Test numer xXx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA

Test numer xXx
EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI
DLA KANDYDATÓW NA KIERUNKI
MATEMATYKA I INFORMATYKA
4 LIPCA 2002 ROKU
Czas trwania egzaminu: 180 min.
Liczba zadań: 30
Każde zadanie sklada sie, z trzech cześci.
Odpowiedź do każdego zadania sklada
,
sie, z trzech odpowiedzi czastkowych
do poszczególnych cześci
tego zadania. Wśród
,
,
odpowiedzi czastkowych
odpowiedź
TAK
(i
podobnie
odpowiedź
NIE) może wystapić
,
,
0, 1, 2 lub 3 razy. Za trzy poprawne odpowiedzi czastkowe
do jednego zadania
,
otrzymuje sie, 1 punkt. Za każda, poprawna, odpowiedź czastkow
a, otrzymuje sie, 1/10
,
punktu.
Odpowiedzi podajemy na dolaczonej
do testu kartce z tabelka.
,
, Jest tam
wyjaśniony sposób ich wpisywania.
(1) Dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwe jest nastepuj
ace
twierdzenie
,
,
(a) Jeżeli A ⊂ B oraz B ⊂ C, to A ⊂ C.
(b) Jeżeli A ⊂ B oraz B ⊂ C oraz C ⊂ A, to C ⊂ B.
(c) Jeżeli C ⊂ A oraz C ⊂ B, to A ∩ B ⊂ C.
(2) W lipcu 2002 roku iloczyn numeru roku, numeru miesiaca,
numeru dnia, go,
dziny oraz minuty jest równy 2002 2 przez
(a) ponad godzine.
,
(b) 6 minut.
(c) caly lipiec.
(3) W wyborach na prezydenta dużego kraju europejskiego startuje trzech kandydatów: Prawdziwy, Prawdziwszy i Najprawdziwszy. Glosuje na nich zawsze
(i chodzi na wybory) odpowiednio: 5%, 10% i 15% ogólu wyborców. Glosy
pozostalych wyborców, którzy stawia, sie, do urn, dziela, sie, w stosunku odpowiednio 5 : 2 : 1. Zwyciezc
a, ilość
, a, zostaje kandydat, który uzyska najwieksz
,
glosów.
(a) Przy frekwencji 40% prezydentem zostanie Najprawdziwszy.
(b) Przy frekwencji 60% prezydentem zostanie Prawdziwszy.
(c) Przy frekwencji 80% prezydentem zostanie Prawdziwy.
(4) Niech a + b = 1, gdzie a, b ∈ R. Liczba postaci (a + 1)(b + 1)
(a) jest dodatnia tylko dla dodatnich a.
(b) jest równa 3 dla pewnych rzeczywistych a, b.
(c) może przyjać
, dowolna, wartość ujemna.
,
(5) Zbiór wszystkich rozwiazań
ukladu równań
,
(
(a2 − a)x − (a − 1)y = a − 1
(a − 1)x + (a2 − 1)y = a2 − 1
może być, w zależności od parametru a ∈ R,
(a) jednopunktowy.
(b) prosta.
,
(c) cala, plaszczyzna.
,
1
2
√
(6) Jeżeli 7 jest pierwiastkiem wielomianu stopnia drugiego ax2 + bx + c o
wspólczynnikach
calkowitych, to
√
(a) − 7 jest także pierwiastkiem tego wielomianu.
(b) b = 0.
√ .
(c) b = 7a+c
7
(7) Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x4 + x3 − x − 1 równa
sie, x3 + x2 + x + 2. Reszta z dzielenia W (x) przez x2 − 1 jest wiec
, równa
4
3
(a) reszcie z dzielenia wielomianu x + x − x − 1 przez wielomian x2 − 1.
(b) reszcie z dzielenia wielomianu x3 + x2 + x + 2 przez wielomian x2 − 1.
(c) reszcie z dzielenia wielomianu x4 +x3 −x−1 przez wielomian x3 +x2 +x+2.
(8) Niech f (x) = sin(πx) dla x ∈ R.
(a) Okresem funkcji f jest każda liczba naturalna.
(b) Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji f jest zbiór wszystkich liczb
calkowitych.
(c) Dla każdego x ∈ R zachodzi równość f (x) = π · sin x.
(9) Nierówność cos2 x > 21 jest spelniona w przedziale [−π, π] wtedy i tylko wtedy,
gdy
(a) x < − π4 lub x > π4 .
(b) − π4 < x < π4 .
π
π
3π
(c) − 3π
4 < x < − 4 lub 4 < x < 4 .
(10) Niech a, b, x bed
od jedności. Wartość
, a, liczbami rzeczywistymi wiekszymi
,
loga x
wyrażenia log
ab x
(a) jest równa loga b.
(b) nie zależy od a.
(c) jest rosnac
, a, funkcja, zmiennej x.
(11) Przekatne
równolegloboku o dlugościach p i q przecinaja, sie, pod katem
α.
,
,
Ten równoleglobok ma
(a) pole równe pq sin α.
(b) sume, kwadratów dlugości wszystkich boków równa, p2 + q 2 .
(c) przekatne
dzielace
sie, na polowy.
,
,
(12) W trójkacie
ABC mamy dane |AB| = 3, |BC| = 4, |AC| = 6. Wtedy
,
−→
−→
−→
−→
(a) AB ◦ AC =
29
2 .
−→
−→
(b) AB ◦ AC = AB ◦ CA.
(c) trójkat
, jest rozwartokatny.
,
(13) Dwa zewnetrznie
styczne okregi
o równych promieniach dlugości 2 cm sa,
,
,
styczne do prostej k. Trzeci okrag
, jest styczny do prostej k i zewnetrznie
,
styczny do dwóch pierwszych okregów.
