Rachunek predykatów

Metody Formalne Informatyki: Zestaw 3
Semestr zimowy 2016/2017
MFI
Kraków
17 października
Rachunek predykatów
Zadanie 1. Sprawdź, które z poniższych formuł są spełnialne:
(i) ∃x A(x),
(ii) ∀x A(x),
(iii) ∃x ∀y (A(x, x) ∧ ¬A(x, y)),
(iv) ∃x ∃y (A(x) ∧ ¬A(y)),
(v) ∃x ∀y (A(x, y) → ∀z B(x, y, z)),
(vi) P (x) → ∀y P (y).
Zadanie 2. Sprawdź, które z poniższych formuł są tautologiami:
(i) ∀x (A(x) → B(x)) → (∀x A(x) → ∀x B(x)),
(ii) ∃x (A(x) → B(x)) → (∃x A(x) → ∃x B(x)),
(iii) (∀x (A(x) → B(x))) ∨ (∀x (B(x) → A(x))),
(iv) (∃y A(y) → ∀z B(z)) → ∀y ∀z (A(y) → B(z)),
(v) ∀x ∃y ∀u ∃v P (x, y, u, v) → ∀u ∃v ∀x ∃y P (x, y, u, v).
Zadanie 3. Dla każdej z poniższych formuł znajdź model, w którym jest prawdziwa i
model, w którym jest fałszywa:
(i) ∀x ∀y (P (x, y) → P (y, x)),
(ii) ∀x ∃y P (x, y) → ∃y ∀x P (x, y),
(iii) ∀y (∀x (P (x) → Q(x)) ∧ Q(y)) → P (y) ,
(iv) ∀x ∀y P (x, y) → ∃z (P (x, z) ∧ P (z, y)) .
Zadanie 4. Mając do dyspozycji predykat g(x, y) oznaczający „x goli y” oraz stałą G
(golibroda), zapisz formułę równoważną zdaniu: „Golibroda goli wszystkich tych i tylko
tych, którzy nie golą się sami”. Pokaż, że nie istnieje model dla stworzonej formuły.
Zadanie 5. Rozważmy model M , którego dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N. Załóżmy, że w M jest predykat binarny, oznaczony symbolem p taki, że p(x, y) jest prawdą
wtedy i tylko wtedy, gdy x dzieli y. Napisz formuły, które w modelu M są równoważne
nastepującym zdaniom:
(i) x = y,
(ii) x = 0,
(iii) x = 1,
(iv) x jest liczbą pierwszą,
(v) x jest kwadratem liczby pierwszej,
Strona 1/3
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 3
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
17 października
(vi) x jest iloczynem różnych liczb pierwszych,
(vii) x jest iloczynem liczb pierwszych,
(viii) x jest potęgą liczby pierwszej,
(ix) dla każdych dwóch liczb istnieje ich największy wspólny dzielnik,
(x) dla każdych dwóch liczb istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotność,
(xi) x i y są względnie pierwsze.
Zadanie 6. Rozważmy model M , którego dziedziną są wszystkie punkty, odcinki i okręgi
płaszczyzny oraz w którym jest jeden predykat binarny oznaczony symbolem p, który
przyjmuje wartość prawda jeśli jego argumenty mają przynajmniej jeden punkt wspólny.
Napisz formuły, które w modelu M są równoważne następującym stwierdzeniom:
(i) x jest równe y,
(ii) x jest nadzbiorem y,
(iii) x jest punktem,
(iv) x jest odcinkiem,
(v) x jest okręgiem,
(vi) x jest równoległe do y,
(vii) x i y mają dokładnie jeden punkt wspólny,
(viii) okręgi x i y są do siebie styczne,
(ix) okręgi x i y są do siebie wewnętrznie styczne i okrąg x jest okręgiem wewnętrznym,
(x) okręgi x i y są do siebie zewnętrznie styczne,
(xi) punkt x jest końcem odcinka y,
(xii) odcinek x jest styczny do okręgu y,
(xiii) okręgi x i y mają taką samą średnicę,
(xiv) okrąg x ma średnicę mniejszą niż okrąg y.
Zadanie 7. Niech A(x), B(x), C(x) oraz D(x) oznaczają odpowiednio „x jest kaczką”, „x
jest oficerem”, „x ma ochotę tańczyć walca”, „x jest jednym z moich zwierząt”. Używając
kwantyfikatorów, zmiennych i symboli predykatowych A, B, C i D wyraź następujące
zdania:
(i) Żadna kaczka nie chce tańczyć walca.
(ii) Żaden oficer nigdy nie odmawia tańczenia walca.
(iii) Wszystkie moje zwierzęta są kaczkami.
(iv) Moje zwierzęta nie są oficerami.
Czy formuła (d) wynika z formuł (a), (b) i (c)? Jeśli nie, to co możemy z tych trzech
formuł wywnioskować?
Strona 2/3
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 3
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
17 października
Zadanie 8. Pokaż, że poniższa formuła jest prawdziwa w pewnym modelu nieskończonym,
a fałszywa we wszystkich modelach skończonych:
∀x ∃y P (x, y) ∧ ∀x ∀y (P (x, y) → ¬P (y, x)) ∧ ∀x ∀y ∀z (P (x, y) → (P (y, z) → P (x, z)))
Zadanie 9. Pokaż, że poniższa formuła jest prawdziwa w każdym modelu zawierającym
nie więcej niż trzy elementy:
∃x ∀y (F (x, y) → (¬F (y, x) → (F (x, x) ↔ F (y, y))))
Strona 3/3