Igor Skórzybót – O geometriach nieeuklidesowych

Niech nie wchodzi tu żaden geometryczny ignorant...
O geometriach nieeuklidesowych.
Kształt, pochodzenie, przyszłość Wszechświata - zagadnienia te interesowały ludzi od
najwcześniejszych czasów. Pierwsze teorie mające wyjaśniać funkcjonowanie kosmosu (gr.
kosmo - porządek, Wszechświat) zostały stworzone przez filozofów starożytnych Indii
i Grecji. Teoria świata, kosmologia religijna, obok antropologii religijnej (i teologii w religiach
teistycznych) była podstawą wszelkich wierzeń tworzonych przez pierwsze społeczeństwa,
składową doktryn religijnych. Kosmologia do czasów nowożytnych zajmowała się
powstaniem świata, jego rozwojem, końcem i celem istnienia.
Zawsze geometria
Obecnie możemy poznać pochodzenie, historię, przyszłość i kształt Wszechświat przy
pomocy nowoczesnej metody naukowej. Cel istnienia to domena metafizyków, jako iż od
czasów Galileusza fizyka jest nauką empiryczną, co odrzuca wcześniej obowiązującą (od
czasów Arystotelesa) metodę zwaną teleologią, szukającą w procesach fizycznych telos celu, a nie wyłącznie je opisującą.
Wszystko jednak sprowadza się do tego samego źródła, pochodzącego ze starożytnej Grecji.
Jest to oczywiście geometria, z aksjomatami stworzonymi przez Euklidesa. Nie powinno to
nikogo dziwić, aksjomaty i twierdzenia ze względu na swój analityczny charakter wydają się
prawdziwe, ponadczasowe. Wielu naukowców zajmujących się naukami empirycznymi, jak
fizyka czy biologia zostało zainspirowanych ideą wywodzenia wszystkiego z wcześniej
zaobserwowanych niezmiennych pewników, jak dzieje się to w matematyce. "Ten pogląd
zainspirował
Platona[1]
i Kanta,
i większość
średniowiecznych
filozofów... Osiemnastowieczna teoria praw naturalnych jest szukaniem aksjomatów
Euklidesa w polityce. Forma Principiów Newtona (...) jest w całości zdominowana przez
Euklidesa. Teologia, w swojej dokładnej scholastycznej formie, bierze swój styl z tego samego
źródła." pisał Bertrand Russell w "Historii filozofii zachodu".
Dziś, mimo całkowitej odmienności stosowanej metody naukowej od tej używanej przez
starogreckich filozofów, kosmologowie w swojej pracy wciąż muszą korzystać z pracy
Euklidesa i to nie tylko w podstawowych obliczeniach. Rozwiązania Friedmana równań
Einsteina stosowanie w standardowych modelach kosmologicznych FLRW (najlepiej
opisujących historię Wszechświata) w dużym uproszczeniu opisują związek między gęstością
materii Wszechświata a jego krzywizną, czyli liczbą bezpośrednio związaną z euklidesowymi
(a być może z pokrewnymi nieeuklidesowymi) aksjomatami.
1 Tensorowe równanie pola Einsteina
Ojciec wszelkich nauk?
Mimo olbrzymiego wpływu Euklidesa (ok. 325 - 265 p.n.e.) na późniejszą naukę, bardzo mało
wiemy o samym uczonym. Prawdopodobnie, jak większość uczonych swoich czasów zdobył
wykształcenie w wspomnianej wcześniej Akademii Platońskiej[2], po czym zaproszony przez
Ptolemeusza I wykładał w Aleksandrii. Tam stworzył m.in. dzieło "Elementy" (po grecku
"Stoicheia geometria"), pierwsze aksjomatyczne ujęcie geometrii, używane jako podstawowy
podręcznik do XIX wieku, jedno z najbardziej popularnych dzieł pisanych wszechczasów,
ilością tłumaczeń ustępujące jedynie Biblii. Ten trzynastotomowy wykład dotyczy głównie
geometrii, płaskiej i przestrzennej, lecz księgi siódma, ósma i dziewiąta opisują teorię liczb,
praktykowaną wcześniej przez pitagorejczyków, lecz w przeciwieństwie do ich dzieł,
w sposób czysto naukowy, bez śladu mistycyzmu.
Nie wiadomo, czy Euklides sam dokonał znaczących odkryć w dziedzinie matematyki.
Prawdopodobnie jego praca była "jedynie" spisaniem całej matematycznej wiedzy jego
przodków, lecz sama idea nauki dedukcyjnej, wywodzącej wszystkie twierdzenia
z jednoznacznie określonych aksjomatów, prawd niezmiennych na drodze czysto logicznej,
jaką upowszechniły "Elementy" była, jak wspomniano wyżej, inspirująca dla większości
naukowców kolejnych wieków.
