Teoria mocy, czŚą˘ II

Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12
Teoria mocy, cz¦±¢ II
Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X
kardynaln¡ (lub moc¡ zbioru
X)
przyporz¡dkowujemy oznaczany symbolem
X
obiekt zwany liczb¡
w taki sposób, »e ta sama liczba kardynalna przyporz¡dkowana
jest dwóm zbiorom wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory te s¡ równoliczne.
Def. 12.2 Zbiór A nazywamy zbiorem
jest równoliczny ze zbiorem
sko«czonym gdy istnieje taka liczba naturalna
{1, 2, . . . , n}.
n,
»e zbiór
A
Dla takiego zbioru
A = n.
Tw. 12.1
1. Zbiory
{1, 2, . . . , m} i {1, 2, . . . , n}
s¡ równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy
m = n.
2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym.
3. Suma sko«czonej (t.j. takiej, dla której zbiór indeksów jest zbiorem sko«czonym) rodziny
zbiorów sko«czonych jest zbiorem sko«czonym.
4. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym.
5. Zbiór funkcji o o dziedzinie i przeciwdziedzinie b¦d¡cych zbiorami sko«czonymi jest zbiorem
sko«czonym.
Dowody tych twierdze« (elementarne, lecz nieco nu»¡ce) pominiemy.
Kolejne dwa twierdzenia równie» podamy bez dowodu.
Tw. 12.2
Zbiór liczb naturalnych nie jest zbiorem sko«czonym.
Tw. 12.3
Zbiór
A
jest zbiorem niesko«czonym wtedy i tylko wtedy, gdy ma co najmniej tyle elementów, co
zbiór liczb naturalnych (czyli, na mocy denicji 11.1, istnieje ró»nowarto±ciowa funkcja
N → A).
Tw. 12.4
Zbiór
A
jest niesko«czony wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoliczny z pewnym swoim podzbiorem
wªa±ciwym
1
Dowód
Podamy dowód implikacji w prawo.
A b¦dzie zbiorem niesko«czonym. Oznaczmy przez B istniej¡cy na mocy tw. 12.3 podzbiór
zbioru A równoliczny z N i niech f :
N → B b¦dzie bijekcj¡ (istnieje ona na mocy denicji
równoliczno±ci zbiorów). Niech wreszcie C oznacza zbiór warto±ci funkcji f dla parzystych warto±ci
argumentów, C = f (2N).
Niech
(A \ B) ∪ C ⊂ A i (A \ B) ∪ C 6= A (gdy», na przykªad, f (1) ∈ A oraz f (1) 6∈ (A \ B) ∪ C ),
(A \ B) ∪ C jest podzbiorem wªa±ciwym zbioru A. Niech teraz g : A → (A \ B) ∪ C b¦dzie
Zachodzi
czyli
zadana wzorem
(
∀ a ∈ A : g(a) =
g
Funkcja
a ∈ A \ B,
a,
f
2f −1 (a)
a ∈ B.
,
jest ró»nowarto±ciowa i na (prosz¦ to sprawdzi¢!), co dowodzi tezy twierdzenia.
Def. 12.3 Zbiory sko«czone lub równoliczne z N nazywamy zbiorami
przeliczalnymi.
Tw. 12.5
Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Dowód
Je±li zarówno
A
jak i
B
s¡ zbiorami sko«czonymi, to ich suma jest (na mocy tw. 12.1) zbiorem
sko«czonym, a wi¦c przeliczalnym.
Niech
A
b¦dzie zbiorem przeliczalnym niesko«czonym, za±
B
zbiorem sko«czonym. Istnieje wi¦c
bijekcja
N 3 n → f (n) ∈ A,
oraz, dla pewnego sko«czonego
m,
istnieje bijekcja
{1, . . . , m} 3 n → g(n) ∈ B.
Je»eli jako przeciwdziedzin¦ funkcji
funkcj¡
N → A ∪ B.
f
potraktujemy zbiór
A ∪ B,
to
f
stanie si¦ ró»nowarto±ciow¡
Z drugiej strony, odwzorowanie
h(a) =

