xvv = v

WPPT; kier. IB, lista zad. nr 12 pt. (z karty przedmiotu): Analizowanie i rozwiazywanie wybranych zadań/problemów
stosując pierwszą i drugą zasadę termodynamiki. W szczególności wyznaczanie: a) wartości ciepła wymienionego przez układ
termodynamiczny (gaz idealny (GI)) z otoczeniem, b) pracy wykonanej przez GI, c) zmian energii wewnętrznej i entropii GI podczas
kwazistatycznych przemian (izochoryczna, izobaryczna, izotermiczna, adiabatyczna), d) współczynników sprawności maszyn
cieplnych pracujących w cyklu prostym i odwrotnym, e) ciepła transportowanego w procesie przewodnictwa cieplnego. Lista ma na
celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej, nabycie umiejętności rozwiązywania prostych zadań dotyczących
zasad termodynamiki i podstaw termodynamiki statystycznej.
89. A) Współczynnik sprawności pewnej maszyny cieplnej stanowi 60% współczynnika sprawności maszyny idealnej pracującej
według cyklu Carnota. Temperatura źródeł i chłodnic tych maszyn są jednakowe. Dochodząca do maszyny para ma temperaturę
200 oC a temperatura skraplacza maszyny jest równa 60 oC . Moc maszyny wynosi 314 kW. Ile węgla potrzebuje maszyna w
ciągu 1 godziny pracy? Ciepło spalania węgla wynosi 3,14 =107 J kg. B) Idealna maszyna cieplna pracuje według cyklu
Carnota. Przy tym 80% ciepła, otrzymanego od źródła, jest przekazywana chłodnicy, temperatura której jest równa 0 oC . Wyznaczyć temperaturę źródła i współczynnik sprawności maszyny.
90. Poprawny wzór określający bezwzględną wartość entropii n moli gazu doskonałego o temperaturze T zajmującego objętość
V zadaje wzór
, ,
=
ln +
ln
+
, gdzie
– ciepło molowe przy stałej objętości, a S0 – stała wartość entropii
3
w temperaturze zera bezwzględnego. A) W naczyniu o objętości 4 dm znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak
zmieni się entropia tego gazu, gdy naczynie to podzielimy na dwie równe co do objętości części? B) Naczynie
o objętości 4 dm3 podzielona przegrodą na dwie równe co do objętości części. W jednej z nich znajdują się 2 mole
a w drugiej 3 mole tlenu; temperatury gazów są takie same. Jak zmieni się entropia układu, gdy przegroda zostanie
usunięta? Ws-ka: Patrz notatki do wykładów.
91. A) Oszacuj jaka część Π cząsteczek tlenu w temperaturze T = 300K ma prędkości zawarte w przedziale
(199÷201) m/s. W obliczeniach posłużyć się przybliżonym wzorem Π = 4⁄√ ∙ ∙ exp − dz, gdzie z =
(199+201)/(2vp), dz = (201 – 199)/vp, vp = 2k BT m0 = 2RT ( N Am0 ) = 2RT µ – prędkość najbardziej prawdopo-
dobna. B) Niechaj x = v vp ; korzystając z wartości całki podanych w tabeli obok wyznacz, jaka część wszystkich cząsteczek
jednego mola gazu idealnego znajdującego się w zbiorniku ma
prędkości z przedziału od vp do 2 vp ? Ile cząsteczek tego gazu
ma prędkości z przedziału od vp do 2 vp ?
92. Rozważmy zbiornik o objętości V, w którym znajduje się N = 100
cząsteczek gazu idealnego. Tabela obok reprezentuje, w pierwszych dwóch kolumnach, liczby cząsteczek odpowiednio w lewej
połowie NL oraz w prawej połowie NP zbiornika. Para liczb
(NL; NP) określa dany makrostan rozpatrywanego układu, np.
makrostan (60;40) oznacza, że w lewej połowie objętości
znajduje się 60 a w prawej 40 cząsteczek tego gazu. Trzecia
kolumna podaje liczby W mikrostanów realizujących dany
makrostan określony parą liczb (NL; NP), przy czym
W=
N!
, gdzie NL! oznacza funkcję silni. Ostatnia,
NL ! NP !
czwarta kolumna, zawiera wartości prawdopodobieństw
realizacji makrostanu, które zostało wyznaczone ze wzoru
p( N L ; N P ) =
W
1
N!
= N⋅
. Uwaga: Standardowy
N
2
2 NL !NP !
W tej kolumnie należy wpisać
wartości entropii
kieszonkowy kalkulator zawodzi, gdy chcemy policzyć
Boltzmanna
157
wartość 100! = 9,33⋅10 i otrzymujemy zazwyczaj komunikat
OVERFLOW lub Math ERROR. Dla bardzo dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy posługiwać się przybliżeniem Stirlinga
ln N ! ≈ N (ln N ) − N . Uzasadnij stwierdzenia: a) całkowita liczba mikrostanów wynosi 2N; Ws-ka: wyobraź sobie, że dodajesz
rozróżnialne cząstki do zbiornika, jedną możesz rozmieścić na 2 sposoby (21, tj. albo w lewej albo w prawej), dodając jednocześnie
2 możesz rozmieścić je na 4 sposoby (22; przedstaw na rysunku te sposoby rozkładu) itd; b) liczba mikrostanów o zadanych liczbach
NL i NP jest równa W = N ! ( N L ! N P !) . W termodynamice statystycznej nadaje się entropii interpretację mikroskopową za pomocą
1
definicji entropii Boltzmanna
S = k B ln W , gdzie k B = R N A , przy czym W nazywa się często prawdopodobieństwem
termodynamicznym lub parametrem nieuporządkowania. W rozpatrywanym tutaj zagadnieniu S = k B ln ( N ! ( N L ! N P !) ) .
Samodzielnie uzupełnij dane w tabeli obliczając wartości S ( N L ; N P ) = k B ln W ( N L ; N P )  , wyniki zamieścić należy w portfolio.