Różne rodzaje prawdy
Cztery podstawowe aksjomaty geometrii euklidesowej (wymienione w Księdze
I "Elementów) są niezmiennie prawdziwe: Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą). Dla danego odcinka
można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym
jego długości. Wszystkie kąty proste są przystające.
Jednak jedną kwestię można określić jako "błąd" Euklidesa Piąty "aksjomat", zwany również
"postulatem" nie był całkowicie oczywisty. Mówił, iż "dwie proste, które przecinają trzecią
w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów
prostych, przetną się z tej właśnie strony." Innymi słowy, że dwie proste równoległe nigdy się
nie przetną. Sam Grek, jak również jego następcy aż do czasów nowożytnych próbowali
wywieść jego prawdziwość na podstawie pozostałych czterech. Długo się to jednak nie
udawało. Dopiero G.G. Saccheri w 1733 roku w dziele o nieprzystającym do treści tytule
"Euklides ze wszystkiej skazy oczyszczony", którego celem było udowodnienie piątego
postulatu poprzez sprowadzenie do niedorzeczności, mimo heroicznej pracy i dowiedzeniu
wielu pomniejszych twierdzeń, nie znalazł żadnej sprzeczności. Po upływie kilkudziesięciu lat
jego prace zostały podjęte przez wielu matematyków, którzy odkryli i zaksjomatyzowali
geometrie nieeuklidesowe. Długość niniejszej pracy pozwala jedynie na wymienienie nazwisk
takich jak Beltrami, Łobaczewski, Bolyai, Gauss i zachęcenie do poznania fascynującej historii
ich odkryć,
Geometrię absolutną, opartą jedynie na czterech aksjomatach Euklidesa można podzielić
na trzy geometrie, w zależności od parametru zwanego krzywizną[3]. Jeśli krzywizna jest
zerowa, spełniony jest również piąty postulat, geometrię taką (znaną z życia codziennego)
zwiemy euklidesową.
Jeśli krzywizna jest dodatnia to mamy do czynienia z geometrią sferyczną lub eliptyczną.
Piąty postulat został tu zastąpiony aksjomatem "przez punkt nieleżący na danej prostej nie
przechodzi żadna prosta rozłączna z daną". Mamy więc do czynienia z powierzchnią kuli,
liniami prostymi są jej okręgi wielkie, da się skonstruować figurę zwaną "dwukątem" złożoną
jedynie z dwóch boków i dwóch kątów, a trójkąt ma więcej niż 180°. Twierdzenie Pitagorasa
nie jest spełnione, a pokrewne brzmi: .
Warto zauważyć, że żeglarze wcześniej używali twierdzeń geometrii sferycznej podczas
podróży morskich, badana była nawet wcześniej niż geometria płaska, mimo tego nikt przez
przeszło dwadzieścia stuleci nie zauważył, iż jest sprzeczna z "piątym postulatem". Jakże
przepotężnie Euklides zawładnął wyobraźnią ludzi!
Jeśli krzywizna jest ujemna to jest to tzw. geometria hiperboliczna, w którym piąty postulat
brzmi "Przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne
proste nie mające wspólnych punktów z tą prostą." Płaszczyzna hiperboliczna wygląda jak
powierzchnia siodła, a Klein i Poincare odkryli (wynaleźli?) modele, które przedstawiają ją na
płaszczyźnie euklidesowej. W niej twierdzenie Pitagorasa jest zastąpione następującym: , co
za tym idzie trójkąt ma mniej niż 180 stopni, nie w każdym trójkącie wysokości przecinają się
w jednym punkcie, zachodzi także kilka innych ciekawych własności.
Jaką krzywiznę ma Wszechświat?
Tego na razie nie wiemy. Ale dlaczego jest to takie ważne? Wróćmy do Równania Einsteina.
A konkretnie do jego rozwiązań, modelów FLRW. Czemu jest to tak fundamentalna kwestia.
Ewolucja czasowa Wszechświata wynikająca z przeprowadzonej przez Friedmana analizy
równania Einsteina zależy od jego krzywizny. Wszechświat rozpoczyna się od osobliwości
(Wielkiego Wybuchu), gdzie krzywizna czasoprzestrzeni jest nieskończona, a później
następuje jego rozszerzanie się, jednak ostateczne zachowanie zależy od parametru "K".
Kosmologie FLRW są doskonałym przybliżeniem naszego (obserwowanego) Wszechświata,
jako iż są jednorodne i izotropowe (jednorodność jest oczywista, a dane z COBE, WMAP,
BOOMERanG potwierdzają także izotropowość Wszechświata).