 2f −1 (a) + 1,

2g −1 (a),
a ∈ A,
a∈B
A kolejne liczby nieparzyste, za± elementom zbioru B kolejne
ró»nowarto±ciow¡ funkcj¡ A ∪ B → N. Twierdzenie Cantora-Bernsteina daje
przyporz¡dkowuj¡ce elementom zbioru
liczby parzyste, jest
wi¦c tez¦.
Niech wreszcie zarówno
»ej; bijekcja
g
A, jak i B
b¦d¡ zbiorami niesko«czonymi. Funkcj¦
zdeniowana jest formuª¡
N 3 n → g(n) ∈ B.
2
f
deniujemy jak powy-
Funkcja
H(n) =

 f
n+1
2
 g
n ∈ 2N + 1,
n
n ∈ 2N,
2
przyporz¡dkowuj¡ca liczbom nieparzystym elementy zbioru
zbioru
B,
jest bijekcj¡
A,
za± liczbom parzystym elementy
N → A ∪ B.
Uwaga. Zgodnie z denicj¡ 10.6 ci¡giem o wyrazach ze zbioru A nazywamy odwzorowanie
N 3 n → a(n) ≡ an ∈ A.
Je±li
A
A
jest zbiorem przeliczalnym, to z denicji istnieje bijekcja
N 3 n → an ∈ A.
Oznacza to, »e
jest zbiorem przeliczalnym wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego elementy mo»emy ustawi¢ w
ci¡g, którego wyrazy nie powtarzaj¡ si¦.
Tw. 12.6
Iloczyn kartezja«ski dwóch zbiorów przeliczalnych
AiB
jest zbiorem przeliczalny.
Dowód
Podamy dowód w przypadku, gdy zarówno
A
jak i
B
s¡ zbiorami niesko«czonymi (pozostaªe przy-
padki jako ¢wiczenie).
(am )m∈N = (a1 , a2 , . . .) b¦dzie ci¡giem, w który zostaªy ustawione elementy zbioru A (patrz
Uwaga powy»ej) za± (bn )n∈N = (b1 , b2 , . . .) ci¡giem, w który zostaªy ustawione elementy zbioru B.
Podzielmy elementy zbioru A × B na grupy w taki sposób, »e k−tej grupie (k = 2, 3, 4, . . .) znajd¡
sie te pary ham , bn i dla których m + n = k. Na przykªad w grupie k = 2 znajdzie si¦ jedynie para
ha1 , b2 i, w grupie k = 3 znajd¡ si¦ pary ha1 , b2 i i ha2 , b1 i itd.
Niech
Uporz¡dkujmy teraz pary wewn¡trz ka»dej grupy w kolejno±ci rosn¡cego indeksu ci¡gu
przykªad, uporz¡dkowana grupa
k=5
am .
Na
ma posta¢
ha1 , b4 i, ha2 , b3 i, ha3 , b2 i, ha4 , b1 i.
A × B mo»emy wi¦c ustawi¢ w ci¡g: najpierw para z grupy k = 2, potem uporz¡dkowane pary z grupy k = 3, potem uporz¡dkowane pary z grupy k = 4 itd. W ci¡gu tym wyst¡pi¡
wszystkie elementy zbioru A × B, »aden element nie b¦dzie si¦ powtarzaª. Na mocy uwagi powy»ej
wykazali±my wi¦c, »e zbiór A × B jest przeliczalny.
Elementy zbioru
Twierdzenia 12.5 i 12.6 pozostaj¡ prawdziwe, je±li zamiast sumy (iloczynu kartezja«skiego) dwóch
zbiorów przeliczalnych b¦dziemy rozpatrywa¢ sum¦ (odpowiednio iloczyn kartezja«ski) dowolnej,
sko«czonej rodziny zbiorów przeliczalnych.
Wnioski z Tw. 12.5 i 12.6
I. Zbiór liczb caªkowitych jest przeliczalny.
3
Dowód
N 3 N → n − 1 ∈ A pokazuje, »e A jest
Podobnie, dal zbioru B = {−1, −2, . . .} = −N bijekcja N 3 N → −n ∈ B
zbiorów N i B. Wreszcie, równo±¢ Z = A ∪ B i twierdzenie 12.5 daj¡
Niech
A = N ∪ {0}.
Bijekcja
zbiorem przeliczalnym.
pokazuje równoliczno±¢
Z = N.
II. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.
Dowód
Liczb¦ wymiern¡
q ∈ Q zapisujemy w postaci uªamka zwyczajnego, q =
m
n , gdzie
m i n s¡ wzgl¦dnie
pierwszymi (nie maj¡cymi wspólnych, ró»nych od 1 czynników) liczbami caªkowitymi. Odwzorowanie
Q3q=
m
→ h(q) = hm, ni ∈ Z × Z
n
jest ró»nowarto±ciow¡ funkcj¡ ze zbioru liczb wymiernych w zbiór liczb caªkowitych. Poniewa» (na
mocy Tw. 12.6 i Wniosku I) zbiór
Z×Z
jest przeliczalny, wi¦c istnieje bijekcja
Z × Z 3 hm, ni → f (hm, ni) ∈ N.
Zªo»enie bijekcji i funkcji ró»nowarto±ciowej jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡; funkcja
f ◦g : Q→N
jest wi¦c ró»nowarto±ciow¡ funkcj¡ przyporz¡dkowuj¡c¡ ka»dej liczbie wymiernej liczb¦ naturaln¡.
Z drugiej strony, funkcja
N 3 n → h(n) =
n
∈Q
1
jest ró»nowarto±ciow¡ funkcj¡ przyporz¡dkowuj¡c¡ ka»dej liczbie naturalnej liczb¦ wymiern¡. Wªasno±ci funkcji
f ◦g i h
oraz twierdzenie Cantora-Bernsteina daj¡ tez¦.
Tw. 12.7
Zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny.
Dowód (nie wprost).
Przypu±¢my, »e teza twierdzenie jest faªszywa; liczby rzeczywiste mo»emy wi¦c ustawi¢ w ci¡g taki,
»e wyst¦puje w nim ka»da liczba rzeczywista. Oznaczmy ten ci¡g przez
(an )n∈N = (a1 , a2 , . . .).
Zbudujemy teraz ci¡g podzbiorów osi rzeczywistej
n = 1, 2, 3, . . . :
1)
qn − pn =
1
3n ,
4
[p1 , q1 ], [p2 , q2 ], [p3 , q3 ], . . .
takich, »e dla ka»dego
2)
[pn , qn ] ⊂ [pn−1 , qn−1 ],
3)
a1 , a2 , . . . , an 6∈ [p2 , qn ].
Na przykªad: jako
[p1 , q1 ] wybierzmy ten z przedziaªów [0, 13 ], [ 31 , 23 ], [ 23 , 1] do którego nie nale»y liczba
a1 .
Jako
a2
[p2 , q2 ]
wybierzmy ten fragment przedziaªu
(oczywi±cie
a1
[p1 , q1 ]
(o dªugo±ci
1
9 ), do którego nie nale»y liczba
te» tam nie nale»y) i.t.d.
Niech teraz
{c} =
∞
\
[pn , qn ]
n=1
lub, równowa»nie
c = lim pn = lim qn .
n→∞
Dla ka»dego naturalnego
n
n→∞
mamy
an 6∈ [pn , qn ] ∧ c ∈ [pn , qn ] ⇒ c 6= an .
Liczba rzeczywista
c
nie wyst¦puje wi¦c w ci¡gu
(an )n∈N
co daje sprzeczno±¢ z naszym zaªo»eniem,
»e w ci¡gu tym wyst¦puj¡ wszystkie liczby rzeczywiste.
{0, 1}X b¦dzie zbiorem funkcji o argumentach w zbiorze X i warto±ciach w zbiorze
{0, 1} i niech P (X) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Funkcj¡ charakterystyczn¡
X zdeniowan¡ wzorem
zbioru A ∈ P (X) nazywamy fA ∈ {0, 1}

