Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne
Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym (binarnym) określonym na niepustym zbiorze X nazywamy funkcję f , która każdej parze uporządkowanej (a, b) elementów zbioru X przyporządkowuje
jednoznacznie określony element f (a, b) zbioru X, co możemy zanotować
f : X × X −→ X.
Na wstępie zauważmy, że definicja ta wymaga aby wynik działania na elementach zbioru X należał do
X. Nazywamy to postulatem zamkniętości zbioru względem działania. W tym sensie np. odejmowanie
w zbiorze liczb naturalnych, czy też dzielenie w zbiorze liczb całkowitych nie są działaniami, gdyż
ich wynik może wychodzić odpowiednio poza zbiór N czy Z. Ponadto, zauważmy, że istotnym jest
założenie aby działanie było określone na zbiorze par uporzadkowanych.
Wynik działania f na elementach a, b ∈ X czasami zamiast f (a, b) zapisujemy af b. Naczęściej jednak
działanie binarne w X oznacza się jakimś specjalnym symbolem np.: ◦, ∗, 2, ×, ⊕, ⊗, ⊙, itp. Piszemy
więc a ◦ b lub a2b lub a × b, itp. Używa się również dla oznaczenia działania zwykłych symboli mnożenia lub dodawania: a · b, ab, a + b. Wtedy zwyczajowo będziemy element a · b nazwyać iloczynem, a
element a + b sumą elementów a, b. W tym samym zbiorze X może być określonych kilka działań.
Działaniami są: dodawanie w N, Z, Q, R, C, jak również mnożenie w każym z tych zbiorów. Z kolei odejmowanie jest operacją algebraiczną w Z, Q, R, C. Natomiast dzielenie liczb nie jest operacją
algebraiczną w żadnym z tych zbiorów, jeżeli jednak ze zbiorów Q, R, C usunąć zero, to, w tak skorygowanych zbiorach dzielenie będzie działaniem. W zbiorze wszystkich funkcji rzeczywistych zmiennj
rzeczywistej określonych np. na przedziale [0, 1] dodawanie, odejmowanie i mnożenie funkcji jest działaniem. Tak samo działaniem w zbiorze wszystkich macierzy rzeczywistych ustalonego stopnia n jest
dodawanie, odejmowanie i mnożenie.
Przykład 1. Rozpatrzymy przykład działania w zbiorze skończonym np. w zbiorze X = {0, 1, 2} .
Działanie ⊕ w tym zbiorze określimy w następujący sposób. Każdej parze liczb tego zbioru przyporządkowujemy resztę z dzielenia ich zwykłej sumy przez liczbę 3 (tzw. dodawanie modulo 3).
Mamy wówczas
0 ⊕ 0 = 0, 0 ⊕ 1 = 1 ⊕ 0 = 1, 0 ⊕ 2 = 2 ⊕ 0 = 2,
1 ⊕ 1 = 1, 1 ⊕ 2 = 2 ⊕ 1 = 0, 2 ⊕ 2 = 1.
Działanie to jak zresztą każde działanie w zbiorze skończonym można przedstawić w postaci tzw.
tabliczki działania, zwanej także tabliczką Cayley’a.
0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
1
Definicja 2. Działanie ∗ określone w zbiorze X nazywa się przemiennym (lub komutatywnym), jeśli
dla dowolnych a, b ∈ X mamy
a ∗ b = b ∗ a.
Przykładami działań przemiennych są dodawanie i mnożenie liczb (naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych), dodawanie wielomianów, macierzy, wektorów, mnożenie wielomianów, mnożenie skalarne wektorów. Mnożenie wektorowe wektorów i mnożenie macierzy nie jest
przemienne. Nie jest także przemienne odejmowanie w Z, Q, R, C.
Definicja 3. Działanie ∗ określone w zbiorze X nazywa się łącznym (lub asocjatywnym), jeśli dla
dowolnych a, b, c ∈ X mamy
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) .
Przykładami działań łącznych są dodawanie i mnożenie w zbiorze N, Z, Q, R, C, dodawanie i mnożenie
wielomianów, dodawanie i mnożenie macierzy, dodawanie (lecz nie mnożenie) wektorów. Natomiast
nie jest łączne odejmowanie liczb w zbiorzach Z, Q, R, C.