Wyznacz zmianę entropii ∆S w następujących przypadkach: c) układ przechodzi od początkowego makrostanu (60;40) do
końcowego (50;50); d) układ przechodzi od początkowego makrostanu (50;50) do końcowego (0;100).
93. Energia mechaniczna cząsteczki gazu o masie m wchodzącego w skład powietrza na powierzchni Ziemi wynosi
!"#$%. = −G
()*
+*
+
(, -
= −./
0
+
(, -
, gdzie RZ – promień Ziemi. Uzasadnij ten wzór. Wyznacz temperaturę po-
wietrza, przy której cząsteczkowy wodór, azot, tlen mogą uciec z pola grawitacyjnego Ziemi. Ws-ka: Przyjąć za v2 prędkość średnią kwadratową. Jakie konsekwencje mają otrzymane wyniki dla składu atmosfery ziemskiej. Czy z upływem
wieków skład atmosfer ziemskiej będzie zmieniał się? Jeśli tak, to w jaki sposób?
94. Silnik Stirlinga jest nieco podobny do silnika Otto (benzynowego) chociaż kompresja i
rozprężanie zachodzi izotermicznie a nie adiabatycznie. Jest to silnik zewnętrznego
spalania, ponieważ w jego wnętrzu nie zachodzi spalanie się mieszanki paliwowej. Do
działania silnika wystarcza różnica stworzenie różnicy temperatur między substancją
roboczą i otoczeniem. Może to być wywołane przez światło słoneczne, wody geotermalne,
różnica temperatur między wodą mórz/oceanów, ogrzewanie silnika płomieniem ze
źródła. Ciepło jest pobierane z zewnątrz ze spalanego poza silnikiem paliwa. Dlatego jest
to bardzo cichy silnik, w porównaniu z silnikiem Otto ponieważ nie jest spalana
mieszanka wybuchowa. Jednak nie znalazł na razie powszechnego zastosowania w samochodach ze względu na
rozmiary, masę i mniejszą sprawność niż silnik Otto i Diesla. Zamknięty cykl składa się z 4 przemian: a→b – przemiana
izotermiczna w temperaturze T1, której stopień kompresji wynosi r; b→c – przemiana izochoryczna, w której
temperatura rośnie do T2; c→d – przemiana izotermiczna w temperaturze T2; d→a – przemiana izochoryczna, która
obniża temperaturę do T1. Załóżmy, że n moli gazu idealnego o danej wartości ciepła molowego CV jest ośrodkiem
roboczym. Wyznacz ∆Q, ∆W, ∆U dla wszystkich przemian odwracalnego cyklu zamkniętego. Pokaz, że teoretyczna
sprawność silnika Sterlinga jest równa η = 1 − 2 ⁄ . Ws-ki: Uzasadnij, że: a) ciepła pobrane przez gaz idealny w przemianach izochorycznych w sumie są równe zeru; b) całkowita praca wykonana przez gaz w przemianach
izotermicznych wynosi 34$5ł789:;5 = R
− 2 ln = ; c) ciepło jest dostarczane układowi tylko w przemianie c→d
w ilości Δ@ = R ln = . Silnik ma szanse być współcześnie zastosowany w samochodach, pojazdach kosmicznych i
łodziach podwodnych!
95. Jak energia wewnętrzna i molowe ciepła CV dowolnego gazu idealnego zależą od stopni swobody jego cząsteczek.
Należy rozważyć wszystkie stopnie swobody związane z ruchem postępowym, obrotowym i drgającym.
W. Salejda
Wrocław, 13 stycznia 2016
Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania
1. Poprawny wzór określający bezwzględną wartość entropii n moli gazu doskonałego o temperaturze T zajmującego objętość V
zadaje wzór
, ,
=
ln +
ln
+
, gdzie
– ciepło molowe przy stałej objętości, a S0 – stała wartość entropii w
3
temperaturze zera bezwzględnego. A) W naczyniu o objętości 4 dm znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak
zmieni się entropia tego gazu, gdy naczynie to podzielimy na dwie równe co do objętości części, a jak gdy zostanie
podzielone na dwie części o objętościach 1 dm3 i 3 dm3? B) W naczyniu o objętości 4 dm3 podzielonego przegrodą na
dwie równe co do objętości części znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak zmieni się entropia tego gazu,
gdy zostanie usunięta przegroda? C) Naczynie o objętości 4 dm3 podzielona przegrodą na dwie równe co do objętości
części. W jednej z nich znajdują się 2 mole a w drugiej 3 mole tlenu; temperatury gazów są takie same. Jak zmieni się
entropia układu, gdy przegroda zostanie usunięta? Ws-ka: Patrz notatki do wykładów.
2. Tlen, który w temperaturze 40oC pod ciśnieniem 1,01⋅105 Pa zajmuje objętość 1000 cm3, rozpręża się do 1500 cm3,
czemu towarzyszy wzrost ciśnienia do wartości 1,06⋅105 Pa. Wyznacz: a) liczby moli i cząsteczek gazowego tlenu, b)
temperaturę końcową tlenu.
2
3. Zbiornik A z rys. poniżej wypełnia gaz idealny pod znanym ciśnieniem pA i o znanej temperaturze TA i nieznanej
objętości V. Zbiornik ten jest połączony cienką rurką cienką rurką z zaworem ze
zbiornikiem B o objętości 3V, który wypełnia ten sam gaz doskonały pod
ciśnieniem pB = pA/3 i o temperaturze TB = 1,5ˑTA. W pewnej chwili otworzono
zawór, co spowodowało wyrównanie się ciśnień w obu zbiornikach, w których gaz
jest utrzymywany w temperaturach początkowych. Wyznacz ciśnienie w
połączonych zbiornikach. Ws-ka: Uzasadnij, że warunek zadania można zapisać w
postaci Aˑ C = C − D R C , Aˑ E = E + D R E , gdzie założono, że D jest
liczba moli gazu, które ubyły ze zbiornika A; D może mieć wartość dodatnią lub ujemną.
