Systemy liczbowe używane w informatyce
Transkrypt
Systemy liczbowe używane w informatyce
Systemy liczbowe u ywane w informatyce System dwójkowy Dziesi tny (decygonalny) system liczbowy nie by u ywane od zawsze. Na pocz tku istnienia ludzko ci oprócz obecnego systemu stosowano: dwudziestkowe (od ilo ci palców u r k i nóg), pi tkowe (palce jednej r ki) i inne. W czasach staro ytnych na Bliskim Wschodzie ukszta towa si system sze dziesi tkowy, który utrzyma si czy si z dziesi tnym, a jego wp yw do dzisiaj w zapisie czasu (np. podzia godziny na 60 minut ) i w mierze stopniowej k tów. Wraz z pojawieniem si komputerów rozpocz to intensywne korzystanie z zapisu binarnego. Nie znaczy to jednak, z komputerami, wystarczy tu wspomnie e kodowanie binarne pojawi o si wraz o alfabecie Morse’a, który zosta stworzony w wieku osiemnastym dla potrzeb telegrafu. System dziesi tny i dwójkowy s systemami pozycyjnymi wagowymi tzn. znaczenie cyfry zale y od jej po enia oraz ka dej cyfrze jest przypisana inna waga. Dla systemu dziesi tnego wagi to pot gi liczby 10 czyli: ..., 1 1 1 , , , 1, 10, 100, 1000, itd., za dla 1000 100 10 1 1 1 systemu binarnego wagi to pot gi liczby 2: ... , , , 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 8 4 2 1024 itd. n Ka liczb mo emy rozpisa wed ug wzoru: L ai N i , gdzie: i m – L to liczba. – N to podstawa systemu (np. 10 dla systemu dziesi tnego lub 2 dla binarnego). – m to indeks ostatniej cyfry (tej z prawej strony), albo inaczej mówi c liczba przeciwna do ilo ci cyfr po przecinku, np. w liczbie 248,0235 m = - 4. – n to indeks pierwszej cyfry (tej z lewej strony), albo inaczej mówi c ilo cyfr przed przecinkiem pomniejszona o 1, np. w liczbie 248,0235 n = 2. Wynika z tego, e pierwsza cyfra przed przecinkiem ma indeks 0, poprzednie cyfry maj kolejne indeksy dodatnie, a cyfry po przecinku maj kolejne indeksy ujemne numerowane w drug stron . – i to indeksy kolejnych cyfr. – ai to kolejne cyfry w naszej liczbie. Przyk ady: – liczb dziesi tn 248,0235 mo na rozpisa : 248,0235 – 5 10 1 10000 3 1 1000 2 1 100 0 1 10 8 1 4 10 2 100 ; liczb dwójkow 101011,1011 mo na rozpisa : 101011,1011 2 1 1 1 1 16 8 0 1 1 1 1 1 1 2 4 2 0 4 1 8 0 16 1 32 . W raz z pojawieniem si systemu dwójkowego pojawi a si konieczno dwójkowych na dziesi tkowe i odwrotnie. Na przyk adzie poka zamiany liczb zamian liczby naturalnej 190 na jej odpowiednik dwójkowy: 190 : 2 0 95 : 2 1 47 : 2 1 23 : 2 1 11 : 2 1 5 : 2 1 2 : 2 0 1 : 2 1 0 Liczb 190 dzielimy przez podstaw systemu, czyli przez 2. Reszt z dzielenia, czyli 0 zapisujemy po prawej stronie pionowej linii, za ca kowity wynik dzielenia 95 zapisujemy pod liczb 190. Podobnie post pujemy z liczb 95, jednak w tym przypadku reszta z dzielenia wynosi 1. Dzielenie powtarzamy, a ca kowity wynik z dzielenia dojdzie do 0, za wynik odczytujemy od do u. Po wykonaniu powy szych operacji otrzymujemy wynik: (190)10=(10001110)2. Otrzyman liczb zamienimy teraz na dziesi tkow : (10111110)2 = 0·1+1·2+1·4+1·8+1·16+1·32+0·64+1·128 = 2+4+8+16+32+128 =190. Przy zamianie u amków algorytm post powania jest podobny do zamiany liczb ca kowitych. Tym razem jednak mno ymy liczb przez podstaw systemu, jako now liczb pod spodem zapisujemy cz u amkow otrzymanego iloczynu, natomiast cz po prawej stronie. Jako przyk ad zamieni liczb 0,625. ca kowit umieszczamy 0,625 · 2 1 0,25 · 2 0 0,5 · 2 1 0 Wynik odczytujemy od góry i umieszczamy go po przecinku, czyli (0,625)10= (0,101)2. Dla sprawdzenia 0,101 2 1 zamieni 1 1 1 0 1 8 4 2 otrzyman 0,125 0,5 liczb na dziesi tkow : 0,625 . System szesnastkowy Liczby dwójkowe s czytelne dla komputera, jednak korzystanie z nich przez cz owieka nie jest atwe. Liczby zapisane binarnie s zbyt d ugie, a przez to ma o czytelne. Aby skróci zapis wprowadzono do u ytku system szesnastkowy ( heksadecymalny ). Zamiana liczb dwójkowych na szesnastkowe i na odwrót jest bardzo atwa i nie wymaga tylu czynno ci co zamiana na system dziesi tny. W systemie heksadecymalnym u ywamy nast puj cych cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, gdzie litery oznaczaj odpowiednio: 10, 11, 12, 13, 14, 15. Aby zamieni liczb binarn na szesnastkow , zamieniamy czwórki cyfr 0 i 1 na odpowiadaj ce im cyfry od 0 do F wed ug poni szej tabeli. Liczba Liczba szesnastkowa dwójkowa 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 2 Liczba Liczba szesnastkowa dwójkowa 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 5 B 9 Zamian pokazuje przyk ad: (100101101111001) 2 (25B9)16 .