Definicja 4. Niech ∗ będzie działaniem wewnętrzynym w zbiorze X. Element e ∈ X nazywamy
elementem neutralnym działania ∗, jeżeli dla każdego a ∈ X mamy
e ∗ a = a ∗ e = a.
Twierdzenie 1. W zbiorze z określonym działaniem wewnętrzym istnieje co najwyżej jeden element
neutralny.
Rzeczwiście. Załóżmy niewprost, że działanie ∗ posiada dwa różne elementy neutralne e1 6= e2 . Zatem
z definicji elementu neutralnego wynika, że
e1 = e1 ∗ e2 = e2 ,
co daje sprzeczność z przyjętym założeniem.
Przykładem elementu neutralnego względem operacji dodawania w zbiorach liczbowych jest 0, a elementem neutralnym względem mnożenia w tych zbiorach jest 1.
Definicja 5. Niech ∗ będzie działaniem wewnętrzynym w zbiorze X. Element a−1 ∈ X nazywamy
elementem odwrotnym (symetrycznym, przeciwnym) do elementu a ∈ X, jeżeli
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
Twierdzenie 2. W zbiorze z określonym działaniem wewnętrzym łącznym i elementem neutralnym,
element przeciwny do danego elementu jest wyznaczony jednoznacznie.
Rzeczwiście. Załóżmy niewprost, że działanie ∗ posiada element neutralny e oraz dwa różne elementy
odwrotne a−1
6= a−2
do danego elementu a Zatem z definicji elementu neutralnego i odwrotnego
1
2
wynika, że
−1
−1
−1
−1
−1
−1
a−1
=
a
∗
e
=
a
∗
a
∗
a
=
a
∗
a
∗ a−1
1
1
1
2
1
2 = e ∗ a2 = a2
co daje sprzeczność z przyjetym założeniem.
Definicja 6. Strukturą algebraiczną nazywamy niepusty zbiór wraz z pewnymi działaniami w tym
zbiorze.
Strukturę algebraiczną zapisujemy wymieniając zbiór oraz działania, np. (N, +), (Q, +, ·) . Działań w
strukturze algebraicznej może być skończenie lub nieskończenie wiele.
2
Definicja 7. Niech G będzie niepustym zbiorem z działaniem wewnętrzynym ∗. Parę (G, ∗ ) nazywamy
grupą, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. działanie ∗ jest łączne,
2. istnieje element neutralny działania ∗,
3. dla każdego elementu zbioru G istnieje element do niego odwrotny.
Jeżeli dodatkowo dla każdej pary a, b ∈ G spełniony jest warunek
a ∗ b = b ∗ a,
czyli warunek przemienności działania, to grupę (G, ∗ ) nazywamy grupą przemienną lub abelową.
Nazwa grupa abelowa pochodzi od nazwiska norweskiego matematyka Nielsna Henrika Abela (18021829).
Grupę o skończonej liczbie elementów nazywamy grupą skończoną. Jeżeli G jest grupą skończoną mającą n elementów, to mówimy, że rząd grupy G jest równy n, co zapisujemy |G| = n. Jeżeli grupa jest
nieskończona, to piszemy |G| = ∞.
Wobec poprzednio wykazanych twierdzeń w grupie istnieje jeden element neutralny. Ponadto każdy
element grupy ma jednoznacznie określony element odwrotny do niego.
Jeżeli działanie w grupie ma podobne własności do dodawania liczb, to działanie takie nazywamy
addytywnym i na jego oznaczenie używamy symbolu +. Ponadto element neutralny e działania addytywnego nazywamy zerem i oznaczamy e = 0. Natomiast element przeciwny do elementu a oznaczamy
symbolem −a i piszemy a − b zamiast a + (−b) .