4. W zbiorniku znajduje się jeden mol gazu idealnego o temperaturze 20oC pod ciśnieniem 105 Pa. Podaj wzór
określający liczbę cząsteczek (ale nie obliczaj) tego gazu, których wartości prędkości są większe od prędkości dźwięku
w tym gazie.
5. Ciepło właściwe gazu argonu 0,075 cal/(gˑK). Wyznacz masę molową argonu oraz masę jednego atomu tego gazu.
6. Wykres obok reprezentuje hipotetyczny rozkład prędkości cząsteczek gazu w
zbiorniku zawierającym danych N cząsteczek gazu, przy czym prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczek o prędkości większej od danej v0 wynosi zero, tj.
P(v > 2v0) = 0. Jak parametr a zależy od v0? Ile cząsteczek ma prędkości z
przedziału <1,5v0; 2v0 >? Wyznacz prędkość średnią cząsteczek oraz prędkość
średnią kwadratową. Ws-ka: F
,I
G H dH = 1, zauważ, że wartość tej całki jest równa powierzchni pod wykresem P(v);
potrzebne całki znajdź samodzielnie w tabeli wzorów matematycznych.
7. W zbiorniku znajduje się 10 moli tlenu o temperaturze 300 K. Jaka liczba cząsteczek tlenu o masie molowej
µ = 0,032 kg/mol ma prędkości w przedziale od 599 m/s do 601 m/s? Uzasadnij, że szukany ułamek należy wyznaczyć
3/2
2
ze wzoru 4π  µ  ⋅ v 2 ⋅ 10 ⋅ N A ⋅ exp  − µ v  ∆v , gdzie ∆v = 2 m/s. Odp. ≈1,58⋅1022.
 2π RT 
 2RT 
8. Rysunek obok reprezentuje rozkład prędkości cząsteczek hipotetycznego gazu, przy
czym P ( v ) = α ⋅ v 2 dla v ≤ v0 i P ( v ) = 0 dla v > v0. Wyznacz: a) α ; b) wartość prędkości
średniej, c) prędkość średnią kwadratową.
9. Gęstość pewnego gazu o temperaturze 273 K pod ciśnieniem 103 Pa wynosi 1,24ˑ10-5 g/cm3. Wyznacz prędkość
średnią kwadratową cząsteczek oraz masę jednej cząstki tego gazu. Ile wynosi średnia energia kinetyczna ruchu
postępowego cząsteczek tego gazu?
10. A) Pokaż, że podczas adiabatycznego rozprężania gazu idealnego jego temperatura maleje. B) Gaz idealny o
wykładniku adiabaty 1,4 pod ciśnieniem początkowym p0 = 1,2ˑ 105 Pa o temperaturze T0 = 310 K zajmował objętość V0
= 0,76 dm3. Następnie gaz ten adiabatycznie rozprężono do objętości V1 = 4,3 dm3 . B1) Oblicz temperaturę końcową T1
gazu. B2) Pokaż, że praca tego gazu podczas opisanego rozprężania adiabatycznego wyraża się wzorem nˑCV(T0 – T1),
gdzie = A /R , CV = 5R/2.
11. Tabela określa liczbę cząsteczek gazu o podanych prędkościach. Oblicz prędkość: a) średnią cząsteczek, b) średnią
kwadratową cząsteczek. Pokaż, że obie prędkości średnie cząsteczek gazu będą sobie równe, pod warunkiem, że
wszystkie wartości prędkości są takie same.
Liczba
3
5
9
6
2
cząsteczek
Prędkości [m/s]
100
200
400
500
800
12. Cztery mole tlenu, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym i drgającym ogrzano o 40 K pod stałym
ciśnieniem. Ile ciepła dostarczono do gazu? O ile wzrosła energia wewnętrzna gazu? Jaką pracę wykonał gaz? O ile
wzrosła energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek tego gazu idealnego?
13. Jeden mol gazu idealnego poddano cyklicznej przemianie pokazanej na rys. obok. Przemiana
2 → 3 jest adiabatyczna; T1 = 300 K, p1 = 105 Pa, T2 = 600 K, T3 = 455K, R = 8,3 J/(molˑK).
Oblicz ciepło, pracę oraz zmianę energii wewnętrznej dla każdej z tych przemian osobno oraz
dla całego cyklu zamkniętego.
3
14. Dwa mole gazu idealnego podlega odwracalnej przemianie przedstawionej na wykresie
obok. A) Ile energii w postaci ciepła pobrał gaz? B) Ile wyniosła zmiana energii
wewnętrznej gazu? C) Jaka pracę wykonał gaz podczas tej przemiany? Stan początkowy ma
parametry (T0 = 400 K; S0 = 5 J/K), (Tk = 200 K; Sk = 20 J/K), Ws-ka: ∆Q = TˑdS i porównaj
to ze sposobem obliczania pracy ∆W = pˑdV.
15. Oblicz ilość ciepła dostarczonego próbce gazu idealnego, jeżeli jego entropia w wyniku
odwracalnego rozprężania izotermicznego w temperaturze 140oC wzrosła o 50 J/K.
16. Dwuatomowy gaz doskonały, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie
wykonują drgań, poddano procesowi cyklicznemu z rysunku obok. Przyjmując za dane p1, V1 i T1
oraz R oblicz: A) p3, V3 i T3 ; B) pracę W, Q, ∆U, ∆S w przeliczeniu na mol gazu we wszystkich 3
przemianach cyklu; C) Ile wynosi sprawność takiej maszyny cieplnej?