Jeśli "K>0", po upływie pewnego czasu nastąpi odwrócenie ekspansji, a kosmos skurczy się
do osobliwości końcowej, tzw. "Big Crunch" (tłumaczonej jako "Wielki Kres", "Wielka Zapaść"
lub "Wielki Kolaps"), która w modelach FLRW jest po prostu odwróceniem czasowym
Wielkiego Wybuchu (problemem tutaj jest jednak druga zasada termodynamiki - Wielki
Wybuch jest stanem o niezwykle niskiej entropii, Wielki Kres wręcz przeciwnie). Jako, iż
Równanie Einsteina opisuje związek między krzywizną a gęstością Wszechświata, ta ostatnia
jest wówczas większa od wielkości granicznej, która powoduje zatrzymanie się ekspansji.
Jeśli krzywizna jest zerowa, kolaps nigdy nie nastąpi, aczkolwiek ekspansja w końcu
zahamuje. Hipoteza brzmiąca "geometria Wszechświata jest euklidesowa" jest nie do
udowodnienia, bowiem zawsze możemy powiedzieć, iż "nie mamy dobrej linijki", czyli że nie
dysponujemy odpowiednimi narzędziami pomiarowymi do dokładnego zbadania krzywizny
Wszechświata.
Jeżeli natomiast "K<0" ekspansja osiąga stałe tempo i nigdy nie zmaleje. W końcu następuje
stan "kosmicznej zupy", wszelkie obiekty zostaną rozerwane, nawet cząstki elementarne.
We Wszechświecie pozostaną wkrótce jedynie pary cząstek wirtualnych. Co dalej? Istnieją
różne teorie, np. CCC (conformal cyclic cosmology) autorstwa Rogera Penrose'a mówi,
że nastąpi wówczas nowy Wielki Wybuch i kolejny "eon" istnienia. Podobnie mówi np. teoria
d-bran, zupełnie różna od CCC w swoich założeniach. Wciąż czekamy na tzw. "Teorię
Wszystkiego".
Jeśli jednak (co wskazują obserwacje) istnieje dodatnia, dość duża "stała kosmologiczna"
(wyraz w równaniu Einsteina, nazwana później przez niego "swoim największym błędem"),
wykresy rozmiaru przestrzeni od czasu dla dowolnego "K" są bardzo podobne.
Na razie nie wiemy, jaka jest krzywizna Wszechświata. Wielu naukowców (zgadzających się
z teorią inflacyjną) sądzi, iż jest ona zerowa. Inni, jak np. Vahe Gurzadyan i Roger Penrose
(który sam w trakcie wykładu w Centrum Nauki "Kopernik" stwierdził, iż jego teorie nie są "w
głównym nurcie" kosmologii") mówi, iż jest ona ujemna. Danych obserwacyjnych jest dużo,
czekają na analizę i chętnych oraz zdolnych teoretyków.
Podsumowanie
Poznanie krzywizny Wszechświata przybliża nas do poznania ostatecznych odpowiedzi. Nie
mówi nam jaki jest kształt Kosmosu (Szczególna Teoria Względności mówi jedynie, że nie
może on mieć granic), ani tym bardziej, jaki jest jego cel. Te ostatnie pytanie przez
neopozytywistów, do których zalicza się autor niniejszej pracy, zostałoby jednak zaliczone do
zbioru pytań pozbawionych sensu w związku z niemożnością udzielenia nań odpowiedzi
weryfikowalnej lub falsyfikowalnej. Zatem, mimo upływu lat i używania nowoczesnej metody
naukowej, odpowiedź na nurtujące ludzkość od wieków pytania wciąż zależy głównie od
geometrii. A, w tej, jak miał powiedzieć Euklides, "nie ma drogi specjalnie dla królów".
IGOR SKÓRZYBÓT
(http://zielonewiadomosci.pl/autor/skorzybot-igor/
http://stalowaszarancza.blogspot.com)
[1] Jak głosi tradycja słowna, na bramie Akademii Platońskiej można było przeczytać "Niech
nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geometrii". Platon twierdził, iż człowiek wykształcony
powinien zapoznać się z matematyką (miało to trwać dziesięć lat), aby móc zastosować ją
później w życiu społecznym i politycznym.
[2] Świadczy o tym między całkowite pominięcie związanych z praktyką zagadnień w jego
pismach. Anegdota mówi, iż jeden z uczniów Euklidesa zapytał swojego mistrza, co daje
nauka matematyki, na co ten nakazał swojemu słudze "Daj mu obola, ponieważ musi on
mieć zysk z wszystkiego, czego uczy się".
[3] Krzywizna - miara stopnia odchylenia danej figury geometrycznej od wzorca (w tym
wypadku płaszczyzny).