Jeżeli działanie w grupie ma podobne własności do mnożenia liczb, to działanie takie nazywamy
multiplikatywnym i na jego oznaczenie używamy symbolu ·. Ponadto element neutralny e działania
multiplikatywnego nazywamy jednością i oznaczamy e = 1. Natomiast element przeciwny do elementu
a
1
a oznaczamy symbolem i piszemy zamiast a · b−1 .
a
b
Definicja 8. Niech para (G, ∗ ) będzie grupą i niech H będzie jego niepustym podzbiorem G. Parę
(H, ∗ ) nazywamy podgrupą grupy (G, ∗ ), jeżeli (H, ∗ ) jest grupą.
Nietrudno zauważyć, że element neutralny grupy jest jednocześnie elementem neutralnym dowolnej
jej podgrupy. Co z kolei oznacza, że podgrupy grupy nie są rozłączne. Oczywiste jest także że pary
({e} , ∗ ) i (G, ∗ ) są podgrupami grupy (G, ∗ ) . Podgrupę różną od ({e} , ∗ ) i od (G, ∗ ) będziemy
nazywać podgrupą właściwą grupy (G, ∗ ) . Zapis H ¬ G oznaczać będzie, że (H, ∗ ) jest podgrupą
grupy (G, ∗ ) .
Pojęcie podgrupy okazało się bardzo użyteczne np. w teorii automatów.
Przykład 2. (addytwne grupy liczbowe). (Z, + ), (Q, + ), (R, + ), (C, + ) są grupami abelowymi (+
oznacza tutaj zwykłe dodawanie).
Rzeczywiście, dodawanie jest działaniem łącznym i przemiennym, a elementem neutralnym w każdym
z wymienionych zbiorów względem + jest 0. −a jest elementem odwrotnym do a względem dodawania.
Oczywiste są zależności Z ¬ Q ¬ R ¬ C.
Przykład 3. (multiplikatywne grupy liczbowe). (Q \ {0} , · ), (Q+ , · ), (R \ {0} , · ), (R+ , · ), (C \ {0} , · )
są grupami abelowymi (· oznacza tutaj zwykłe mnożenie).
3
Rzeczywiście, mnożenie jest działaniem łącznym i przemiennym. Elementem neutralnym w każdym
1
zbiorze względem · jest liczba 1. jest elementem odwrotnym do a 6= 0 względem mnożenia. Natomiast
a
żaden ze zbiorów Q, R, C z mnożeniem jako działaniem wewnętrzym nie stanowi grupy, gdyż nie istnieje
element odwrotny do 0 względem mnożenia.
Przykład 4. (grupy macierzy). Zbiór nieosobliwych macierzy kwadratowych stopnia n o wyrazach
rzeczywistych będziemy oznaczać symbolem GLn (R). Para (GLn (R), · ) tworzy grupę.
Rzeczywiście, mnożenie macierzy jest działaniem łącznym, a elementem neutralnym tej grupy jest
macierz jednostkowa. Elementem odwrotnym do danej macierzy A jest macierz do niej odwrotna A−1 .
Zamkniętość zbioru GLn (R) względem mnożenia macierzy wynika z twierdzenia Cauchye’go o wyznaczniku iloczynu macierzy.
Zbiór macierzy kwadratowych stopnia n o wyrazach rzeczywistych i wyznaczniku równym 1 oznaczamy symbolem SLn (R). Struktura (SLn (R), ·) tworzy grupę. Grupę tę nazywamy specjalną grupą
liniową. Przede wszystkim zauważmy, że wobec twierdzenia Cauchye’go o wyznaczniku iloczynu macierzy, działanie mnożenia macierzy w takim zbiorze jest działaniem wewnętrznym. Ponadto, co już
zauważono powyżej mnożenie macierzy jest działaniem łącznym. Elementem neutralnym tej grupy
jest macierz jednostkowa. Elementem odwrotnym do danej macierzy A jest macierz do niej odwrotna
A−1 .
Oczywiście grupa (SLn (R), · ) jest podgrupą grupy (GLn (R), · ) .
Przykład 5. (addytywna grupa reszt modulo n). Niech Zn = {0, 1, . . . , n − 1} i niech +n będzie
działniem, które każdej parze liczb zbioru Zn przyporządkowuje resztę z dzielenia ich zwykłej sumy
przez liczbęn (tzw. dodawanie modulo n). Struktura algebraiczna (Zn , +n ) jest grupą abelową zwaną
addytywną grupą reszt modulo n.
