Wykład 2.1

ILOCZYNY WEKTORÓW
3
•
= { ( x, y, z ) : x, y, z ∈ } − trójwymiarowa przestrze , któr mo na interpretowa na trzy sposoby:
Jako zbiór punktów. W tej interpretacji elementy przestrzeni
3
nazywa si punktami. Napis A = ( x A , y A , z A ) oznacza, e punkt A ma
współrz dne x A , y A i z A .
•
Jako zbiór wektorów zaczepionych w punkcie O = (0, 0, 0) . W tej interpretacji jest to trójwymiarowa przestrze kartezja ska.
•
Jako zbiór wszystkich wektorów swobodnych (odcinków skierowanych). Je li punkt A = ( x A , y A , z A ) jest pocz tkiem wektora, za
punkt B = ( x B , y B , z B ) jego ko cem, to AB = [ x B − x A , y B − y A , z B − z A ] .
i = [1, 0, 0]
j = [0, 1, 0]
a = [ xa , y a , z a ] = xa i + y a j + z a k
k = [0, 0, 1]
Wektory a = [ x a , y a , z a ] i b = [ xb , y b , z b ] s równoległe wtedy i tylko wtedy b = λ ⋅ a , czyli wtedy i tylko wtedy, gdy maj proporcjonalne współrz dne, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy
xa y a z a
=
=
.
xb y b z b
Iloczynem skalarnym wektorów a = [ x a , y a , z a ] i b = [ xb , y b , z b ] nazywamy liczb rzeczywist okre lon wzorem
a b = [ x a , y a , z a ] [ xb , y b , z b ] = x a xb + y a y b + z a z b .
Za pomoc iloczynu skalarnego wyznaczamy:
•
Długo
wektora: | a | = a =
a a .
Zatem
xa 2 + ya 2 + z a 2 .
a =
a b
•
K t pomi dzy wektorami a i b : ∠( a , b ) = arccos
•
Prostopadło
•
Wyznacznik Grama zbudowany na wektorach a i b : G ( a , b ) =
a a
a b
a c
•
Wyznacznik Grama zbudowany na wektorach a , b i c : G ( a , b , c ) = b a
b b
b c .
c a
c b
c c
| a | ⋅ |b |
.
wektorów: a ⊥ b ⇔ a b = 0 .
a a a b
b a b b
.
Wyznacznik Grama zbudowany na dwu wektorach jest kwadratem pola równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.
W przestrzeni
2
wyznacznik Grama zbudowany na dwu wektorach upraszcza si do postaci G ( a , b ) =
xa
xb
ya
yb
2
.
Wyznacznik Grama zbudowany na trzech wektorach jest kwadratem obj to ci równoległo cianu zbudowanego na tych wektorach.
W przestrzeni
3
xa
xb
xc
wyznacznik Grama zbudowany na trzech wektorach upraszcza si do postaci G ( a , b , c ) = y a
yb
yc
za
zb
zc
2
.
Wyznacznik wyst puj cy po prawej stronie równo ci wyra a iloczyn mieszany wektorów a , b i c .
Obj to
równoległo cianu rozpi tego na trzech wektorach a , b i c (w przestrzeni
3
) wygodniej jest liczy w oparciu o wzór
xa
xb
xc
Vol( a , b , c ) = abs( y a
yb
zb
yc ) .
zc
za
Iloczynem wektorowym wektorów a = [ x a , y a , z a ] i b = [ xb , y b , z b ] nazywamy wektor okre lony wzorem
i
j
k
a × b = xa
ya
za .
xb
yb
zb
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 1
1
Wektor a × b jest prostopadły zarówno do a , jak i do b ; je li a i b nie s równoległe, to wyznaczaj płaszczyzn , do której a × b jest
prostopadły.
