docPromieniowanie cia la doskonale czarnego
download 
Reklamacja Transkrypt
Promieniowanie cia la doskonale czarnego
Rozdzial 2 Promieniowanie ciala doskonale czarnego 2.1 Wstep ι 1. Stosunek zdolności emisyjnej dowolnego ciala do jego zdolności absorpcyjnej jest staly i równy zdolności emisyjnej ciala doskonale czarnego (prawo Kirchhoffa). E(λ, T ) = EC (λ, T ) ; A(λ, T ) (2.1) z definicji ciala doskonale czarnego jego zdolność absorpcyjna AC = 1 . 2. Wzór Plancka na rozklad energii w widmie promieniowania ciala doskonale czarnego E(λ, T ) = 2πhc2 λ5 exp 1 , hc −1 λkT (2.2) gdzie T jest temperaturaι ciala doskonale czarnego, λ - dlugość fali promieniowania, c - preι dkość fali elektromagnetycznej w próżni, k - stala Boltzmanna. 21 22 ROZDZIAL 2. PROMIENIOWANIE CIALA DOSKONALE CZARNEGO Rys. 2-1 Wykres funkcji E(λ, T ) rozkladu energii w widmie promieniowania ciala doskonale czarnego dla różnych temperatur ciala w zależności od dlugości λ emitowanej fali. 2.2 Zadania 2.2.1. Znaleźć ilość energii wypromieniowanej przez Slońce, jaka przechodzi w ciaιgu jednej sekundy przez powierzchnieι równaι 1 m2 ustawionaι prostopadle do biegu promieni w odleglości równej średniej odleglości Ziemi od Slońca. Zalożyć, że powierzchnia Slońca emituje energieι jak cialo doskonale czarne. Rozwiaιzanie: Zalóżmy, że energia E11 , któraι wypromieniowuje jednostka powierzchni Slońca w ciaιgu jednej sekundy jest jednakowa dla calej jego powierzchni. Jeśli przyjaιć, że Slońce jest kulaι o promieniu R, to w ciaιgu jednej sekundy cala powierzchnia Slońca emituje w pelny kaιt brylowy energieι E1 = 4πR2 E11 . (1) W jednostkowy kaιt brylowy emitowana jest w ciaιgu jednej sekundy energia EΩ1 = E1 = E11 R2 . 4π (2) 23 2.2. ZADANIA Kaιt brylowy odpowiadajaιcy elementowi powierzchni ∆S umieszczonemu prostopadle do biegu promieni w odleglości L od Slońca Ω∆S = ∆S . L2 (3) Calkowita energia przechodzaιca przez teι powierzchnieι w ciaιgu jednej sekundy ∆S . (4) E∆S = EΩ1 Ω∆S = E1 4πL2 Na jednostkeι tej powierzchni pada w ciaιgu jednej sekundy ilość energii E11 E∆S = = ∆S R L 2 E11 . (5) Ponieważ zalożyliśmy, że Slońce promieniuje energieι jak cialo doskonale czarne, wieι c zwiaιzek mieι dzy calkowitaι ilościaι energii wypromieniowanej w ciaιgu jednej sekundy przez jednostkeι powierzchni Slońca i jej temperaturaι T otrzymamy calkujaιc wyrażenie na rozklad energii w widmie ciala doskonale czarnego E(λ, T ) wzgleι dem λ po calym zakresie widma Z ∞ Z ∞ 2π 5 k 4 4 dλ 1 2 E11 = E(λ, T )dλ = 2πhc T ; · 5 = hc λ 15 h3 c2 0 0 exp −1 λkT (6) lub E11 = σT 4 , (7) gdzie σ = 5, 67 · 10−8 (W/m2 )K−4 jest stalaι Stefana. Korzystajaιc z (5) i (7) - (prawo Stefana-Boltzmanna) mamy E11 = σ R L 2 T4 . (8) Podstawiajaιc dane liczbowe (R = 6, 95 · 108 m i L = 1, 49 · 1011 m) otrzymujemy przyjmujaιc T = 5760 K 2 E11 = 1374 W/m . (9) Wyliczona wielkość nosi nazweι stalej