17. Załóżmy, że jeden mol jednocząsteczkowego gazu przeprowadzono od stanu początkowego
(p1,V1) do stanu końcowego (2p1,2V1) poddając go dwóm różnym przemianom: (I) gaz
izotermicznie rozpręża się do objętości 2V1 a następnie jest izochorycznie sprężane do 2p1. (II)
Gaz jest izotermicznie sprężany aż jego ciśnienie wzrośnie dwukrotnie po czym jest izochorycznie rozprężany do
objętości 2V1. A) Przedstaw każdą z przemian w zmiennych p-V. B) Dla przemian (I) i (II) wyznacz Q/(p1ˑV1) dla
każdego z etapów przemian. C) Pracę wykonaną W/(p1ˑV1) dla każdego z etapów przemian. D) Ile wynosi dla (I) i (II)
przemian ∆U/(p1ˑV1) a ile ∆S?
18. Cykl odwrotny Carnota reprezentują poniższe diagramy w zmiennych p-V (3→2→1→4→3) i T-S
(C→D→A→B→C na środkowym diagramie; 3→4→1→2→3 na prawym). W tym odwracalnym cyklu zamkniętym
(cykl przebiega odwrotnie do ruchu wskazówek zegara), gaz idealny pobiera ciepło w ilości ∆Q3→2 = QL od układu
o niższej temperaturze TL (chłodnicy) i przekazuje ciepło w ilości ∆Q1→4 = QH, układowi o wyższej temperaturze
(grzejnicy) kosztem wykonania pracy ∆W. Sprawność tego cyklu definiuje współczynnik wydajności K =
∆M
.
NO
Korzy-
stając z odwracalności cyklu, I zasady termodynamiki i zmiany entropii ( ∆U3→2→1→4→3 = 0 i ∆S3→2→1→4→3 = 0), pokaż,
że wydajność tego cyklu wynosi K =
∆M
NO
=
PQ RPO
PO
. Ws-ki: Uzasadnij, że: a) całkowita ilość ciepła wymieniona w jed-
nym cyklu z otoczeniem ∆Q = QL – QH; b) praca wykonana przez gaz na rzecz otoczenia ∆W = – ∆Q; c) spełniona jest
równość
NO
PO
N
− P Q = 0.
Q
19. Pokaż, że sprawność cyklu Carnota wynosi η = ( TH − TL ) TH = ( ε − 1) ε , gdzie ε jest współczynnikiem wydajności
cyklu odwrotnego.
20. Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego został poddany przemianie cyklicznej
przedstawionej na rys, obok w zmiennych p-V. Przyjmijmy, że p = 2p0, V = 2V0, gdzie p0
= 105 Pa, V0 = 0,0225 m3.. Oblicz: a) Pracę wykonaną podczas cyklu; b) ciepło
dostarczone w procesie a →b→c, c) sprawność cyklu; d) ile wynosiłaby sprawność
silnika Carnota pracującego pomiędzy najwyższą i najniższą temperaturą tego cyklu?
21. Masa m wodoru rozszerza się izobarycznie, dwukrotnie powiększając objętość.
Znaleźć zmianę entropii w tym procesie. Dane są: masa cząsteczkowa wodoru µ i ciepło
właściwe przy stałym ciśnieniu cp.
22. Cztery mole gazu doskonałego poddano izotermicznemu przy T = 400K odwracalnemu rozprężaniu od V1 do V2 =
2V1. Obliczyć pracę wykonaną przez gaz oraz zmianę entropii gazu.
4
23. W dwóch naczyniach o pojemnościach V1 i V2 znajdują się masy m1 i m2 gazów o masach cząsteczkowych odpo-
wiednio µ1 i µ2. Obliczyć ciśnienie mieszaniny gazów powstałej po połączeniu tych naczyń przewodem o pomijalnej
objętości oraz zmianę entropii w tym procesie. Temperatura mieszających się gazów jest stała i wynosi T.
24. Dwa podukłady o temperaturach początkowych T1 i T2 > T1 oraz pojemnościach cieplnych odpowiednio C1 i C2
zetknięto ze sobą, pozwalając na wyrównanie się temperatur. Znaleźć zmianę entropii układu w całym procesie.
25. Znaleźć zmianę entropii przy zamianie masy m lodu o temperaturze T1 w parę o temperaturze T2. Dane są ciepła
właściwe lodu, wody, pary wodnej oraz ciepła topnienia lodu i parowania wody.
26. Pierwszy stopień dwustopniowego silnika Carnota pobiera z grzejnika o temperaturze T1 energię w postaci ciepła
Q1, wykonuje pracę W1 i oddaje do chłodnicy o temperaturze T2 energię w postaci ciepła Q2. Drugi stopień pobiera
energię Q2, wykonuje pracę W2 i oddaje do chłodnicy o jeszcze niższej temperaturze T3 energię Q3. Udowodnij, że
sprawność dwustopniowego silnika Carnota jest równa (T1 − T3)/T1.
27. Jeden mol gazu doskonałego o nieznanej liczbie stopni swobody oraz ciepłach molowych użyto jako substancji
roboczej w silniku wysokoprężnym (silnik Diesla) pracującym według
następującego cyklu zamkniętego pokazanego na diagramie obok w
zmiennych p-V: (1) (1 → 2) zapłon od (p1,V1) do (p2 = p1,V2 = 2V1); (2)
(2→3) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p2,V2) do (p3 = p1/32,V3 =
16V1); (3) (3 → 4) od (p3,V3) do (p4 = p3,V4 = 8V1); (4) suw (4 → 1) bez
wymiany ciepła z otoczeniem od (p4,V4) do (p1,V1). Wyznacz wykładnik
adiabaty oraz liczbę stopni swobody tego gazu. Obliczyć: a) Temperatury na
początku i końcu każdej z przemian; b) Sprawność silnika. Ws-ki: Ciepło jest wymieniane z otoczeniem tylko w
przemianach izobarycznych; temperatury w punktach 1, 2, 3 i 4 wykresu należy wyznaczyć z równania stanu gazu
doskonałego.
