Dwa układy odniesienia będące w ruchu. Wszystkie wielkości

Dwa układy odniesienia będące w ruchu.
Wszystkie wielkości kinematyczne charakteryzujące ruch ciała zależą od wyboru układu odniesienia,
w którym opisujemy ruch ciała. Na rysunku %i 1 zaprezentowano:
Układ współrzędnych obserwatora 1 — U o początku w punkcie O i osiach x, y, z.
Układ współrzędnych obserwatora 2 — U' o początku w punkcie O' i osiach x', y', z'.
Wektor opisuje położenie punktu O' w układzie U, zaś kąty jakie tworzą osie układu U — x, y, z z
osiami x', y', z', nazwiemy odpowiednio , , . Układ U' może poruszać się względem układu U,
wtedy oczywiście , , , zmieniają się w czasie. Jeśli U' porusza się względem U ruchem
postępowym (bez obrotów), zmianie ulega tylko wektor . Jeśli układ U' obraca się, ale jego
początek w punkcie O' pozostaje w spoczynku względem układu U, wtedy zmianie w czasie ulegają
kąty , , . Dowolny ruch układu U' względem U jest złożeniem obydwu wymienionych ruchów, czyli
postępowego i obrotowego.
Zachodzi następujące twierdzenie:
Na to, aby obserwatorzy w dwóch różnych układach odniesienia przypisywali ruchowi tego samego
ciała w każdej chwili czasu identyczne wektory przyspieszenia, potrzeba i wystarcza, aby układy te
poruszały się względem siebie ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym.
Możemy podzielić układy odniesienia na rozłączne klasy układów. W jednej klasie znajdują się te
wszystkie układy odniesienia, w których obserwatorzy przypisują temu samemu poruszającemu się
ciału jednakowe przyspieszenia. Są to więc układy odniesienia, które poruszają się względem siebie
ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym. Układy należące do tej klasy nazywamy układami
dynamicznie równoważnymi.
Niech układ U' porusza się względem U ruchem postępowym. Opis ruchu punktu P w układzie U
można dokonać w następujący sposób:
gdzie:
— prędkość punktu P w układzie U,
— prędkość punktu P w układzie U',
— wektor prędkości punktu O' w układzie U, czyli prędkość ruchu postępowego
układu U' względem układu U.
— przyspieszenie punktu P w układzie U,
— przyspieszenie punktu P w układzie U',
— przyspieszenie ruchu postępowego układu U' względem U.
Jeśli
to ruch układu U względem układu U' jest ruchem jednostajnym prostoliniowym i wtedy:
Jeśli osie układów U i U' są równoległe, to:
Zadanie 1.
Ilustracja do zadania 1.
Człowiek porusza się na drezynie za stała prędkością
. Chce przerzucić piłkę przez
obręcz umocowaną do pręta przy torach i będącą
powyżej wysokości jego reki, w taki
sposób, aby piłka poruszała się z prędkością poziomą w momencie przechodzenia przez obręcz.
Rzuca piłkę z prędkością
w stosunku do własnego układu odniesienia.
a.
b.
c.
d.
e.
Jaka powinna być składowa pionowa prędkości początkowej piłki?
Po jakim czasie piłka przejdzie przez obręcz?
W jakiej odległości od obręczy liczonej poziomo, człowiek musi wykonać rzut?
Jaki jest kierunek prędkości początkowej piłki w układzie odniesienia człowieka?
Jaki jest kierunek prędkości początkowej piłki w układzie obserwatora stojącego przy torach?
Zadanie 2.
Ilustracja do zadania 2.
Koło wagonu kolejowego toczy się bez poślizgu po prostej szynie tak, że prędkość jego środka
względem spoczywającego obserwatora (układ U) wynosi
. Oblicz prędkości chwilowe
punktów A, B, C i D w układzie U i w układzie U’ o środku w środku koła. Wyznacz równanie ruchu,
toru.