Wektor a × b ma długo
równ polu równoległoboku o dwu s siednich bokach a i b ; zatem
| a × b | = | a | ⋅ | b | ⋅ sin ∠(a , b ) ,
| a × b | = G (a , b ) .
xa
xb
yb
zb
Trzy wektory a , b i c s komplanarne (współpłaszczyznowe) wtedy i tylko wtedy, gdy y a
za
xc
yc = 0 (obj to
zc
zbudowanego na
nich równoległo cianu jest równa zero).
[1] Obliczymy pole trójk ta o wierzchołkach A = ( 2;1) ,
B = (−2; 3) , C = (8; − 1) .
Rozwi zanie.
Pole trójk ta jest połow pola odpowiedniego równoległoboku.
AB = [−2 − 2, 3 − 1] = [ −4, 2] , AC = [8 − 2, − 1 − 1] = [6, − 2]
1) Do obliczenia pola równoległoboku zastosujemy wyznacznik Grama.
AB AB = (−4) 2 + 2 2 = 16 + 4 = 20 , AB AC = −4 ⋅ 6 + 2 ⋅ ( −2) = −24 − 4 = −28 , AC AC = 6 2 + ( −2) 2 = 36 + 4 = 40
G ( AB, AC ) =
AB AB
AB AC
AC AB
AC AC
Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach AB i AC wynosi
2) Pole równoległoboku = |
xa
xb
ya
yb
|=|
−4
2
6
−2
20 −28
= 800 − 784 = 16
− 28 40
=
G ( AB, AC ) = 16 = 4 , pole trójk ta jest równe 2.
| = 4.
[2] Obliczymy pole trójk ta o wierzchołkach A = ( 2;1; − 4) , B = ( 2; − 1; 3) , C = (7; 2; 3) .
Rozwi zanie.
Pole trójk ta jest połow pola odpowiedniego równoległoboku.
AB = [0, − 2, 7] , AC = [5,1, 7]
1) Do obliczenia pola równoległoboku zastosujemy wyznacznik Grama.
AB AB = 0 + 4 + 49 = 53 , AB AC = 0 − 2 + 49 = 47 , AC AC = 25 + 1 + 49 = 75
G ( AB, AC ) =
AB AB
AB AC
AC AB
AC AC
Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach AB i AC wynosi
=
53 47
= 3975 − 2209 = 1766
47 75
1776 , pole trójk ta jest równe
1
2
1766 .
2) Pole równoległoboku = | a × b |
e1
e2
e3
e1
e2
e3
a × b = xa
ya
za = 0
−2
7 = −21e1 + 35e2 + 10e3 = [ −21, 35, 10]
xb
yb
zb
5
1
Pole = | a × b | =
7
441 + 1225 + 100 = 1766
[3] Obliczymy k t mi dzy wektorami a = [1,1, 0] i b = [−1, 0,1] .
Rozwi zanie.
Poniewa wektory s niezerowe, wi c
cos ϕ =
St d
a b
a⋅b
=
1 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1
2
2
2
2
2
2
1 + 1 + 0 ⋅ (−1) + 0 + 1
=
−1
2⋅ 2
=−
1
.
2
ϕ = π.
2
3
[4] Sprawdzi , e trójk t o wierzchołkach
A = (3; − 2; 5) , B = (−2;1; − 3) , C = (5; 1; − 1)
jest ostrok tny.
Rozwi zanie.
Poniewa
AB AC = [−5, 3, − 8] [2, 3, − 6] = −10 + 9 + 48 > 0 , wi c k t przy wierzchołku A w trójk cie ABC jest ostry.
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 1
2
Z warunków BA BC = [5, − 3, 8] [7, 0, 2] = 35 + 0 + 16 > 0 , CB CA = [ −7, 0, − 2] [ −2, − 3, 6] = 14 + 0 − 12 > 0 wynika,
e pozostałe
k ty tego trójk ta s ostre.
[5] Sprawdzi , e wektory a = [ 2, − 1, 2] , b = [1, 2, − 3] , c = [3, − 4, 7] s komplanarne (le
Rozwi zanie.