28. Jeden zamknięty cykl silnika benzynowego składa się z 4 następujących przemian; patrz diagram obok w zmiennych
p-V: (1) (1 → 2) zapłon od (p1,V1) do (p2 = 3p1,V1); (2) (2 → 3) suw bez wymiany ciepła
z otoczeniem od (p2,V1) do (p3,V3); (3) (3 → 4) ssanie od (p3,V3) do (p4,4V1); (4) (4 → 1)
suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p4,4V1) do (p1,V1). Traktując mieszaninę
benzyna-powietrze jako gaz idealny o znanym wykładniku adiabaty γ obliczyć: a)
Ciśnienie i temperaturę na początku i końcu przemian; b) sprawność silnika. Ws-ki:
Pokaż najpierw, że równanie adiabaty w zmiennych V-T ma postać ∙ TR2 ; następnie
wykorzystując równania adiabat i izobar pokaż, że ∆Q1→2 = 2CV ⋅T1 i ∆Q3→4 = –
∆Q1→2/(4)γ-1.
29. a) Chłodziarka Carnota wymaga 300 J pracy, aby pobrać 800 J ciepła z komory chłodzenia. Ile wynosi jej
współczynnik sprawność? Ile ciepła jest odprowadzane na zewnątrz przez chłodziarkę? b) Klimatyzator pobiera energię
cieplna z pokoju o temperaturze tZ = 21oC i odprowadza ją do otoczenia o temperaturze t0G = 32oC. Ile wynosi jej
współczynnik wydajności? Ile dżuli energii pobranej z pokoju przypada na jeden dżul energii elektrycznej dostarczonej
klimatyzatorowi? Ile wyniesie wydajność chłodziarki, jeśli temperatura otoczenia wzrośnie do 3t0G, a potem do 10t0G?
30. Dwa pręty, z miedzi i z aluminium, o przewodnościach cieplnych odpowiednio 394 i 218W/(mK), długości 50 cm
każdy i promieniu 1 cm są połączone szeregowo. Ich powierzchnie boczne są izolowane cieplnie. Wolny koniec pręta
miedzianego znajduje się w temperaturze 80◦C, a aluminiowego – w temperaturze 10◦C. (a) Jaka jest temperatura na
złączu? (b) Jaka jest szybkość przepływu ciepła przez pręty?
31. Oblicz strumień ciepła uciekającego z organizmu narciarza przez jego ubranie, jeżeli przyjmie się następujące dane:
pole powierzchni ciała 1,8m2, grubość ubrania 1 cm, temperatura skory 33◦C, temperatura powietrza 1◦C i przewodność
cieplna właściwa ubrania 0,04W/(mK). Jak zmieniłby się ten wynik, jeżeli w wyniku upadku kombinezon narciarza
nasiąkłby wodą, której przewodność cieplna właściwa wynosi 0,6W/(mK)?
◦
32. Kulę o promieniu 0,5m, temperaturze 27 C i zdolności emisyjnej 0,85 umieszczono w otoczeniu o temperaturze
77◦C. Z jaką szybkością kula: (a) emituje; (b) pochłania promieniowanie cieplne? (c) Jaka jest wypadkowa szybkość
wymiany energii przez kulę?
33. Uzasadnij, że ciśnienie p(h) w gazie o stałej temperaturze T poddanym działaniu
pola grawitacyjnego Ziemi na wysokości h ma wartość p(h) = p0⋅exp[−µgh/(RT)] =
p0⋅exp[−m0gh/(kT)], gdzie p0 – ciśnienie na poziomie morza, µ – masa molowa, m0 –
masa jednej cząstki gazu doskonałego. Twoim zadaniem jest wykonanie kalibracji
5
pokojowych barometrów, które umieszczone są w miastach znajdujących się na różnych wysokościach h nad poziomem
morza (nazwy miasta/miejsc oraz wartości średnich wysokości nad poziomem morza (n.p.m.) zestawiono w tabeli).
Widoczny na fotografii obok fragment barometru jest wykalibrowany w pewnym mieście na ciśnienie unormowane
74,5 cm Hg, na co wskazuje ustawienie miedzianej wskazówki tego barometru. Wzór
p ( h ) = p0 ⋅ exp  − µ gh / ( RT ) 
określa unormowane ciśnienie atmosferyczne panujące na wysokości h nad poziomem morza; µ – masa molowa
powietrza, p0 = 760 mm Hg (1013,25 hPa) – ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza. Przyjmując, że dla powietrza
µ = 29 g/mol, a jego temperatura T = 300 K jest stała, uzupełnij poniższą tabelę (wyniki kalibracji podaj z dokładnością
do 1 mm Hg).
Miasto
Wysokość h
n.p.m. [m]
Wrocław
108
Świdnica
250
Wałbrzych
475
Karpacz
700
Ciśnienie
unormowane [mmHg]
Wskaż źródła możliwych niedokładności obliczonych i zamieszczonych w tabeli wartości unormowanych ciśnień.
34. Samolot leci na wysokości 8,3 km. W kabinie pasażerów utrzymywane jest ciśnienie odpowiadające ciśnieniu
powietrza na wysokości 2,7 km. Oszacować: a) stosunek gęstości powietrza w kabinie, gdzie temperatura wynosi
+20◦C, do gęstości powietrza otoczenia o temperaturze −20◦C; b) różnicę ciśnień między wnętrzem i otoczeniem. Masa
molowa powietrza 29 g/mol.
TR2
35. Pokaż, że równanie przemiany adiabatycznej w zmiennych T-V ma postać
= U VW2 i T A2RT = U VW w
zmiennych p-T.
