R.:
Simulation
and
analysis
of
vibration
of rolling
(w druku)
Pracę zrealizowano w ramach projektu nr WND-POIG.01.03.01-00-212/09
89
bearing.
“Key
Engineering
Materials”