Wskazówka Zadanie 6. Sprawdź, czy następujące funkcjonały

Wskazówka
Zadanie 6. Sprawdź, czy następujące funkcjonały liniowe na rzeczywistych przestrzeniach unitarnych są postaci φ(h) = hh, h0 i, h ∈ X z pewnym h0 , gdzie h·, −i
jest iloczynem skalarnym na X. Wyznacz h0 jeśli istnieje.
∞
∞
P
P
1
(1) X = c00 , h{xn }n , {yn }n i =
xn yn , φ({xn }n ) =
2n xn ,
n=1
R1
(2) X = C([0, 1]), hf, gi =
n=1
f (t)g(t)dt,
0
1
• φ(f ) =
• ...,
• ...,
...
R2
f (t)dt,
0
Uwaga 1. Nie wprost. Zakładamy, że istnieje g ∈ C([0, 1]) takie, że φ(f ) = hf, gi.
Czyli zachodzi równość:
Z 1
Z 12
f (t)dt =
f (t)g(t)dt.
0
0
Stąd
Z
1
2
Z
1
f (t)dt −
f (t)g(t)dt =
Z 1
Z 1
Z 1
f (t)g(t)dt =
χ[0, 21 ] f (t)dt −
f (t)(χ[0, 21 ] − g(t))dt,
0=
0
0
0
0
0
gdzie χA oznacza funkcję charakterystyczną zbioru A. Teraz, żeby dojść do sprzeczności wystarczy pokazć, że χ[0, 21 ] − g(t) = 0 (bo wtedy g 6∈ C([0, 1])). Możemy więc
założyć, nie wprost że χ[0, 21 ] − g(t) 6= 0, czyli . . . korzystając z tego, że funkcja
χ[0, 21 ] − g(t) jest ciągła na przedziale (0, 21 ) oraz na ( 12 , 1) wynika, że . . . zatem podstawiając funkcję f := . . . otrzymujemy . . . .
1