36. (”Odmrażanie stopni swobody”). a) Obliczyć energię ruchu cieplnego oraz molową pojemność cieplną CV gazu
idealnego o temperaturze T oraz i stopniach swobody korzystając z zasady ekwipartycji energii cieplnej. b) Przy
dostatecznie wysokich temperaturach cząsteczka gazu dwuatomowego wykonuje w przestrzeni obroty (sztywna
dwuatomowa molekuła wiruje w przestrzeni) o średniej energii kBT. Ile wynosi w tych warunkach pojemność molowa
C(1)V ? (Gaz cząsteczek H2 w przedziale temperatur od 350K do około 800K ma CV = C(1)V.). c) Przy jeszcze wyższych
temperaturach wzbudzane są wibracyjne stopnie swobody cząstki dwuatomowej (atomy wykonują ruch drgający wzdłuż
linii łączącej je), przy czym średnia energia takiego ruchu wynosi kT. Obliczyć pojemność C(2)V przy bardzo wysokich
temperaturach. (Gaz cząsteczek H2 o temperaturze powyżej 5000K wykazuje CV = C(2)V.)
37. Prędkość najbardziej prawdopodobna vp odpowiada wartości maksymalnej funkcji rozkładu Maxwella X) H =
YU VW ∙ H exp −. H ⁄ 2[E
. Pokaż, że: a) H\ =
]^ P
,tj.
(I
v p = 2kBT m0 ; b) jeśli przyjąć nową zmienną x =
v
,
vp
to X) H = YU VW ∙ H exp −. H ⁄ 2[E dH = 4⁄√ ∙ _ ∙ exp −_ d_.
38. A) Stacja meteorologiczna jest umieszczona na wysokości 3250m. Oszacować ciśnienie powietrza na tej wysokości.
Przyjąć: temperaturę powietrza 5◦C, masę molową powietrza 29 g/mol, ciśnienie na poziomie morza p0 = 1000 hPa. B)
Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza stanowi 75% ciśnienia na poziomie morza? Masa molowa powietrza 29 g/mol.
C) Załóżmy, że atmosfera Ziemi jest złożona tylko z atomów: azotu, lub tlenu albo wodoru. Oszacować ciśnienie takiej
atmosfery na wysokości 1 km. Przyjąć: temperaturę atmosfery 5◦C, ciśnienie na poziomie morza p0 = 1000 hPa.
3
39. Ile waży 1m powietrza: A) na powierzchni Ziemi; B) na wysokości 4 km nad powierzchnią? Przyjąć temperaturę
◦
powietrza za 0 C. Ciśnienie na poziomie morza p0 = 1000 hPa.
40. Diagramy obok przedstawiają cykl zamknięty silnika
spalinowego (cykl Otta): 1→2 suw adiabatycznego zasysania
mieszanki paliwowej; 2→3 – zapłon mieszanki paliwowej w przemianie izochorycznej; 3→4 – adiabatyczny suw pracy (rozprężanie);
4→1 – przemiana izochoryczna usuwania spalin do otoczenia. Pokaż,
2
że sprawność takiego cyklu wynosi 1 − abc , gdzie = = c jest
`
-
współczynnikiem sprężania w przemianie 1→2. Ws-ka: Patrz
https://www.fizyka.umk.pl/~andywojt/wyklady/termo/TD%20wyklad%2012.ppt
6
41. Diagramy
obok
reprezentują
cykl
zamknięty pracy modelu silnika Diesla. Przemiana adiabatyczna 1→2 (a→b) to sprężanie
powietrza (bez paliwa); w punkcie 2 (b)
następuje wtrysk paliwa pod wysokim
ciśnieniem i zapłon mieszaniny bez iskry;
generacja i transfer ciepła do sprężonego
powietrza przybliżamy przemianą izobaryczną
2→3 (b→c); suw pracy 3→4 (c→d) modelujemy przemianą adiabatyczną; po otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych suwach
gorące powietrze i produkty spalania są zastępowane w przemianie izochorycznej 4→1 (d→a) przez świeże powietrze. Załóżmy, ze
substancją roboczą jest gaz idealny o znanych ciepłach molowych. Pokaż, że współczynnik sprawności tego cyklu można wyrazić
za pomocą temperatur Ta, Tb, Tc, Td oraz wykładnik adiabaty γ i wynosi on
związki dla przemian adiabatycznych
η = 1−
1 Td − Ta
. Następnie wykorzystując
γ Tc − Tb
TaVaγ −1 = TbVbγ −1 i TcVcγ −1 = TdVdγ −1 oraz równość Va = Vb, pokaż, że
γ −1
  V γ −1
 Vb  
c
 Tc   − Tb   
  Vd 
 Va  
η = 1− 
.
γ (Tc − Tb )
42. Diagramy poniżej prezentują cykl zamknięty pracy modelu silnika Diesla. Przemiana adiabatyczna 1→2 (a→b)
to sprężanie powietrza (bez paliwa); w
punkcie 2 (b) następuje wtrysk paliwa pod
wysokim ciśnieniem i zapłon mieszaniny bez
iskry; generacja i transfer ciepła do
sprężonego powietrza przybliżamy przemianą
izobaryczną 2→3 (b→c); suw pracy 3→4
(c→d) modelujemy przemianą adiabatyczną;
po otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych
suwach gorące powietrze i produkty spalania
są zastępowane w przemianie izochorycznej 4→1 (d→a) przez świeże powietrze. Załóżmy, ze substancją roboczą
jest
gaz
idealny
o
znanych
ciepłach
molowych.
Pokaż,
że
współczynnik
sprawności
γ
 T1   T4 T1 − 1 
 1   α −1 
⋅
=
1
−
⋅

,
 

 γ −1 
 r   γ ⋅ (α − 1) 
 γ T2   T3 T2 − 1 
η = 1− 
gdzie
r=V1/V2
i
P
d = Pe = e.