slonecznej, S. 2.2.2. Obliczyć o ile zmienia sieι w ciaιgu jednej sekundy masa Slońca w wyniku emisji promieniowania. Zalożyć, że Slońce promieniuje jak cialo doskonale czarne. Rozwiaιzanie: energieι Powierzchnia Slońca w ciaιgu jednej sekundy wysyla E1 = 4πr2 E11 , (1) 24 ROZDZIAL 2. PROMIENIOWANIE CIALA DOSKONALE CZARNEGO gdzie r jest promieniem Slońca, E11 zaś ilościaι energii emitowanej przez 1 m2 powierzchni Slońca w ciaιgu jednej sekundy, przy czym E11 = σT 4 . (2) W wyrażeniu (2) T oznacza temperatureι powierzchni Slońca, σ zaś jest stalaι równaι 5, 67 · 10−8 (W/m)2 )K−4 . Po podstawieniu (2) do (1) otrzymujemy E1 = 4πr2 σT 4 . (3) Korzystajaιc ze zwiaιzku: E = mc2 mamy m1 = E1 4πσ = 2 r2 T 4 . c2 c (4) Po podstawieniu danych liczbowych dostajemy m1 = 4, 5 · 109 kg/s, co w porównaniu z masaι Slońca, która jest równa 2·1030 kg, jest wartościaι bardzo malaι. 2.2.3. Kulkeι o promieniu R zawieszono na nici beι daιcej zlym przewodnikiem ciepla. Calość umieszczono w naczyniu, z którego odpompowano powietrze. Kulka promieniuje energieι jak cialo doskonale czarne nie pochlaniajaιc przy tym żadnej energii. Po jakim czasie temperatura kulki obniży sieι od temperatury poczaιtkowej T1 do temperatury T2 ? Geι stość materialu, z którego wykonana jest kulka wynosi ρ. Rozwiaιzanie: Calkowita ilość energii wypromieniowanej w ciaιgu jednej sekundy przez jednostkeι powierzchni ciala doskonale czarnego o temperaturze T jest równa (wzór (7) z zadania 2.2.1) E11 = σT 4 . (1) W ciaιgu jednej sekundy cala powierzchnia kulki wypromieniowuje energieι E1 = 4πR2 σT 4 . (2) W ciaιgu czasu dt temperatura kulki obniży sieι o wartość dT , przy czym kulka straci energieι E1 dt = −mck dT , (3) gdzie m jest masaι kulki, ck - cieplo wlaściwe materialu kulki. Z (2) i (3) mamy mck dT , (4) dt = − 4πR2 σ T 4 a zatem Z T2 mck 1 1 dT mck . (5) = − t=− 4πR2 σ T1 T 4 12πR2 σ T23 T13 25 2.2. ZADANIA Ale m= 4 πρR3 , 3 (6) wieι c ck ρR t= 9σ 1 1 − 3 3 T2 T1 " 3 # ρck R T2 = . 1− 3 9σT2 T1 (7) Dla T1 ≫ T2 wyrażenie (7) można uprościć i otrzymujemy t= ρck R 1 · 3 . 9σ T2 (8) Dla kulki żelaznej (ρ = 7, 9·103 kg/m3 , ck = 4, 6·102 J/(kg K)) o promieniu R = 0, 1 m, dla temperatur T1 = 1500 K i T2 = 300 K otrzymujemy czas ostygania t = 7, 3 godz. Jeśli powierzchnia kulki jest szara (zdolność absorpcyjna A nie jest funkcjaι dlugości fali absorbowanego promieniowania: zdolność emisyjna ǫ jest równa zdolności absorpcyjnej A) to " 3 # ρck R T2 . t= 1− 3 9ǫσT2 T1 (9) 2.2.4. Średnia temperatura ciala ludzkiego wynosi 310 K. Określić dlugość fali promieniowania λmax wysylanego przez czlowieka, odpowiadajaιcaι maksimum funkcji rozkladu emitowanej przez niego energii. Przyjaιć, że cialo ludzkie promieniuje jak cialo doskonale czarne. Rys. 2-2 Zależność funkcji E(λ, T ) rozkladu energii w widmie promieniowania ciala doskonale czarnego, λmax jest wartościaι dlugości fali, przy której funkcja E(λ, T ) osiaιga maksimum. 