 1, gdy x ∈ A,
X 3 x → fA (x) =
 0, gdy x 6∈ A.
Niech teraz
Odwzorowanie, które przyporz¡dkowuje podzbiorowi jego funkcj¦ charakterystyczn¡, jest w oczywisty sposób bijekcj¡ (jaka jest posta¢ funkcji do niej odwrotnej?), co dowodzi równoliczno±ci zbiorów
{0, 1}X
i
P (X).
Tw. 12.8 (Cantor)
›aden zbiór nie jest równoliczny ze zbiorem wszystkich swoich podzbiorów.
Dowód (nie wprost).
Niech
X
b¦dzie zbiorem i przypu±¢my, »e
X ∼ P (X).
Je±li tak, to istnieje bijekcja
f : X → P (X).
Bijekcja ta jest tak»e surjekcj¡, t.j.
∀ (A ∈ P (X)) ∃ (a ∈ X) : A = f (a).
Zdeniujmy teraz zbiór
Z⊂X
jako zawieraj¡ce te i tylko te elementy
x ∈ X, które nie s¡ elementami
f (x) :
x ∈ Z ⇔ x 6∈ f (x).
5
(∗)
Z = f (a0 ). Pytaj¡c,
czy a0 ∈ Z dochodzimy do sprzeczno±ci: je±li a0 ∈ f (a0 ), to na mocy (∗) dostajemy a0 6∈ Z, co jest
sprzeczne z równo±ci¡ Z = f (a0 ). Podobnie, je±li a 6∈ f (a0 ), to na mocy (∗) dostajemy a0 ∈ Z, co
jest ponownie sprzeczne z równo±ci¡ Z = f (a0 ).
Na mocy zaªo»onej surjektywno±ci funkcji
f
wiemy, »e dla pewnego
Funkcja o wªasno±ciach, których »¡damy od
f,
a0
zachodzi
nie mo»e wi¦c istnie¢.
6