INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ

BIULETYN INFORMACYJNY
INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ
POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
WARSZAWA
TEL. 215021 w. 32 i 48
NOWOWIEJSKA 25
Nr 5/K.T.M.C.5
maj 1966
Dr i n ż . Wiesław Gogół
Katedra T e o r i i Maszyn Cieplnych
P o l i t e c h n i k i Warszawskiej
PRZEWODZENIE CIEPŁA W PRZYPADKU DUŻYCH
GRADIENTÓW TEMPERATURY
Przedmiotem rozważań j e s t przewodzenie c i e p ł a w ośrodku
ciągłym, jednorodnym, izotropowym, o własnościach cieplnych
(A, c ,
) niezmiennych z temperaturą i pozbawionym wewnętrznych ź r ó d e ł , przy czym d l a uproszczenia rozpatrywane j e s t t y l ko zagadnienie jednowymiarowe w stanie ustalonym.
Prawo Fouriera
q = - A grad t
(1)
wiążące strumień cieplny q z gradientem temperatury t może
być stwierdzone na drodze obserwacji rzeczywistego procesu
przewodzenia c i e p ł a , lub t e ż wyprowadzone na drodze t e o r e t y c z n e j z zachowania s i ę ( k i n e t y k i ) odpowiedniego modelu ośrodka
przewodzącego - modelem takim może być na przykład gaz molekularny o rozkładzie prędkości Maxwella, gaz elektronowy, gaz
fononowy i t p .
Uzasadnienie teoretyczne równania ( 1 ) wymaga na ogół z a ł o żenia, że ośrodek znajduje s i ę w stanie niezbyt odległym od
- 2 stanu równowagi termodynamicznej, przy czym stopień odchylenia
od stanu równowagi nie j e s t wyraźnie precyzowany; w związku z
tym powstaje niejasność w określaniu stanów wyraźnie odbiegających od stanu równowagi i procesów przewodzenia c i e p ł a związanych z takimi stanami.
Wydaje s i ę , że jednym z mierników odchylenia od stanu równowagi ośrodka przewodzącego może być wielkość przestrzennego
gradientu temperatury grad t
(natężenia pola termicznego)
jako s i ł y termodynamicznej, wywołującej strumień q; procesy
przewodzenia c i e p ł a w ośrodku, którego stan nie może być uznany za b l i s k i stanowi równowagi termodynamicznej, a zatem przy
dużych gradientach temperatury proponuje s i ę nazywać intensywnymi procesami przewodzenia ciepła*) .
Zakłada s i ę , że d l a takich procesów temperatura posiada
sens f i z y c z n y i może być definiowana podobnie jak inne parametry intensywne w termodynamice procesów nieodwracalnych.
Przez temperaturę danego elementu o b j ę t o ś c i ośrodka w danej
c h w i l i rozumie s i ę wartość temperatury, jaka u s t a l i ł a b y s i ę
po wyizolowaniu w danej c h w i l i danego elementu o b j ę t o ś c i i u s t a l e n i u w nim stanu równowagi termodynamicznej; rozpatrywany
element o b j ę t o ś c i ośrodka powinien być jak najmniejszy,jednakże na t y l e duży, aby ośrodek można było uznać za c i ą g ł y .
Prawdopodobnie można założyć tak wielkie gradienty temper a t u r y , że samo p o j ę c i e temperatury może s t a ć s i ę trudne do
zdefiniowania, jednakże takie zagadnienia przewodzenia p o z o s t a j ą poza zakresem n i n i e j s z y c h rozważań.
Należy również p o d k r e ś l i ć , że empiryczne potwierdzenie
s ł u s z n o ś c i l i n i o w e j zależności (1) zarówno w zagadnieniach
przewodzenia c i e p ł a w t e c h n i c e , jak t e ż przede wszystkim przy
doświadczalnym wyznaczaniu przewodności c i e p l n e j i d y f u z y j n o ś c i c i e p l n e j odbywa s i ę na o g ó ł przy stosunkowo niewielkich
gradientach temperatury. W niektórych jednak przypadkach p r z e wodzenia c i e p ł a , związanych ze współczesną techniką oraz pew-
'Niniejszym komunikat stanowi fragment r e f e r a t u o granicach
stosowalności równania Fouriera, wygłoszonego przez autora
na Zebraniu Naukowym Instytutu Techniki Cieplnej w W-wie w
dn. 19.4.1966 r .
- 3 nych metodach wyznaczania własności cieplnych mogą występować
tak duże gradienty temperatury, że wydaje s i ę , iż dokładność
równania Fouriera może stać s i ę przedmiotem dyskusji.
W związku z powyższymi uwagami poszukiwana j e s t zależność
opisująca przewodzenie c i e p ł a i będąca dalszym i lepszym p r z y bliżeniem do rzeczywistego procesu niż równanie (1) w oparciu
o t r z y następujące założenia:
1. Rozpatrywany j e s t proces przewodzenia c i e p ł a bez ef%'ttów sprzężonych, d l a którego strumień cieplny q zależy t y l ko od gradientu temperatury
q = q (grad
t) .