-
-
Ws-ka:
Patrz
https://www.fizyka.umk.pl/~andywojt/wyklady/termo/TD%20wyklad%2012.ppt
43. Rysunki
obok przedstawiają zamknięty cykl
Braytona pracy silników turbin gazowych stosowanych w generatorach prądu elektrycznego, w samolotach i rakietach. Na odcinku 1→2 (A→B)
powietrze o ciśnieniu atmosferycznym pmin= p1,
temperaturze T1 jest poddawane adiabatycznemu
sprężaniu, co podnosi jego ciśnienie do pmax= p2 i
temperaturę do T2, ponieważ nad powietrzem jest
wykonywana praca. Następnie gorące powietrze trafia do komory spalania (combustion chamber), gdzie jest
mieszane z paliwem i mieszanka ulega wybuchowemu spalaniu 2→3 (B→C), co podnosi temperaturę
mieszaniny do T3 pod stałym ciśnieniem pmax= p2. Mieszanina gazowa wykonuje etap pracy (napędza turbinę)
3→4 (C→D), rozprężając się adiabatycznie do ciśnienia atmosferycznego pmin= p1 = p4, osiągając
temperaturę T4. Ostatni etap cyklu 4→1 (D→A), polega na izobarycznym ochłodzeniu spalin do temperatury
T1 i usunięciu ich na zewnątrz silnika. Pokaż, że sprawność tego silnika, jeśli substancją robocza jest gaz
T −T
η = 1− 4 1 .
T3 − T2 Ws-ka: Ciepło jest pobierane w przemianie 2→3 (B→C) w
idealny w ilości n moli, wynosi
7
η=
Q = nCp ( T4 − T1 )
i oddawane układowi w ilości C
, więc
( γ −1) γ
T = const. Pokaż, że analiza procesu adiabatycznego
równanie adiabaty w zmiennych p-V ma postać p
ilości
QH = nCp ( T3 − T2 )
QH − QC
.
QH
Pokaż, że
( γ −1)
γ
p 
p
γ −1 γ
T1 =  max 
⋅ T2 =rp( ) T2 ,
rp = max
pmin określa stopień
 pmin 
1→2 (A→B) pozwala otrzymać wyrażenie
gdzie
zwiększenia ciśnienia w tym procesie. Podobnie pokaż, że dla adiabatycznego rozprężania mamy
p 
T4 =  max 
 pmin 
( γ −1)
γ
⋅ T3 = rp( γ −1) γT3 .
Następnie uzasadnij, że
η = 1 − rp(1−γ ) γ .
Wyznacz sprawność silnika Braytona
r = 10.
dla dwuatomowego gazu idealnego, w którym nie i są wzbudzane oscylacyjne stopnie swobody i dla p
Czy wzbudzenie oscylacyjnych stopni swobody zwiększa η?

a ⋅ n2 
44. Równanie gazu Van der Waalsa ma postać  p +
⋅ ( B − nb ) = nRT . Punkt krytyczny ma 3 ściśle określone
V 2 

wartości ciśnienia pkr, temperatury Tkr i objętości Vkr, które odpowiadają punktowi przegięcia izotermy krytycznej.
Parametry krytyczne wyznaczamy z warunków na pierwszą pochodną
∂2 p
∂V 2
= 0. Pokaż, że A)
pkr
B)
∂2 p
∂V 2
=2
pkr
∂p
∂V
=−
pkr
nRTkr
(Vkr − nb )
3
nRTkr
(Vkr − nb )
−6
2
+
∂p
∂V
= 0 oraz na drugą pochodną
pkr
2an 2
2an 2
nRTkr
0
;
=
→
=
2
3
3
Vkr
Vkr
(Vkr − nb )
an 2
an 2
nRTkr
=
0
→
6
=2
,
3
4
4
Vkr
Vkr
(Vkr − nb )
C) Vkr = 3nb; ws-ka: podziel stronami otrzymane wyżej rezultaty,
D) Tkr = 8a/(27bR); ws-ka: podstaw Vkr do otrzymanego wzoru
2an 2
nRTkr
,
=
2
3
Vkr
(Vkr − nb )
E) pkr = a/(27b2); ws-ka: podstaw wyniki z C) i D) do równania gazu.
F) Wyznacz temperaturę krytyczną dla dwutlenku węgla, dla którego a = 2,13 Pa⋅m6/mol2 i b = 31,3⋅10-6 m3/mol i
porównaj z danymi tablicowymi.
45. Zasada Landauera (1961): Nieodwracalne zapisanie w temperaturze T przez cyfrowy komputer jednego bitu
informacji w dwustanowej komórce pamięci komputera powoduje wydzielenie do otoczenia energii cieplnej w ilości
∆Q = k BT ln 2. Odkrycie Rolfa Landauera jest fizyczną zasadą dotyczącą najniższej teoretycznej wartości energetycznego kosztu przetwarzania informacji przez cyfrowy komputer. Precyzyjniejsze sformułowanie tej fizycznej zasady
(2003, Charles Bennett): Z każdym procesem nieodwracalnego przetwarzanie informacji logicznej, jak wymazanie bitu
informacji, jest związany wzrost entropii elementów komputera lub wzrost entropii jego otoczenia. Uzasadnij zasadę
Landauera. Ws-ka: Komórkę pamięci komputerowej plus jej bezpośrednie otoczenie można modelowo potraktować jako
izolowany układ termodynamiczny; komórka pamięci to termodynamiczny podukład o dwóch umownych stanach: ZERO i JEDEN;
nieodwracalny zapis jednego bitu informacji powoduje, że komórka poddana jest przemianie termodynamicznej od początkowych
dwóch stanów ZERO lub JEDEN do jednego ze stanów, np. JEDEN; wyznaczmy teraz zmianę entropii Boltzmanna dla naszego
podukładu (dwustanowa komórka pamięci cyfrowego komputera): ∆S2→1 = S ( N = 1)  − S ( N = 2 )  = k B ln1 − k B ln 2 = − k B ln 2,
widzimy, że lokalnie w naszym izolowanym układzie entropia komórki pamięci zmalała, ale układ jest zamknięty, więc (II zasada
termodynamika) entropia otoczenia wzrasta o co najmniej k B ln 2.
