1996.10.26 - Matematyka Ubezpieczeń Maj¹tkowych
Transkrypt
1996.10.26 - Matematyka Ubezpieczeń Maj¹tkowych
Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r. Matematyka Ubezpieczeń Majątkowych Zadanie 1 ( ) Z teorii uŜyteczności wybierze tak by: EX − E I (1) ( x) min EX = 0,08 + 2 ⋅ 0,08 + 3 ⋅ 0,04 = 0,36 ( E (I ) ( x) ) = E (I E I (1) ( x) = 0,36 ( 2) ( 3) ) ( x) = 0,24 → I (1) ( x) Zadanie 2 Z Panjera P ( S ≥ 3) = 1 − P ( S = 0) − P ( S = 1) − P ( S = 2) k λj P(Y = j ) P( S = k − j ) j =1 k P( S = k ) = ∑ P ( S = 0) = e − 0 , 2 P ( S = 1) = 0,2 ⋅ 0,5e −0, 2 0,2 P ( S = 2) = 0,5 ⋅ 0,2 ⋅ 0,5e −0, 2 + 0,2 ⋅ 0,3e −0, 2 2 ODP = 1 − e −0, 2 − 0,1e −0, 2 − 0,005e −0, 2 − 0,06e −0, 2 = 1 − 1,165e −0, 2 Zadanie 3 Tabela zmienia się: 0 0,5 1 0,3 2 0,1 3 0,1 P ( S = 0) = P ( N = 0) + P ( N = 1)0,5 + P ( N = 2)0,5 2 + ... = 0,2 0 −0, 2 0,2 ⋅ 0,5 −0, 2 (0,2 ⋅ 0,5)2 −0, 2 1 = e + e + e + ... e 0, 2⋅0,5 0, 2⋅0,5 = e −0, 2⋅0,5 = e −0,1 1! 2! e 0! 14444444444244444444443 1 Z Panjera: P ( S = 1) = 0,2 ⋅ 0,3e −0,1 0,2 0,2 ⋅ 2 P ( S = 2) = 0,3 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3e −0,1 + 0,1e −0,1 = 0,0218e −0,1 2 2 Zadanie 4 E (max(Y − Z ;0)) = ∫ ∞ y−2 ⋅ 3dy = 1 + y = t = ∫ (1 + y ) 1 1 ODP = E ( N ) E ( Z ) = 0,1 = 18 180 4 2 ∞ 3 (t − 3)3 dt = t 4 ∞ ∫3 3 t 3 − 9 t 4 = 1 18 Zadanie 5 C N (t ) = C K (C M (t ) ) ′ (t ) C N′ (t ) = C K′ (C M (t ) )C M ′ (t )] + C K′ (C M (t ) )C M ′′ (t ) C ′N′ (t ) = C K′′ (C M (t ) )[C M 2 2 var N = C N′′ (0) = var K [E ( M )] + E ( K ) var M = 0,3 ⋅ 0,5 2 + 0,3 ⋅ 0,5 = 0,225 EN = C ′N (0) = EKEM = 0,5 ⋅ 0,3 = 0,15 C S (t ) = C N (CY (t ) ) C S′ (t ) = C N′ (CY (t ) )CY′ (t ) C S′′ (t ) = C N′′ (CY (t ) )[CY′ (t )]2 + C N′ (CY (t ) )CY′′ (t ) ( ) ( var S = C S′′ (0) = var N ( EY ) 2 + EN var Y = 0,225 p12 + 0,15 p 2 − p12 = 0,15 p 2 + 0,5 p12 ) Zadanie 6 ( ) ( ) ( ) ( ) var θˆ3 = z 2 var θˆ1 + (1 − z ) 2 var θˆ2 + 2 z (1 − z ) cov θˆ1 ; θˆ2 = ( = 2 z + 4(1 − z ) + 2 2 z − 2 z b 4 = =1 z min = − 2a 4 2 2 2 ) = 2z 2 − 4z + 4 Zadanie 7 0 x < 0 F1 ( x) = 0,8 + 0,1x x ∈ [0;1) 1 x ≥ 1 0 x < 0 F2 ( x) = 0,7 + 0,1x x ∈ [0;2) 1 x ≥ 2 ∞ P( X 1 + X 2 ≤ w) = ∫ F1 ( w − x)dF2 ( x) = F1 ( w − 0)0,7 + F1 ( w − 2)0,1 + ∫ F1 ( w − x)0,1dx 2 −∞ 0 P( X 1 + X 2 ≤ 2) = 0,7 + 0,8 ⋅ 0,1 + ∫ 0,1 + ∫ [0,8 + 0,1(2 − x)]0,1 = 0,965 1 0 dla w ∈ [0;1) 2 1 0,01w 2 (0,8 + 0,1w)0,7 + ∫ [0,8 + 0,1( w − x)]0,1dx = 0,56 + 0,07 w + 0,08w + 0,01w − = 0 2 = 0,56 + 0,15w + 0,005w 2 w ODP = F () − F (1− ) = 0,965 − 0,56 − 0,15 − 0,005 = 0,25 2 Zadanie 8 ( = (800 ⋅ 2 + 3 ) Π 1 = 900 + 3 900 ⋅ 4 / 900 = 1,2 Π2 Π 1* Π 1* < 1,2 ∧ Π *2 ) 800 ⋅ 8 / 800 = 2,3 < 2,3 min gdy Π *2 i na odwrót ( ) ( ( )) inf (Π ) = (skl.calk − 900 sup (Π ))/ 800 skl.calk = (900 + 800 ⋅ 2 + 3 900 ⋅ 4 + 800 ⋅ 8 ) = 2800 inf (Π ) = (2800 − 800 sup(Π ))/ 900 inf (Π ) = (2800 − 900 sup(Π ))/ 800 inf Π 1* = skl.calk − 800 sup Π *2 / 900 * 2 * 1 * 1 * 2 * 2 * 1 Z tego wynika: Π *2 ∈ (2,15;2,3) Zadanie 9 Bowers: [ ] 1. M L (r ) = M N log M L1 (r ) = ( ) 2 θ 1 + θ − M L1 (r ) 1.= 0 ( ) 1 2r e −1 2r 2 rθ M L1 (r ) = E e rL1 = ∫ e rt 0,5dt = θ 2rθ = = 2 r 2r 1 2r 1+ θ − e − 1 2r + 2rθ − e + 1 1 + 2r (1 + θ ) − e 2r ( ) Zadanie 10 M W (r ) = e cr 6 1 E e rW = e r + e 4 r = e 2 r 7 7 r 4r 2r 6e + e − 7e = 0 e r = x 6x + x 4 − 7 x 2 = 0 ( ) x ( x 3 − 7 x + 6) = 0 x = 0 odpada x 3 − 7 x + 6 = x 3 − x − 6 x + 6 = x( x 2 − 1) − 6( x − 1) = ( x − 1)[x( x + 1) − 6] = 0 x=1 odpada bo r=0 x2 + x − 6 = 0 ∆ = 25 −1− 5 odpada x1 = 2 −1+ 5 x2 = =2 2 er = 2 R = ln 2