UGIĘCIE OSI BELKI ZGINANEJ 1. RÓWNANIE UGIĘTEJ OSI BELKI

UGIĘCIE OSI BELKI ZGINANEJ 1. RÓWNANIE UGIĘTEJ OSI BELKI

UGIĘCIE OSI BELKI ZGINANEJ
1
1. RÓWNANIE UGIĘTEJ OSI BELKI
1.1. Hipoteza płaskich przekrojów (hipoteza Bernouli’ego)
‘ przekrój poprzeczny pręta, płaski i prostopadły do osi pręta przed odkształceniem, pozostaje
w wyniku deformacji nadal płaski i prostopadły do ugiętej osi pręta
(w przypadku czystego zginania hipoteza staje się twierdzeniem, którego dowód przeprowadza się w oparciu o analizę deformacji pręta)
∆x
x
B
A’
A
z
B’
z
∆φ
ρ
ε x = lim
A →B
ε x = lim
∆ φ→ 0
A ′ B′ − AB
AB
( ρ + z ) ∆φ − ρ∆φ = z
∆φ
εx =
ρ
σx
= M z
E E Iy
1 = M( x )
E Iy
ρ( x )
κ ( x) ≡ 1 =
ρ( x)
w ′′( x)
[1 + w ′ (x)]
2
32
≅ w ′′( x)
E Iy w ′′ ( x ) = M ( x )
UGIĘCIE OSI BELKI ZGINANEJ
2
1.2. Równanie ugięć
x
w
φx
w
E I y w ′′ ( x ) = M ( x )
φx = w′( x )
x
M
M, w
M, w
M+
M+
w
w
x
M+
M+
w
w
w’
w’
M+
x
x
M+
M+
M
M+
w
w
w’
w’
w’’
w’’
w’’ < 0
w’’
E I w ′′ = − M ( x )
w’’ < 0
w’’ > 0
w’’ > 0
w’’
E I w ′′ = − M ( x )
E I w ′′ = M ( x )
E I w ′′ = M ( x )
UGIĘCIE OSI BELKI ZGINANEJ
3
1.3. Sposób Clebscha jednolitego zapisu równań momentów zginających
1. równania momentów zginających we wszystkich przedziałach charakterystycznych muszą być
zapisane w tym samym układzie współrzędnych (M, x)
2. w każdym kolejnym przedziale charakterystycznym muszą być powtórzone człony z przedziału poprzedniego
3. wszystkie człony równania momentów muszą zawierać mnożniki typu ( x - ai )α, gdzie : α - potęga zależna od obciążenia, ai - współrzędna punktu początkowego i+1 przedziału charakterystycznego
4. całkowanie odbywa się względem całych członów ( x - ai )
M
P
q
x
A
B
C
D
E
K
RA
3
2
4
1
RB
1.5
M, w
M ( x) = RA x
AC
E I w ′′ = − RA x
E I w ′ = C1 −
AC
RA 2
x
2
E I w = C1 x + C 2 −
− P( x − 3 )
+ P( x − 3 )
AC
RA 3
x
6
CD
+ P( x−3)
2
AC
q
( x − 5 )2
2
−
CD
+
2
q
x−5)
(
2
2
+ P( x−3)
6
DE
CD
CD
DE
q
3
x−5)
(
6
+
3
+
+
q
( x − 9 )2
2
−
2
q
x−9)
(
2
DE
q
( x − 5 )4
24
EK
−
DE
− M ( x − 10 )
EK
+ M ( x − 10 )
q
3
x−9)
(
6
−
0
q
( x − 9 )4
24
EK
EK
KB
0
KB
+ M ( x − 10 )
+ M ( x − 10 )
2
2
∗ warunki brzegowe
1. w ( 0 ) = 0
. )=0
2. w ( 115
⇒
C1 × 0 + C 2 −
⇒
RA
×0 = 0
6
C1 115
. + C2 −
+
RA
115
. 3
6
q
4
115
. −5)
(
24
DE
−
AC
+ P ( 115
. −3)
6
q
4
115
. −9)
(
24
EK
3
CD
+
+ M ( 115
. − 10 )
2
2
KB
KB
=0
KB
UGIĘCIE OSI BELKI ZGINANEJ
4
2. OBLICZANIE UGIĘĆ METODĄ MOHRA
∗ metoda oparta na formalnej analogii między równaniami różniczkowymi momentów zginających M(x) i równaniem różniczkowym ugiętej osi belki w(x)
q(x)
x
M,w
w ′′ ( x ) = −
M ′′ ( x ) = − q ( x )
M′ ( x ) =
x
− q( x ) d x + A ≡ Q ( x )
∫
w′ ( x ) =
0
M( x ) =
x
∫
−
0
x