46. Średnia wartość kwadratu prędkości cząstki mugolonu, tworzącego hipotetyczny gaz idealny mugolonów, wynosi
<v2 > = αkT2/m0, gdzie m0 —masa jednego mugolonu i α — stała Pottera. Korzystając z toku rozumowania zastosowanego na wykładzie do otrzymania równania Clapeyrona stanu gazu doskonałego, pokaż, że „równanie stanu” swobodnych mugolonów ma postać A ∙ = d ∙ ∙ ∙ /3. Wykreśl: a) izotermy gazu mugolonów w zmiennych p-V, V-T i
p-T; b) izobary w zmiennych V-T, p-V i p-T; c) izochory w zmiennych V-T, p-V i p-T.
47. odpowiada stanowi, w którym w jednej połowie zbiornika znajdują się wszystkie NA cząsteczek tlenu. Makrostan
końcowy odpowiada sytuacji, gdy cząsteczki tlenu są rozłożone równomiernie w zbiorniku, tj. NA/2 znajduje się w lewej
połowie i tyle samo w prawej połowie. Zmiana entropii Boltzmanna ∆S1→2 = k B ⋅ ln (W2 W1 ) , gdzie W2 ,W1 to
8
odpowiednio parametry nieuporządkowania stanu końcowego i początkowego. Liczba W określa ile mikrostanów realizuje dany makrostan zadany parą liczb (NL; NP), przy czym W =
N!
, gdzie symbol ! oznacza silnię, zaś N L i
NL ! NP !
N P określają liczbę cząsteczek gazu odpowiednio w lewej i prawej połowie zbiornika. Rozważmy swobodne
100!
= 1, do
rozprężanie jednego mola gazu idealnego (np. tlenu) jako przejście od stanu (100;0), dla którego W1 =
100!0!
NA !
stanów odpowiadających (50;50), dla którego W2 =
. Wartość entropii Boltzmanna dla stanu (100;0)
( N A 2) !( N A 2 )!


NA !
S2 = k B ⋅ ln (W2 ) = k B ⋅ ln 
 . Dla bardzo
N
2
!
N
2
!
(
)
(
)
A
 A

dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy posługiwać się przybliżeniem Stirlinga ln N ! ≈ N (ln N ) − N . Pokaż, że
wynosi
S1 = k B ⋅ ln (W1 ) = 0. Dla stanów (50;50)


NA !
∆S1→2 = k B ⋅ ln (W2 W1 ) = R ⋅ ln2. Ws-ka: ln 
 = ln N A ! − 2 ln ( ( N A 2 ) !) ; do tej równości
 ( N A 2)!( N A 2)!
należy teraz zastosować przybliżenie Stirlinga.
48. Jeden kg wody o temp. 100o C jest podgrzewany (rys. obok) i paruje pod ciśnieniem
atmosferycznym 1,01⋅105 Pa, w wyniku czego objętość wody 10-3 m3 przekształca się w
parę o objętości 1,67⋅10-3 m3. Jaka pracę wykonuje układ podczas odparowywania
wody? Ile ciepła jest dostarczonego układowi podczas parowania? Jaka jest zmiana
energii wewnętrznej układu?
49. Układ może wymieniać ciepło z otoczeniem promieniując lub absorbują energię fal
elektromagnetycznych. Promieniowanie energii w postaci fal elektromagnetycznych
znany jest pod nazwą promieniowania cieplnego (termicznego). Strumień promieniowania cieplnego emitowanego wynosi G#":;. = σhε j, gdzie A – powierzchnia
emitująca, σ = 5,67⋅10-8 W/(m2 K4) – stała Stefana-Boltzmanna (od nazwiska odkrywcy
na drodze eksperymentalnej Józefa Stefana i Ludwika Boltzmanna (podał uzasadnienie
teoretyczne), T – temperatura powierzchni emitującej; ε – parametr przyjmujący wartości z przedziału (0.0;1.0>.
j
, gdzie A – powierzchnia absorbująca;
Strumień promieniowania cieplnego absorbowanego G5kl. = σhε 8;8$m#n:5
j
8;8$m#n:5 – temperatura otoczenia; ε – parametr przyjmujący wartości z przedziału (0.0;1.0>. Wypadkowy strumień
4
4
. Niektóre insekty (żuk Melanophila) potrafią dokonać detekcji
energii cieplnej G = Gabs. − Gemit. = σhε otoczenia −
pożaru z odległości ponad 10 km, dzięki posiadania stosownych organów-receptorów pochłaniających promieniowanie
cieplne powodującego (rozszerzanie się określonych fragmentów ciała) pobudzenie synaps. Niektóre węże (np.
grzechotnik) także posługują się receptorami promieniowania cieplnego, co umożliwia im polowanie w zupełnych
ciemnościach. Wyobraź sobie, że 4,5 g wody o temperaturze 6oC rozlałeś na powierzchni 9 cm2 i pozostawiłeś
gwiaździstej nocy na powietrzu, którego temperatura wynosiła –23oC. Oszacuj czas t, po upływie którego woda
zamarznie. Ciepło właściwe wody 4190 J/(kg⋅K); ciepło topnienia 3,33⋅105 J/kg. Przyjmij, że układ woda+lód emituje
promieniowania cieplne w temperaturze 0oC. Ws-ka: Pokaż, że woda po całkowitym zamarznięciu oddaje ciepło w
ilości 1612 J, które jest wypromieniowane do atmosfery; należy uwzględnić zjawisko absorpcji z powietrza (otoczenia)
energii cieplnej przez układ woda+lód. Odp. t = 2,13⋅104 s.
50. Załóżmy, że 2 kg wody o temperaturze spontanicznie zmienia temperaturę, w ten sposób, że 1 kg ochładza się do
0oC (i nie zamarza) a pozostała część ogrzewa się do 100oC (i nie paruje). Jaka jest zmiana entropii układu? Czy ten
proces jest możliwy do zaobserwowania? Ws-ka: Zmiana entropii ciała o masie m, cieple właściwym cW, gdy jego
T2
temperatura zmienia się od T1 do T2 wynosi ∆S1→2 = mcw
dT
.
T
T1
∫
W. Salejda
Wrocław, 13 stycznia 2016
9