Aby uzasadnić prawdziwość tego stwierdzenia przede wszystkim zauważmy, że tak określone działanie
jest działaniem wewnętrzym. Wynika to z faktu, że reszta w dodawaniu +n jest nie większa niż n − 1,
a więc należy do Zn . Pokażemy teraz, że działanie to jest łączne. W tym celu zauważmy, że działanie
dodawania modulo n można zapisać wzorem
a +n b = a + b −
a+b
n, gdzie a, b ∈ Zn .
n
Mamy pokazać, że a +n (b +n c) = (a +n b) +n c. Rzeczywiście, z jednej strony mamy
a +n (b +n c) = a +n
b+c
b+c−
n
n


b+c


a + b + c −
n


b+c
n
n
n−
= a+b+c−


n
n
b+c
b+c
a+b+c
= a+b+c−
−
n−
n
n
n
n
b+c
a+b+c
b+c
= a+b+c−
n−
n−
n
n
n
n
a+b+c
n
= a+b+c−
n
4
Natomiast z drugiej strony
(a +n b) +n c =
a+b−
a+b
n +n c
n


a+b


a + b + c −
n


a+b
n
n
= a+b+c−
n−


n
n
a+b
a+b+c
a+b
−
n−
n
= a+b+c−
n
n
n
a+b
a+b+c
a+b
= a+b+c−
n−
n−
n
n
n
n
a+b+c
= a+b+c−
n,
n
czyli a +n (b +n c) = (a +n b) +n c. Przemienność działania dodawania modulo n jest oczywista. Elementem neutralnym tej grupy względem dodawania modulo n jest 0. Ponadto elementem odwrotnym
do 0 jest 0. Natomiast elementem odwrotnym do k ∈ Zn \ {0} względem +n jest n − k.
Przykład 6. (grupa pierwiastków z jedności). Zbiór Cn = {z ∈ C : z n = 1}, czyli zbiór pierwiastków
n-tego stopnia z 1 jest grupą abelową względem mnożenia liczb zepolonych. Grupę tę nazywa się grupą
zepolonych pierwiastków z jedności stopnia n. Zbiór pierwiastków n-tego stopnia z 1 jest zbiorem nelementowym postaci
Cn = {ε0 , ε1 , . . . , εn−1 } , gdzie εk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
n
n
Aby uzasadnić prawdziwość stwierdzenia, że zbiór ten jest grupą abelową względem mnożenia na
wstępie należy pokazać, że działanie to jest działaniem wewnętrzym. Należy więc uzasadnić, że εk · εl ,
gdzie 0 ¬ k, l ¬ n − 1 jest pierwiastkiem n-tego stopnia z 1. Rzeczywiście, mamy
(εk · εl )n = (εk )n · (εl )n = 1 · 1 = 1,
co oznacza, że εk ·εl jest pierwiastkiem n-tego stopnia z 1. Z kolei łączność i przemienność tego działania
jest oczywista, bo są to liczby zespolone. Elementem neutralnym (jednością grupy) jest pierwiastek
ε0 = cos 0 + i sin 0 = 1. Elementem odwrotnym do ε0 jest ε0 . Elementem odwrotnym do εk , gdzie
1 ¬ k ¬ n − 1 jest εn−k . Wynika, to prostej do sprawdzenia równości
εk · εn−k = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
n
n
· cos
2(n − k)π
2(n − k)π
+ i sin
n
n
= cos
2nπ
2nπ
+ i sin
= 1.
n
n
Przykład 7. (grupa kwaternionów). Niech I, E, J, K oznaczają macierze kwadratowe stopnia drugiego określone wzorami
I=
"
1 0
0 1
#
, E=
"
i 0
0 −i
#
, J=
"
0 1
−1 0
#
, K=
"
0 i
i 0
#
.
Zbiór Q8 = {I, −I, E, −E, J, −J, K, −K} z działaniem mnożenia macierzy stanowi grupę. Grupę
tę nazywamy grupą kwaternionów.
