Kombinatoryka i prawdopodobienstwo

Kombinatoryka i prawdopodobienstwo
Zadanie 1.
Ile można utworzyć liczb naturalnych czterocyfrowych, w których nie wystąpi cyfra 0?
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie n2 − n3 = 0.
Zadanie 3.
W klasie liczącej 23 uczniów, w której jest 10 dziewcząt, a reszta to chłopcy, należy wybrać pięcioosobową
delegację, w skład której wejdą 2 dziewczynki i 3 chłopców. Na ile sposobów można wybrać tę delegację?
Zadanie 4.
Ile liczb naturalnych, o różnych cyfrach, większych od 2000 można utworzyć z cyfr: 1, 2, 3 i 4?
Zadanie 5.
W turnieju tenisowym, w którym każdy tenisista gra z każdym, rozegrano 66 spotkań. Ilu zawodników
brało udział w turnieju?
Zadanie 6.
Spośród osób, które zadzwoniły do audiotele, komputer wylosował 100 telewidzów, wśród których można
rozlosować 3 nagrody, z których pierwsza to samochód, druga – telewizor, trzecia – video. Na ile sposobów
można rozlosować te nagrody dla 100 wylosowanych telewidzów?
Zadanie 7.
Wybieramy 13 kart z talii 52 kart w ten sposób, by w pewnym kolorze mieć 4 karty, a w pozostałych
trzech kolorach po 3 karty. Na ile sposobów można to zrobić?
Zadanie 8.
Ile istnieje permutacji liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, w których liczby 5 i 6 są sąsiadujące ze sobą w kolejności
wzrastania?
Zadanie 9.
W grupie 30 uczniów: 20 lubi matematykę, 15 – geografię, 10 – historię, 12 – matematykę i geografię,
6 – matematykę i historię, 3 – geografię i historię, 2 – wszystkie trzy wymienione przedmioty. Ilu uczniów
z tej grupy nie lubi żadnego przedmiotu?
Zadanie 10.
Rozwiąż równanie n2 − n4 = 0.
Zadanie 11.
Ile można utworzyć liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których nie wystąpią cyfry 0 i 1?
Zadanie 12.
W klasie liczącej 30 uczniów, w której jest 10 chłopców, należy wybrać siedmioosobową delegację, w skład
której wejdą 4 dziewczynki i 3 chłopców. Na ile sposobów można wybrać tę delegację?
Zadanie 13.
Ile jest liczb naturalnych, o różnych cyfrach, większych od 30000 utworzonych z cyfr: 1, 2, 3, 4 i 5?
Zadanie 14.
W turnieju szachowym, w którym każdy szachista gra z każdym, rozegrano 190 spotkań. Ilu zawodników
brało udział w turnieju?
Zadanie 15.
Na ile sposobów można umieścić 10 ponumerowanych piłeczek w trzech pudełkach?
Zadanie 16.
20 abiturientów zdaje egzamin dojrzałości z matematyki. Żaden ze zdających nie otrzymał oceny niedostatecznej. Na ile sposobów zdający mogą mieć wystawione oceny, jeżeli obowiązuje następująca skala
ocen: niedostateczny, dopuszczający, dostateczny, dobry, bardzo dobry?
Zadanie 17.
Dane są zbiory A = {a, b}, B = {x, y, z}. Ile różnych wyrazów dwuliterowych można otrzymać, wybierając najpierw jedną literę ze zbioru A, a następnie jedną z B? Wypisz wszystkie możliwe wyrazy.
Zadanie 18.
Ile płaszczyzn wyznacza 5 punktów, z których żadne cztery nie należą do jednej płaszczyzny?
Zadanie 19.
W pudełku znajduje się 15, w tym 3 przepalone. Nie oglądając ich, losujemy bez zwracania 5 żarówek.
Ile istnieje sposobów wylosowania samych dobrych żarówek?
Zadanie 20.
Ile różnych, mających sens lub nie, wyrazów można otrzymać z wyrazu „Missisipi”, przy założeniu,
że wykorzystamy wszystkie litery występujące w tym wyrazie?
Zadanie 21.
Zdarzenia A, B ⊂ Ω; P (A ∩ B) = 53 ; P (B 0 ) = 14 ; P (A) = 21 . Oblicz prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
A i B.
Zadanie 22.
Zdarzenia A, B, C ⊂ Ω są niezależne o prawdopodobieństwach P (A) = 0,4, P (B) = 0,6, P (C) = 0,8.
Ile wynosi prawdopodobieństwo, że zajdzie tylko zdarzenie B spośród zdarzeń A, B i C?
Zadanie 23.
Strzelcy oddają po jednym strzale do tarczy. Strzelec I trafia do tarczy z prawdopodobieństwem 0,7;
strzelec II z prawdopodobieństwem 0,6; strzelec III z prawdopodobieństwem 0,5. Oblicz prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie trafiona co najmniej raz.
Zadanie 24.
W urnie jest 5 kul białych i 4 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego,
że kule są tego samego koloru.
Zadanie 25.
Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy podzbiór dwuelementowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma
liczb będących elementami wylosowanego podzbioru jest liczbą nieparzystą.
Zadanie 26.
Zawodnik gra w szachy z komputerem. Prawdopodobieństwo wygrania jednej partii przez zawodnika
wynosi 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania przez zawodnika 5 partii z 8?
Zadanie 27.
Z urny zawierającej 4 kule białe i 3 czerwone losujemy 6 razy po 2 kule, przy czym, po każdym losowaniu, wylosowaną parę wrzucamy z powrotem do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo czterokrotnego
wylosowania par kul różnokolorowych?
Zadanie 28.
Oblicz P (B) jeżeli zdarzenia A, B ⊂ Ω i P (A) =
1
3
i P (A ∩ B) = 41 .
Zadanie 29.
Rzucamy 2 razy symetryczną kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w drugim rzucie
wypadła piątka, jeśli wiadomo, że suma oczek w obu rzutach była równa 6?
Zadanie 30.
Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania w sumie co najmniej
5 oczek?
Zadanie 31.
Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne, gdy A – otrzymamy
figurę, B – otrzymamy pika.
Zadanie 32.
Strzelec A trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0,8, strzelec B z prawdopodobieństwem 0,7. Wybieramy losowo jednego strzelca, który strzela do celu. Oblicz prawdopodobieństwo,
że cel zostanie trafiony.
Zadanie 33.
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym są cztery kule białe i trzy czarne, w drugim trzy białe i pięć
czarnych. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Jeżeli otrzymamy jedno oczko, to losujemy dwie kule z pierwszego pojemnika, w przeciwnym przypadku losujemy dwie kule zdrugiego pojemnika. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania kul różnych kolorów.
Zadanie 34.
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, . . . , 10} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej
przez trzy, jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę parzystą.
Zadanie 35.
Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dwóch szóstek,
jeżeli wiadomo, że w pierwszym rzucie otrzymano szóstkę.