26 ROZDZIAL 2. PROMIENIOWANIE CIALA DOSKONALE CZARNEGO Rozwiaιzanie: Zależność mieι dzy λmax i T znajdujemy z równania dE(λ, T ) =0, dλ gdzie 2πhc2 λ5 (1) 1 (2) hc exp −1 λkT jest wzorem Plancka dajaιcym rozklad energii w widmie ciala doskonale czarnego. Podstawiajaιc (2) do (1) i wykonujaιc różniczkowanie otrzymujemy równanie hc hc exp −5 kT λkT (3) + 2 = 0 . hc − 1 λ7 exp hc λ6 exp − 1 λkT λkT E(λ, T ) = Po podstawieniu do (3) zmiennej pomocniczej hc =x λkT (4) i uporzaιdkowaniu równania otrzymamy xex =5. −1 (5) ex Równanie przesteι pne (5) można rozwiaιzać na przyklad metodaι graficznaι (przyklad rozwiaιzania równania przesteι pnego w zadaniu (6.2.7)), skaιd otrzymuje sieι wartość xmax = 4, 965, a wieι c λmax = 2, 9 hc ≃ mm K ; 4, 965 kT T (prawoWiena) . (6) Podstawiajaιc T = 310 K dostajemy dlugość fali λmax = 9, 5 · 10−6 m leżaιcaι w bliskiej podczerwieni. 2.2.5. Calkowita ilość energii promieniowania o dlugościach fali zawartych w przedziale (λ0 , ∞) emitowanego w ciaιgu jednej sekundy przez jednostkeι powierzchni ciala promieniujaιcego energieι jak cialo doskonale czarne, wynosi P . Znaleźć temperatureι tego ciala wiedzaιc, że λ0 jest znacznie wieι ksze od dlugości fali λmax odpowiadajaιcej maksimum funkcji rozkladu energii E(λ, T ) w widmie ciala doskonale czarnego. Rozwiaιzanie: Ze wzoru Plancka na zdolność emisyjnaι ciala doskonale czarnego mamy ε(ν, T ) = 2πh c2 exp ν3 , hν −1 kT ν= c . λ (1) 27 2.2. ZADANIA Calkowita moc promieniowania o czeι stościach z przedzialu (0, ν0 ), odpowiadajaιcego przedzialowi (λ0 , ∞), wysylanego przez jednostkeι powierzchni ciala doskonale czarnego Z ν0 P = ε(ν, T )dν = (2) 0 = 2πh c2 ν0 Z 0 exp ν3 dν . hν −1 kT (3) Dla λ ≫ λmax (co odpowiada niskim czeι stościom, takim że hν ≪ kT ) możemy rozwinaιć w szereg funkcjeι wysteι pujaιcaι w mianowniku wyrażenia podcalkowego. Dostajemy wówczas hν hν hν exp ··· − 1 ≃ . (4) −1≃1+ kT kT kT Podstawiajaιc (4) do (3) otrzymamy P = 2πh c2 Z 0 ν0 2 kT 2 ckT kT 2 ν dν = π 2 ν03 = π 3 , h 3 c 3 λ0 a zatem T = 3 λ30 P . 2π ck (5) (6) Zakladajaιc, że mierzymy emitowanaι energieι w przedziale dlugości fali powyżej λ0 = 2 · 10−5 m i że P = 0, 313 W/m2 , otrzymujemy temperatureι źródla T = 2890 K (λmax dla ciala o tej temperaturze beι dzie równe 10−6 m, to znaczy, że relacja λ ≫ λmax warunkujaιca sluszność stosowania wzoru (6) nie jest spelniona i znalezionaι wartość temperatury należy traktować jako orientacyjnaι, co w przypadku tak wysokich temperatur może być wystarczajaιce). 2.2.6. Określić temperatureι powierzchni Ziemi zakladajaιc, że Slońce promieniuje energieι jak cialo doskonale czarne o temperaturze TS i że temperatura Ziemi jest jednakowa na calej powierzchni. Rozpatrzyć dwa przypadki: 1. Ziemia jest cialem szarym. 