(2)
2. Dla grad t = 0 również i q = 0 .
3. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki strumień cieplny
skierowany j e s t zawsze od obszarów o wyższej temperaturze do
obszarów o n i ż s z e j temperaturze.
Rozwijając funkcję q (grad t ) na szereg potęgowy Maclaurina otrzymuje s i ę
' • o'0'
ł
i
T J B ^
+ y,?'l(0\,
^
* * h
<grad
(er*tt)3+...
ł
(5)
d(grad t Y
W szeregu tym z założenia 2 pierwszy wyraz
q(0) = 0,
a z założenia 3 współczynnik przy grad
wartość zerową
f ^ -t ) o
d(grad
.
t
o
(4)
również musi mieć
<5>
w przeciwnym przypadku przy zmianie kierunku gradientu temperatury kierunek strumienia mógłby pozostać bez zmiany.
Pomijając pozostałe wyrazy szeregu (3) jako prawdopodobnie
odgrywające coraz t o mniejszą r o l ę otrzymuje s i ę
- 4 -
Oznaczając
M ° h s • -A
Ksrad t )
A
i
i
6
d ? q ( 0 )
d(grad
t)
, 3
-A 1
(7)
otrzymuje s i ę
q = - A grad t -
A* (grad t ) 5
,
(8)
albo
q = -
A grad t [ l +
(grad t ) 2 ] .
(9)
Równanie (8) mogłoby opisywać proces przewodzenia c i e p ł a
w przypadku dużych gradientów temperatury. Prawo Fouriera (1)
j e s t więc t y l k o szczególnym przypadkiem ( A= 0 ) b a r d z i e j o g ó l n e j z a l e ż n o ś c i wyrażonej rówfianiem ( 8 ) .
Na r y s . 1 pokazano przypuszczalną zależność odpowiednich
pochodnych strumienia q względem grad t w f u n k c j i gradientu temperatuiy, stanowiących współczynniki szeregu ( 3 ) .
Wartość współczynnika A' [ ^ o ^ j T ] Jest prawdopodobnie
bardzo mała i dlatego przy umiarkowanych wielkościach gradientów temperatury równanie Fouriera opisuje z dużą dokładnością
przewodzenie c i e p ł a w zagadnieniach technicznych i fizycznych.
Wielkość A' może być prawdopodobni'e rozmaita dla różnych
c i a ł (gazów, c i e c z y , m e t a l i , dielektryków i i c h rodzajów), a
j e j określenie może nastąpić tylko na drodze doświadczalnej.
Jednakże można oszacować (na przykład d l a dielektryków)
maksymalną wartość stosunku
, która nie powinna być więk2
0
sza od 10 "9 [ m / ^ ] , w przeciwnym przypadku bowiem wpływ wyrazu z t r z e c i ą potęgą gradientu temperatury byłby obserwowany
dość c z ę s t o .
Na r y s . 2 pokazano w i e l k o ś c i błędu, jakie mogłyby być s p o wodowane stosowaniem równania Fouriera przy dużych gradientach temperatury w zależności od przypuszczalnych wartości
stosunków
. Na wykresie zaznaczono o r i e n t a c y j n i e trzy
grad t
o
t— tue
Fouriera
r- nt*
l%>0}
ira clt
dfcracłf
Rys.1. Przypuszczalna
zależność
współczynników szeregu ( ? ) od g r a dientów temperatury (szereg o g r a niczony do 4 wyrazów)
_ 6 -
zakresy (granice ich są tylko bardzo przybliżone i zależą od r ó ż nych czynników):
>
- zakres I gradientów temperatury często występujących w t e c h n i c e , w którym obserwuje s i ę zgodność w granicach błędu z
prawem Fouriera;
- zakres I I , w którym mogłoby wystąpić wyraźne odchylenie od
prawa Fouriera zgodnie z zależnością (8)(przy założonych
wartościach ^ ) ,
- zakres I I I gradientów na o g ó ł nie spotykanych w badaniach
doświadczalnych.
Zatem przez intensywne procesy przewodzenia c i e p ł a można
rozumieć takie p r o c e s y , w których nie wystarcza w granicach
błędów pomiarowych lub obliczeniowych liniowa zależność s t r u -
- 7 mienia od gradientu temperatury, zgodna z prawem Fouriera, a
konieczne s t a j e s i ę uwzględnienie efektu opisywanego równaniem ( 8 ) .
Należy z całym naciskiem p o d k r e ś l i ć , że przedstawione t u t a j rozważania są t y l k o hipotezą, która wymaga potwierdzenia
doświadczalnego. Badania doświadczalne pozwoliłyby albo wyznaczyć dla określonych materiałów wartości Ał albo t e ż s t w i e r d z i ć dla tych materiałów przy odpowiednich gradientach temperatury zaniedbywainie małą wartość stosunku
(na przykład
przy 500 °K/cm
< 1 0 " 1 2 m 2 / 0 ^ ) , co pozwoliłoby u ś c i ś l i ć i
jasno zdefiniować granice stosowalności równania Fouriera.
Badania doświadczalne w tym zakresie prowadzone są od pewnego czasu w Pracowni Parametrów Cieplnych Instytutu Techniki
Cieplnej w Warszawie.