Trzy wektory s komplanarne, je li obj to
xa
A poniewa Vol(a , b , c ) = abs( y a
za
xb
yb
zb
ce w jednej płaszczy nie).
zbudowanego na nich równoległo cianu jest równa zero.
xc
xa
y c ) , wi c wystarczy stwierdzi , e y a
zc
za
xc 2 − 1 2
yc = 1 2 − 3 = 0 .
zc 3 − 4 7
xb
yb
zb
równoległo cianu zbudowanego na wektorach a = [1, − 2,1] , b = [3, 2,1] , c = [1, 0, − 1] .
[6] Obliczy obj to
Rozwi zanie.
xa
xb
xc
Vol(a , b , c ) = abs( y a
yb
y c ) = abs( − 2 2
za
zb
zc
1
1
3
1
0 ) = 12 .
1 −1
[7] Obliczy pole powierzchni całkowitej równoległo cianu zbudowanego na wektorach a = [1, − 2,1] , b = [3, 2,1] , c = [1, 0, − 1] .
c
a a
G (a , b ) =
b a b b
a a a c
G (a , c ) =
b
G (c , b ) =
a
a b
c a
c c
=
=
6
0
0 14
6 0
0 2
= 84
= 12
2 2
c c c b
=
= 24
2 14
b c b b
Pole powierzchni całkowitej tego równoległo cianu wynosi 2 84 + 2 12 + 2 24 .
1.
Znaj c wierzchołek A = ( 2, − 5, 3) oraz wektory AB = [ 4, 1, 2] , BC = [3,−2, 5] wyznacz pozostałe wierzchołki trójk ta ABC .
2.
Oblicz iloczyny a b i a × b , je li a = [ 4, 7, 3] , b = [3, − 5,1] .
3.
Dane s trzy kolejne wierzchołki równoległoboku ABCD : A = (6;1) , B = (3; 2) , C = (−2; 7) . Wyznacz wierzchołek D oraz pole tego
równoległoboku.
4.
Oblicz pole trójk ta o wierzchołkach A = ( 2,1) , B = (−2, 3) , C = (−8,1) .
5.
Oblicz pole trójk ta o wierzchołkach A = ( 2,1, − 4) ), B = ( −2, − 1, 3) , C = (7, 2, 3) .
6.
Oblicz k t mi dzy wektorami a = [1,1, 0] i b = [0, − 1,1] .
7.
Sprawd , e trójk t o wierzchołkach A = (3, − 2, 5) , B = ( −2, 1, − 3) , C = (5,1, − 1) jest ostrok tny.
8.
Oblicz obj to
9.
Sprawd , e wektory a = [ 2, − 1, 2] , b = [1, 2, − 3] , c = [3, − 4, 7] s komplanarne.
równoległo cianu zbudowanego na wektorach a = [1, − 2, 1] , b = [3, 2,1] , c = [1, 0, − 1] .
10. Oblicz pole powierzchni całkowitej równoległo cianu zbudowanego na wektorach a = [1, − 2,1] , b = [3, 2,1] , c = [1, 0, − 1] .
11. Sprawd , e trójk t o wierzchołkach A = ( 2,1, 5) , B = (6, 3, 5) , C = (−1, 2, 5) jest rozwartok tny. Oblicz jego pole.
12. Sprawd , e trójk t o wierzchołkach A = ( 4, 0, 2) , B = ( 2, 2, 2) , C = ( −1, − 1, 2) jest prostok tny. Oblicz jego pole.
1. B = (6, − 4, 5) , C = 9, − 6,10) . 2. a b = −20 , a × b = [ 22, 5, − 41] . 3. D = (1, 6) , Pole = 10 . 4. Pole = 10 . 5. Pole =
6. K t =
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 1
2
3
1
2
4446 .
π , 8. Vol = 12 ,
3
Płaszczyzna w
3
płaszczyzny σ jest postaci Ax + By + Cz + D = 0 , gdzie przynajmniej jedna z liczb A , B lub
C jest ró na od zera. Wektor n = [ A, B, C ] nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny σ.