2. Ziemia pochlania tylko promieniowanie o czeι stościach z waιskiego przedzialu czeι stości. Rozwiaιzanie: Moc promieniowania Slońca pochlaniana przez Ziemieι jest równa (zad. 2.2.1) 2 RS 2 Pa = AπRZ σ TS4 , (1) L 28 ROZDZIAL 2. PROMIENIOWANIE CIALA DOSKONALE CZARNEGO gdzie L jest średniaι odleglościaι Ziemi od Slońca, RS jest promieniem Slońca, a RZ - promieniem Ziemi; dla ciala szarego zdolność absorpcyjna A nie jest funkcjaι dlugości absorbowanego promieniowania. Moc wypromieniowana przez Ziemieι 2 σTZ4 , Pe = A · 4πRZ (2) (dla ciala szarego zdolność absorpcyjna, A, jest równa jego zdolności emisyjnej ε). Warunek równowagi termodynamicznej ma postać Pa = Pe , (3) skaιd TZ = r RS TS . 2L (4) Po podstawieniu danych liczbowych: RS = 7 · 108 m, L = 1, 5 · 1011 m i TS = 6000 K otrzymamy temperatureι powierzchni Ziemi TZ ≃ 290 K. (5) Wartość ta jest bliska średniej rzeczywistej temperaturze powierzchni Ziemi. W przypadku gdy Ziemia pochlania promieniowanie selektywnie 2 2 RS ∆λ 2 2πhc , ∆Pa = πRZ hc λ5 L −1 exp λkTS (6) moc zaś wypromieniowana przez powierzchnieι Ziemi 2 ∆Pe = 4πRZ 2πhc2 λ5 exp ∆λ . hc −1 λkTZ (7) Jak poprzednio, warunek równowagi ma postać ∆Pa = ∆Pe , skaιd RS L 2 exp 1 4 = . hc hc exp −1 −1 λkTS λkTZ (8) (9) Rozwiaιzujaιc (9) wzgleι dem TZ otrzymujemy TZ = hc λk ln ( 1 ). 2 2L hc exp −1 +1 RS λkTS (10) 29 2.3. ĆWICZENIA Podstawienie w miejsce λ dlugości fali λmax odpowiadajaιcej maksimum funkcji rozkladu energii E(λ, T ) w widmie promieniowania Slońca, pozwala znacznie uprościć wyrażenie (10). Ponieważ hc = exp(4, 965) ≫ 1 , exp λmax kTS wieι c jedynkeι w wyrażeniu exp hc λkTS −1 można zaniedbać. Ponieważ również (2L/RS )2 ≫ 1, to można także zaniedbać jedynkeι w mianowniku wyrażenia (10) wysteι pujaιcaι poza nawiasem kwadratowym. Uproszczone wyrażenie (10) ma postać TZ = TS 2 ln 4, 965 ≃ 0, 29 TS . 2L + 4, 965 RS (11) Podstawiajaιc TS = 6000 K otrzymujemy TZ = 1743 K. Widać, że zalożenie iż Ziemia jest cialem szarym jest bardziej poprawne. 2.3 Ćwiczenia 2.3.1. W bańce opróżnionej z powietrza umieszczono drucik wolframowy o średnicy d = 0, 1 mm. Jakie powinno być nateι żenie praιdu elektrycznego plynaιcego przez drucik, aby jego temperatura T = 2000 K byla stala? Zakladamy, że wlókno wypromieniowuje energieι jak cialo doskonale czarne i że straty cieplne spowodowane przewodnictwem ciepla można pominaιć. Opór wlaściwy drutu ρ = 5, 5 · 10−8 Ωm. Odpowiedź: πdT 2 i= 2 s dσ ≃ 6, 4 A. ρ 2.3.2. Temperatura ciala doskonale czarnego wynosi t1 = 127◦ C. Po podwyższeniu temperatury calkowita moc wypromieniowywana przez cialo wzrosla n - krotnie. O ile stopni wzrosla przy tym temperatura ciala? Odpowiedź: ∆T = T1 √ 4 n − 1 ≃ 75, 6 K dla n = 2 . 2.3.3. Stala sloneczna, to znaczy ilość energii promieniowania slonecznego, która przechodzi w ciaιgu jednej sekundy przez powierzchnieι 1 m2 ustawionaι prostopadle do kierunku biegu promieni w pobliżu powierzchni Ziemi (na