Aby wykazać, że Q8 z mnożeniem jest grupą, przede wszystkim zauważmy, że tabliczka Cayley’a ma
5
postać
·
I
−I
E
−E
J
−J
K
−K
I
I
−I
E
−E
J
−J
K
−K
−I
−I
I
−E
E
−J
J
−K
K
E
E
−E
−I
I
−K
K
J
−J
−E
−E
E
I
−I
K
−K
−J
J
J
J
−J
K
−K
−I
I
−E
E
−J
−J
J
−K
K
I
−I
E
−E
K
K
−K
−J
J
E
−E
−I
I
−K
−K
K
J
−J
−E
E
I
−I
co oznacza, że Q8 jest zamknięta ze względu na mnożenie. Łączność mnożenia macierzy jest oczywista.
Elementem neutralnym względem mnożenia jest macierz jednostkowa I. Elementem odwrotnym do
macierzy I, −I jest ta sama macierz. Elementem odwrotnym do macierzy A ∈ {E, −E, J, −J, K, −K}
jest −A ∈ {E, −E, J, −J, K, −K} .
Kwaterniony są m.in. używane w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.
Definicja 9. Niech P będzie niepustym zbiorem z działaniami wewnętrzynymi ⊕, ⊗. Trójkę (P, ⊕, ⊙)
nazywamy pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. para (P, ⊕ ) jest grupą abelową,
2. działanie ⊙ jest łączne,
3. działanie ⊙ jest rozdzielne względem ⊕, tj.
a ⊙ (b ⊕ c) = (a ⊙ b) ⊕ (a ⊙ c) ,
(b ⊕ c) ⊙ a = (b ⊙ a) ⊕ (c ⊙ a) .
Działania ⊕ i ⊙ nazywamy odpowiednio dodawaniem i mnożeniem w pierścienia. Przy czym, jeżeli nie
prowadzi to do nieporozumień, to będziemy pisali + w miejsce ⊕ oraz · w miejsce ⊙. Ponadto, jeżeli
(P, + , · ) jest pierścieniem, to grupę (P, +) nazywamy grupą addytywną. Element neutralny tej grupy
nazwyamy zerem pierścienia i zwyczajowo oznaczamy przez 0P lub krótko 0. Element odwrotny do
a względem działania + nazywamy przeciwnym do a i oznaczamy przez −a. Zamiast pisać a + (−b)
będziemy pisali a − b. Iloczyn a · b zapisujemy zwykle krótko ab.
Pierścień, w którym działanie ⊙ jest przemienne nazywamy pierścieniem przemiennym. Pierścień,
w którym istnieje element neutralny względem ⊙ nazywamy pierścieniem z jednością i element ten
oznaczamy 1P lub poprostu 1.
Przykład 8. Zbiory liczbowe Z, Q, R ze zwykłymi działaniami dodawaniem i mnożeniem są pierścieniami przemiennymi z jedynką. Zbiór liczb naturalnych z takimi działaniami nie tworzy pierścienia.
Przykład 9. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną większą od 1. Niech nZ oznacza zbiór liczb
podzielnych przez n, tj.
nZ = {nk : k ∈ Z}
Zbiór ten ze zwykłymi działaniami dodawaniem i mnożeniem jest pierścieniem przemiennym bez jedności.
Przykład 10. Niech Zn = {0, 1, . . . , n − 1}. Przypomnijmy, że symbolem +n oznaczyliśmy działnie,
które każdej parze liczb zbioru Zn przyporządkowuje resztęz dzielenia ich zwykłej sumy przez liczbęn
(tzw. dodawanie modulo n), a symbolem ·n działnie, które każdej parze liczb zbioru Zn przyporządkowuje resztęz dzielenia ich zwykłego iloczynu przez liczbęn (tzw. mnożenie modulo n). Struktura
algebraiczna (Zn , +n , ·n ) jest prierścieniem przemiennym z jednością. Dla n = 1 jednością jest liczba
0, natomiast dla n > 1 liczba 1. Pierścień (Zn , +n , ·n ) nazywa się pierścieniem reszt modulo n.