Równanie ogólne zawartej w
3
n
Równanie płaszczyzny σ przechodz cej przez punkt P = ( x P , y P , z P ) i prostopadłej do wektora n = [ A, B, C ] ma posta
σ : A( x − x P ) + B( y − y P ) + C ( z − z P ) = 0 .
Płaszczyzn przechodz c przez trzy niewspółliniowe punkty A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) i C = ( xC , yC , zC ) wyznaczamy z jednego ze wzorów
Odległo
x
y
z
1
xA
yB
zC
1
xB
yB
zC
1
xC
yB
zC
1
x − xA
y − yA
xB − x A
xC − x A
yB − y A
yC − y A
=0,
z − zA
zB − z A = 0 .
zC − z A
punktu P = ( x P , y P , z P ) od płaszczyzny σ: Ax + By + Cz + D = 0 najlepiej jest oblicza ze wzoru
d=
| Ax P + By P + Cz P + D |
A2 + B 2 + C 2
.
Płaszczyzny σ1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i σ2: A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 s równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne
n1 = [ A1 , B1 , C1 ] i n2 = [ A2 , B2 , C 2 ] s równoległe, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy
n2 = [ A2 , B2 , C2 ] = λ ⋅ [ A1 , B1 , C1 ] = λ ⋅ n1 .
Je li ponadto D2 = λ ⋅ D1 , to płaszczyzny te pokrywaj si .
Płaszczyzny σ1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i σ2: A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 s prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne
n1 = [ A1 , B1 , C1 ] i n2 = [ A2 , B2 , C2 ] s prostopadłe, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy
n1 n 2 = A1 A2 + B1 B2 + C1 C 2 = 0 .
K t mi dzy płaszczyznami.
K tem mi dzy płaszczyznami nazywamy k t ostry mi dzy wektorami normalnymi tych płaszczyzn.
∠(σ1 , σ 2 ) = arccos
n1 n2
n1 ⋅ n 2
[1] Napisa równanie ogólne płaszczyzny przechodz cej przez punkt A = ( 2,1, − 1) i prostopadłej do wektora n = [1, − 2, − 1] .
Rozwi zanie.
Równanie płaszczyzny σ przechodz cej przez punkt P = ( x P , y P , z P ) i prostopadłej do wektora n = [ A, B, C ] ma posta
σ : A( x − x P ) + B( y − y P ) + C ( z − z P ) = 0 .
Płaszczyzna σ rozwa ana w tym zadaniu ma równanie
σ : ( x − 2) − 2( y − 1) − ( z + 1) = 0 .
Ostatecznie (po przekształceniu)
σ : x − 2 y − z −1 = 0 .
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 1
4
[2] Napisa równanie ogólne płaszczyzny σ przechodz cej przez punkty A = ( 2,1, − 1) , B = (1, − 2, − 1) , C = (1,1,1) . Jaka jest odległo
pocz tku układu od tej płaszczyzny?
Rozwi zanie.
Skorzystamy ze wzoru
x − xA
σ : xB − x A
xC − x A
σ:
x−2
−1
−1
y − yA
yB − y A
yC − y A
z − zA
zB − z A = 0 .
zC − z A
y −1 z + 1
| Ax P + By P + Cz P + D | | −6 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0 + 7 |
−3
0 = 0 → σ : − 6 x + 2 y − 3z + 7 = 0 → d =
=
=1
2
2
2
2
2
2
A
+
B
+
C
(
−
6
)
+
2
+
(
−
3
)
0
2
Zadania
1.
Napisa równanie płaszczyzny przechodz cej przez trzy punkty M 1 = (1;−1;−2 ) , M 2 = (2;1;2 ) , M 3 = (−2;0;−7 ) .
2.
Obliczy odległo
punktu M = (3,1, − 1) od płaszczyzny P : 22 x + 4 y − 20 z − 45 = 0 .
3.
Znale
miedzy płaszczyznami P1 : 11x − 2 y − 10 z + 30 = 0 i P2 : 11x − 2 y − 10 z − 15 = 0 .
