Pierwiastek z dwóch na każdej kartce

str. 14
kol. specjalny str. 14
Marcin Braun
Pierwiastek z dwóch
na każdej kartce
Długość kartki papieru ma się do jej szerokości jak
to przypadek.
Jaki jest stosunek długości kartki zeszytowej do jej szerokości? Wystarczy
zmierzyć i podzielić – mogą to zrobić
także uczniowie.
210 mm/148 mm ≈ 1,4189.
Dla kartki A4 (format papieru maszynowego lub kartki z bloku) wymiary są
inne, ale wynik podobny:
√
2 : 1.
I nie jest
Zauważmy, że dzieląc arkusz kancelaryjny (A3) na pół, otrzymujemy dwie
kartki formatu maszynowego (A4).
Z każdej z nich można otrzymać dwie
kartki zeszytowe (A5), również dzieląc
ją na pół. Wobec tego proporcje kartki
muszą być tak ustalone, aby połówki
były podobne do całości.
297 mm/210 mm ≈ 1,4143.
W wypadku arkusza papieru kancelaryjnego albo kartki z dużego bloku
(czyli formatu A3):
420 mm/297 mm ≈ 1,4141.
Nie dość, że liczba wychodzi zawsze
prawie taka sama,
to jeszcze jest to
√
mniej więcej 2! Dlaczego? To, że
proporcja boków jest dla każdego
formatu prawie identyczna, nie wynika
oczywiście z jakiegoś prawa przyrody
ani twierdzenia matematycznego. Po
prostu tak ustalono wymiary znormalizowanych arkuszy, aby miały one
podobne proporcje. Zwróćmy uwagę,
że chodzi tu o podobieństwo (w sensie
geometrycznym) prostokątów. Figury
podobne mogą się różnić wielkością,
ale nie kształtem. Formaty papieru
ustalono tak, aby małe kartki miały
taki sam kształt jak duże, a więc były
do nich podobne. A to oznacza taki
sam stosunek boków. Najciekawsze
jest
√ jednak to, że przy takim założeniu
2 musiał się już pojawić.
14
Jeśli długość kartki oznaczymy a, jej
szerokość zaś b, to połówka kartki ma
długość b i szerokość a/2. Skoro zaś
kartka ma mieć ten sam kształt, co jej
połówka, otrzymujemy proporcję:
a
b
=
b
,
a/2
z której już łatwo obliczyć, że:
a2 = b2 ,
2
√
√
a stąd ab = 2. W taki to sposób 2
pojawia się w wymiarach każdej kartki
papieru. Oczywiście w przybliżeniu, bo
wymiary zaokrąglane są do całkowitej
liczby milimetrów. A√z jaką dokładnością można obliczyć 2, mierząc naszą
gazetę?
MATEMATYKA JEST WSZĘDZIE