Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 3
Definicja 1. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B określone
jest wzorem:
P (A ∩ B)
P (A|B) =
P (B)
przy założeniu, że P (B) > 0.
Własności 1.
P (A ∩ B) = P (A|B) · P (A)
dla P (B) > 0.
Własności 2. Jeżeli P (A1 ∩ . . . ∩ An−1 ), to
P (A1 ∩ . . . ∩ An ) = P (A1 ) · P (A2 |A1 ) · P (A3 |A1 ∩ A2 ) · . . . · P (An |A1 ∩ . . . ∩ An−1 ).
Twierdzenie 1 (Wzór na prawdopodobieństwo całkowite). Jeżeli {H1 , H2 , . . . , Hn } jest rozbiciem
Ω na zdarzenia o dodatnich prawdopodobieństwach, to dla dowolnego zdarzenia A
P (A) =
n
X
P (A|Hi )P (Hi ).
i=1
Zadanie 1. Ktoś rzucił 3 razy monetą i poinformował nas, że wypadła nieparzysta liczba orłów
(zdarzenie B). Jaka jest szans, że wypadły 3 orły (zdarzenie A).
Zadanie 2. Losujemy jedną rodzinę spośród rodzin z dwojgiem dzieci. Obliczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia, że wybierzemy rodzinę z dwoma chłopcami, jeśli wiemy, że w tej rodzinie:
a) starsze dziecko jest chłopcem,
b) jest co najmniej jeden chłopiec.
Zadanie 3. Firma produkuje 98% wyrobów odpowiadających normie. Wśród wyrobów spełniających normę jest 75% wyrobów pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany
wyrób jest pierwszego gatunku.
Zadanie 4. Z urny zawierającej 10 kul białych i 20 czarnych wyciągamy kolejno bez zwracania 3
kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia 3 kul białych.
Zadanie 5. Pierwsza urna zawiera 4 białe i jedną czarną kule, druga – 2 białe i 3 czarne. Losujemy
urnę tak, by szansa wybrania pierwszej urny była dwukrotnie mniejsza niż drugiej. Następnie z
wybranej urny losujemy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Zadanie 6. Mamy w urnie b kul białych i c czarnych. Wyciągamy jedną kulę i natychmiast ją
wyrzucamy, nie sprawdzając koloru. Jaka jest szansa wyciągnięcia za drugim razem kuli białej.
1
2
Twierdzenie 2 (Wzór Bayesa). Jeżeli {Hi }i∈I jest przeliczalnym rozbiciem Ω na zdarzenia o
dodatnich prawdopodobieństwach oraz P (A) > 0, to dla dowolnego j ∈ I mamy
P (A|Hj )P (Hj )
.
i∈I P (A|Hi )P (Hi )
P (Hj |A) = P
Uwaga 1. Prawdopodobieństwo hipotetyczne P (Hi ) nazywamy prawdopodobieństwem a priori (przed
doświadczeniem), P (Hi |A) prawdopodobieństwem a posteriori (po doświadczeniu).
Zadanie 7. W doświadczeniu z Zad. 6 oblicz prawdopodobieństwo, że kula z pierwszego losowania
jest biała, gdy biała jest kula z drugiego losowania.
Zadanie 8. W sytuacji z Zad. 5 oblicz prawdopodobieństwo, że losowano z drugiej urny gdy wynikiem losowania jest kula biała.