4.
Napisa równanie płaszczyzny przechodz cej przez punkt M = (1, − 1, 1) i prostopadłej do dwóch płaszczyzn P1 : x − y + z − 1 = 0 ,
odległo
P2 : 2 x + y + z + 1 = 0 .
x − y + 2 z − 5 = 0 i płaszczyzn Oyz .
5.
Znale
6.
Napisa równanie płaszczyzny przechodz cej przez punkty M 1 = (1;1;1) i M 2 = ( 2;2;2) oraz prostopadłej do płaszczyzny
k t mi dzy płaszczyzn
P: x+ y−z =0.
7.
Napisa równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny P : 3 x − 6 y − 2 z + 14 = 0 i odległej od niej o 3.
8.
Napisa równanie płaszczyzny równoodległej od płaszczyzn P1 : x + y − 2 z − 1 = 0 i P2 : x + y − 2 z + 3 = 0 .
9.
Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez o
z i przez punkt M = (1; − 2;1) .
10. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez punkt M = ( 2; 3; − 4) i równoległ do płaszczyzny yz .
11. Oblicz obj to
ostrosłupa ograniczonego płaszczyzn
π : x + 2 y − 3z + 2 = 0 i płaszczyznami układu współrz dnych.
12. Punkt M = ( 2; − 1; 2) jest rzutem pocz tku układu współrz dnych na płaszczyzn . Wyznacz jej równanie.
13. Znajd k t mi dzy płaszczyznami π1 : x + y − 1 = 0 , π 2 : 2 x − y + 3 z + 1 = 0 .
14. Wyznacz płaszczyzn , do której nale
punkty: A = (1; − 2;1) , B = (−1; 0;1) , C = (0; 0; − 1) .
15. Wyznacz płaszczyzn , do której nale
punkty: A = (0;1;1) , B = ( 2; 0; 0) , C = (1; − 1; 0) .
16. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez punkt P = ( 2; − 3; − 7) i równoległ do płaszczyzny σ : 2 x − 6 y − 3 z + 5 = 0 .
17. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez punkty P = ( 2; 3; − 1) , Q = (1; 5; 3) i prostopadł do płaszczyzny σ : 3 x − y + 3 z + 15 = 0 .
18. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez punkt P = ( 2; − 3; − 7) i równoległ do wektorów: a = [ −3, 2, − 1] , b = [1, 2, 3] .
19. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez punkt P = ( 2; 0; 4) i jego rzuty na płaszczyzny: π : x − 7 y + 2 z = 0 , σ : 5 x + 3 y − z = 0 .
20. Oblicz długo
wysoko ci ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka S = (1; 4; − 2) na cian zawieraj c wierzchołki A = (0; − 1;1) ,
B = (3; 5;1) , C = (1; − 3; − 1) .
21. Oblicz obj to
czworo cianu o wierzchołkach A = (1;1;1) , B = (0;1; 2) , C = (1; 2; 3) , D = ( 2;1; 3) .
1. 2 x + y − z − 3 = 0 ; 2.
3
2
; 3. 3 ; 4. 2 x − y − 3z = 0 ; 5. 60 ; 6. x − y = 0 ; 7. 3x − 6 y − 2 z − 7 = 0 , 3x − 6 y − 2 z + 35 = 0 ;
8. x + y − 2 z + 1 = 0 ; 9. 2 x + y = 0 ; 10. x − 2 = 0 ; 11.
2
9
; 12. 2 x − y + 2 z − 7 = 0 ; 13. arccos 14 ; 14. 2 x − 2 y + z − 7 = 0 ;
15. x − y + 3 z − 2 = 0 ; 16. 2 x − 6 y − 3z − 43 = 0 ; 17. 2 x + 3 y − z − 14 = 0 ; 18. 7 x + 8 y − 8 z − 62 = 0 ; 19. x + 11y + 38 z − 154 = 0 ;
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 1
5