 − q ( x ) d x d x + A x + B


00
x
∫ ∫
+ statyczne warunki brzegowe
w( x) =
M( x )
EI
M( x )
EI
dx + C
 x M( x ) 
 −
d x d x + C x + D
EI


00
x
∫ ∫
+ kinematyczne warunki brzegowe
M(
) =........
w(
) =........
Q(
) =........
w′(
) =........
∗ przy wyznaczaniu momentów zginających zamiast korzystać z metody całkowania równania
różniczkowego (lewa kolumna), korzystaliśmy z twierdzenia o równoważności układu sił zewnętrznych i wewnętrznych - momenty zginające znajdywaliśmy poprzez redukcję obciążenia
zewnętrznego. Nasuwa się sugestia, aby podobną metodę zastosować w odniesieniu do
ugięć
∗ wprowadźmy następujące oznaczenie:
M( x )
EI
def
=
qf
obciążenie fikcyjne
wówczas :
w′
w
def
=
def
=
Qf
fikcyjna siła poprzeczna
Mf
fikcyjny moment zginający
∗ pełna analogia równania momentów i równania ugięć wymaga ponadto zgodności stałych całkowania tzn. A i C oraz B i D. Uzyskuje się to poprzez zastąpienie belki rzeczywistej belką fikcyjną (na którą działa obciążenie fikcyjne qf ) o schemacie statycznym tak dobranym, aby
„fikcyjne” statyczne warunki brzegowe (dotyczące Qf i Mf) dla tej belki odpowiadały kinematycznym warunkom brzegowym (dotyczącym w i w’) dla belki rzeczywistej
UGIĘCIE OSI BELKI ZGINANEJ
5
2.1. Dobór belki fikcyjnej dla belki rzeczywistej.
BELKA RZECZYWISTA
war. kinematyczne
schemat
BELKA FIKCYJNA
schemat
war. statyczne
w≠0 ,
w′ ≠ 0
Mf ≠ 0 , Q f ≠ 0
w=0 ,
w′ = 0
Mf = 0 , Q f = 0
w=0 ,
w′ ≠ 0
Mf = 0 , Q f ≠ 0
wL′ ≠ wP′
Mf ≠ 0 , Q Lf ≠ Q Pf
w′ = 0
Mf ≠ 0 , Q f = 0
w≠0 ,
w≠0 ,
3.1. Algorytm postępowania w przypadku obliczania ugięć metodą Mohra.
1. Narysować wykres momentów zginających dla belki rzeczywistej (jest to obciążenie fikcyjne
belki fikcyjnej)
2. Narysować schemat belki fikcyjnej
3. Nanieść wykres momentów zginających na belkę fikcyjną w taki sposób, aby momenty „dodatnie”, tzn. leżące po stronie przyjętych „spodów” były skierowane zgodnie z przyjętym za
dodatni zwrotem osi ugięć.
4. Rozwiązać w „standardowy” sposób belkę fikcyjną .
Ugięcia osi belki
w
= Mf
Kąty obrotu osi belki
w′
=
Qf
UGIĘCIE OSI BELKI ZGINANEJ
6
3.2. Algorytm metody Mohra - przykład.
P
K
P/2
L/2
P/2
PL/4
wmax
L/2
PL2/16
PL2/16
M, w
w max = MKf =
2
3
PL L 1 PL L 1 L PL
× − ×
× × × =
16 2 2 4 2 3 2 48
w
M
w max = MKf = −
2
3
PL L 1 PL L 1 L
PL
× + ×
× × × =−
16 2 2 4 2 3 2
48
M
w
w max = MKf
PL2 L 1 PL L 1 L PL3
=
× − ×
× × × =
16 2 2 4 2 3 2 48
M, w
w max = MKf = −
PL2 L 1 PL L 1 L
PL3
× + ×
× × × =−
16 2 2 4 2 3 2
48