Zatem
jego
promień
ma
d
lugość
,
(a) 21 cm.
√
(b)
(c)
2
2 cm.
√
√2 cm.
2 3
(14) Niech C oznacza czworościan foremny, S — sześcian i O — ośmiościan foremny. Dla każdego z wielościanów obliczamy sume, ilości ścian i wierzcholków
3
pomniejszona, o ilość krawedzi
i oznaczamy przez χ z odpowiednim indeksem.
,
Wówczas
(a) χC < χS < χO .
(b) χC = χS = χO .
(c) χC > χS > χO .
(15) Symetralna, odcinka o końcach A = (3, 7) i B = (−1, 1) jest prosta o równaniu
(a) 2x − 3y + 14 = 0.
(b) 2x + 3y − 14 = 0.
(c) 3x − 2y + 5 = 0.
(16) Dane sa, punkty A(2, 0) i B(6, 2). Punkt C leży w pierwszej ćwiartce.
√ W
trójkacie
ABC
wysokość
opuszczona
z
wierzcho
lka
C
ma
d
lugość
2
5, a
,
√
środkowa okońcu C — dlugość 12 85. Punkt C może mieć zatem wspólrzedne
,
(a) 3, 5 21 .
(b) 1, 4 12 .
(c) 1 12 , 5 .
(17) Obrazem paraboli y = ax2 + bx + c w symetrii środkowej o środku S = (1, 1)
jest parabola
(a) y = −ax2 + bx − c.
(b) y = −ax2 + (4a + b)x − 4a − 2b − c + 2.
(c) y = −ax2 + (2a + b)x − a − b − c + 1.
(18) Ciag
, (an ) określony wzorem rekurencyjnym a1 = 1, an+1 = 2an + 1 dla n ≥ 1,
jest
(a) arytmetyczny.
(b) geometryczny.
(c) malejacy.
,
(19) Ciag
malejacy,
gdy
, (an ) jest
,
2
(a) an = nn+1
.
2
2
(b) an = − n2n+1 .
(c) an = n21+1 .
sin nx
(20) Ciag
,
nx , n ∈ N, jest dla pewnego x ∈ R
(a) ograniczony.
(b) zbieżny do 1.
(c) zbieżny do 0.
(21) Istnieje skończona
granica ciagu
(an ), gdy
,
√
2
(a) an = √n + n − n.
(b) an = √n2 − n − n.
(c) an = n2 + n + n.
(22) Dla dowolnych funkcji różnowartościowych f : R → R i g : R → R
(a) iloczyn f · g jest funkcja, różnowartościowa.
,
(b) suma f + g jest funkcja, różnowartościowa.
,
(c) zlożenie f ◦ g jest funkcja, różnowartościowa.
,
√
2 + 1 dla x ∈ R
x
(23) Funkcja f dana wzorem f (x) = x +
√
(a) spelnia warunek f (x) = f 0 (x) x2 + 1.
(b) jest rosnaca.
,
4
(c) jest niemalejaca.
,
(24) Istnieje skończona granica
3 −27
(a) limx→3 x3−x
.
1
(b) limx→0 x sin x .
1−x2
(c) limx→−1 |x+1|
.
(25) Jeżeli funkcja f : R → R jest ciag
, la w punkcie x0 , to
(a) istnieje takie δ > 0, że f (x) < f (x0 ) o ile |x − x0 | < δ.
(b) istnieje takie δ > 0, że f (x) < f (x0 ) + 1 o ile |x − x0 | < δ.
(c) limx→x0 (f (x) − f (x0 )) = 0.
(26) Wielomian W (x) = x4 − 2x2 − 1 posiada
(a) wykres o jednym środku symetrii.
(b) dwa miejsca zerowe.
(c) trzy ekstrema lokalne.
(27) Niech f (x) = x3 oraz g(x) = |x|. Wówczas różniczkowalna w zerze jest funkcja
(a) f + g (suma funkcji f i g).
(b) f g (iloczyn funkcji f i g).
(c) f ◦ g (zlożenie funkcji f i g).
(28) W Multilotku losuje sie, dziesieć
Na kuponie można
, liczb z osiemdziesieciu.
,
skreślić od jednej do dziesieciu
liczb.
Prawdopodobieństwo
,
(a) prawidlowego wytypowania jednej liczby przy skreśleniu jednej liczby wy1
nosi 10
.
(b) prawidlowego wytypowania dziesieciu
liczb przy skreśleniu dziesieciu
liczb
,
,
1
.
wynosi 80
(10)
(c) prawidlowego wytypowania dokladnie trzech liczb przy skreśleniu sześciu
(74
7)
liczb wynosi 80
(10)
(29) Rzucamy pieciokrotnie
symetryczna, moneta.
,
,
(a) Jeżeli w trzech pierwszych rzutach wypadl orzel, to w czwartym rzucie
bardziej prawdopodobne jest uzyskanie reszki.
(b) Prawdopodobieństwo tego, że dokladnie trzy orly wypadna, pod rzad
, jest
mniejsze niż prawdopodobieństwo wypadniecia
pod
rz
ad
dok
ladnie
czte,
,
rech reszek.
(c) Prawdopodobieństwo tego, że wypadly kolejno trzy orly, a potem dwie
1
reszki, wynosi 64
.
(30) Zdarzenia A i B sa, niezależne oraz P (A) = 13 i P (B) = 25 . Wówczas
(a) zdarzenia A ∪ B i B sa, również niezależne.
(b) P (A ∪ B) = 35 .
(c) P (A|B) > P (B|A).