6
Przykład 11. Zbiór GLn (R) macierzy kwadratowych stopnia n o wyrazach rzeczywistych z działaniami dodawania i mnożenia macierzy stanowi pierścień z jednością. Jednością w tym pierścienu jest
macierz jednostkowa. Przy czym pierścień ten nie jest przemienny dla macierzy stopnia n ­ 2.
Dotychczasowe pojęcie wielomianu jednej zmiennej jest nam znane z kursu analizy matematycznej. Przypomnijmy, że przez wielomian jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych rozumiemy
funkcjęf : R −→ R określoną wzorem
f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn ,
gdzie a0 , a1 , . . . , an ∈ R oraz n ∈ N. W algebrze wygodniejsze jest zdefiniowanie wielomianu jako
pewnego nieskończonego ciągu liczbowego.
Niech (P, ⊕ , ⊙ ) będzie pierścieniem przemiennym. Wielomianem jednej zmiennej nad pierścieniem
P nazywamy dowolny ciąg nieskończony f =< a0 , a1 , a2 , . . . > elementów pierścienia P , w którym co
najwyżej skończona ilość wyrazów jest różna od 0P .
Wyrazy ciągu f =< a0 , a1 , a2 , · · · > nazywamy współczynnikami wielomianu f. Przy czy zachowujemy tu terminologię związaną dotychczas z definicją wielomianu. Mianowicie wyraz a0 nazywamy
wyrazem wolnym wielomianu f . Wielomian, którego wszystkie współczynniki są równe 0P nazwyamy
wielomianem zerowym. Jeżeli P jest pierścieniem z jednością, w którym 0P 6= 1P , to wielomian postaci < 1P , 0, 0, . . . > nazywamy wielomianem jednostkowym. Jeżeli natomiast f =< a0 , a1 , a2 , . . . >
jest wielomianem niezerowym oraz an 6= 0P i ak = 0P dla wszystkich k > n, to liczbę n nazywamy
stopniem wielomianu f , a wielomian f wielomianem stopnia n. Inaczej mówiąc stopień wielomianu,
to ostatni różny od zera jego współczynnik. Niech f =< a0 , a1 , . . . >, g =< b0 , b1 , . . . > . Piszemy
f = g wtedy i tylko wtedy ai = bi dla i = 0, 1, . . . . Zbiór wszystkich wielominów jednej zmiennej nad
pierścieniem P oznaczamy przez P[x].
W P[x] definiujemy działanie dodawania wielominaów
f + g =< a0 ⊕ b0 , a1 ⊕ b1 , . . . >
oraz ich mnożenie
f · g =< c0 , c1 , . . . >, gdzie ck = (a0 ⊙ bk ) ⊕ (a1 ⊙ bk−1 ) ⊕ . . . ⊕ (ak ⊙ b0 ) dla k ∈ N.
Bezpośrednio z definicji łatwo sprawdzić, że (P[x], + , · ) jest pierścieniem przemiennym, którego zerem
jest wielomian zerowy. Własności działań w (P[x], + , · ) wynikają z odpowiednich własności działań
w (P, ⊕ , ⊙ ) . Nietrudno również sprawdzić, że jeżeli (P, ⊕ , ⊙ ) jest pierścieniem przemiennym z
jednością, to również (P[x], + , · ) jest pierścieniem przemiennym z jednością.
Przykład 12. Rozpatrzmy zbiór wielomianów zbudowanych na pierścieniu (Z6 , +6 , ·6 ), czyli pierścień wielomianów (Z6 [x], + , · ) . Wtedy suma i iloczyn wielomianów f =< 2, 3, 2, 0, . . . >, g =<
1, 5, 2, 4, 1, 0, . . . > z pierścienia (Z6 , + , · ) są równe
f + g =< 3, 2, 4, 4, 1, 0, . . . >,
f · g =< 2, 1, 3, 0, 0, 5, 2, 0, . . . > .
Definicja 10. Niech C będzie niepustym zbiorem z działaniami wewnętrzynymi ⊕, ⊙ Trójkę (C, ⊕ , ⊙ )
nazywamy ciałem, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. (C, ⊕ ) jest grupą abelową,
2. (C \ {0} , ⊙ ) jest grupą (0 element neutralny ⊕),
3. działanie ⊙ jest rozdzielne względem ⊕.
Jeżeli dodatkowo działanie ⊙ jest przemienne, to ciało takie nazywamy ciałem przemiennym.
7
Inaczej mówiąc ciało jest pierścieniem, w którym:
1. istnieje element neutralny działania ⊙
2. dla każdego elementu zbioru C \ {0} istnieje do niego element odwrotny względem działania ⊙.
Bezpośrednio z definicji wynika, że elementy neutralne względem działań ⊕ i ⊙ są w ciele różne.
Przykład 13. Zbiory liczbowe Q, R ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia są ciałami.
Natomiast zbiór liczb całkowitych z tymi samymi działaniami nie jest już ciałem.
Przykład 14. Pierścienie (Z2 , +2 , ·2 ), (Z3 , +3 , ·3 ) są przykładami ciał, co łatwo sprawdzić. Natomiast ciałem nie jest pierścień (Z4 , +4 , ·4 ), co wynika z faktu, że struktura (Z4 \ {0} , ·4 ) nie jest
grupą, gdyż 2 ·4 2 = 0 ∈
/ Z4 \ {0} . Można jednak pokazać, że jeżeli n jest liczbą pierwszą, to struktura
algebraiczna (Zn , +n , ·n ) jest ciałem.
Przykład 15. Niech C = {0, 1, a, b}. Działania ⊕, ⊙ zdefinujemy przy pomocy tabliczek Cayley’a:
⊕
0
1
a
b
0
0
1
a
b
1
1
0
b
a
a
a
b
0
1
b
b
a
1
0
⊙
0
1
a
b
0
0
0
0
0
1
0
1
a
b
a
0
a
b
1
b
0
b
1
a
Bezpośrednio z definicji można sprawdzić, że struktura algebraiczna (C, ⊕, ⊙) jest ciałem.
Rozważmy równanie x2 + 1 = 0. Oczywiście równanie to nie ma rozwiązań w ciele liczb rzeczywistych. Zatem nasuwa się naturalne pytanie. Czy można rozszerzyć zbiór liczb rzeczywistych tak, aby
otrzymać nowe ciało, w którym to równanie ma rozwiązanie? Przy czym nowa struktura algebraiczna
powinna zawierać ciało liczb rzeczywistych oraz działania w niej zdefiniowane powinny redukować się
do zwykłych działań dodawania i mnożenia przy ograniczeniu do zbioru R.
Oznaczmy przez i jedno z rozwiązań równania x2 + 1 = 0. Oczywiście i ∈
/ R oraz i2 = −1. Oznaczmy
teraz przez C zbiór elementów postaci a + ib, gdzie a, b ∈ R. Zatem
n
o
C = a + ib : a, b ∈ R ∧ i2 = −1 .
Zbiór C będziemy nazywać zbiorem liczb zespolonych. Przy czym będziemy pisali a + ib = c + id wtedy
i tylko wtedy, gdy a = c i b = d. Liczby postaci a + 0i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Mamy
zatem R ⊂ C.
W zbiorze C wprowadzamy dwa działania wewnętrze. Dodawanie + oraz mnożenie ·. Działania te
definiujemy wzorami
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
(a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(ac + bd).
Łatwo zauważyć, że elementem neutralnym względem + jest 0 + i0, a względem mnożenia 1 + i0.
Elementem odwrotnym
dodawania
jest −a − ib. Z kolei elementem odwrotnym do
do a +ib wzgledem
2
2
2
2
a + ib 6= 0 + i0 jest a/ a + b + ib/ a + b . Ponadto, bezpośrednim rachunkiem, łatwo sprawdzić,
że tak zdefiniowane działania są działaniami wewnętrznymi, przemiennymi, łącznymi oraz mnożenie
jest rozdzielne względem dodawania. Struktura algebraiczna (C, +, ·) jest zatem ciałem. Przy czym
jest to najmniejsze ciało (w sensie inkluzji) zawierające ciało liczb rzeczywistych (R, +, ·) oraz liczbę
urojoną i2 = 1. Inaczej mówiąc najmniejsze ciało, w którym równanie x2 + 1 = 0. ma rozwiązanie.
8