plik PDF

Grażyna Miłosz
Czy jak ktoś ma dobrze,
to ma źle?
Najpierw przypomnijmy sobie treść
zadania 8. tegorocznej matury:
Z kawałka materiału o kształcie i wymiarach czworokąta ABCD (patrz na rysunek poniżej) wycięto okrągłą serwetkę
o promieniu 3 dm. Oblicz, ile procent
całego materiału stanowi jego niewykorzystana część. Wynik podaj z dokładnością do 0,01 procenta.
Już samo polecenie budzi moje wątpliwości: „Wynik podaj z dokładnością do
0,01 procenta”. Nasuwa się pytanie: 0,01
procenta czego? Sformułowanie zadań
na najważniejszym szkolnym egzaminie powinno być jednoznaczne. Czy nie
lepiej żądać od ucznia, by podał „wynik
w procentach z dokładnością do dwóch
miejsc po przecinku”?
podane odpowiedzi, można się domyślać, że twórcy schematu propagują
błędną metodę rozwiązania!
Nie bądź „hobbystą”!
Rozwiązując zadanie, dochodzi się do
następującego wyrażenia:
16,3 · 3 − 9π
· 100%.
16,3 · 3
Wynik zależy od przybliżenia liczby π
przyjętego przez ucznia. Aby uzyskać
poprawny wynik (z zadaną dokładnością), nie można przyjąć przybliżenia
z dwoma, a nawet z trzema miejscami po
przecinku. Poprawny wynik to 42,18%
(nie 42,19% czy 42,21%, jak podaje
schemat rozwiązania) i uzyska go tylko
ten, kto zapamiętał wartość liczby π
z dokładnością do co najmniej czterech
miejsc po przecinku (tzn. 3,1416). Podkreślmy, że gdyby znalazł się jakiś „hobbysta” znający takie przybliżenie π, to
grozi mu, że jego odpowiedź zostanie
uznana za błędną!
O ile sformułowanie polecenia można
potraktować jako usterkę, to schemat
oceniania tego zadania, przedstawiony
na stronie internetowej CKE, trzeba
uznać za poważny błąd w sztuce. Po
pierwsze, nie ma w nim prawidłowej odpowiedzi, a po drugie, śledząc
4
EDUKACJA
CYAN BLACK
ML18 str. 4
Skąd zatem odpowiedzi w schemacie rozwiązań? Jedna z odpowiedzi
(42,21%) bierze się z podstawienia
na miejsce π, do wyrażenia podanego
wcześniej, najpopularniejszego przybliżenia, czyli 3,14. Jeśli uczeń nie miał
kalkulatora z lepszym przybliżeniem
liczby π, należy uznać tę odpowiedź,
choć różni się od poprawnej o około
0,03. Ciekawe, czy egzaminatorzy zdawali sobie sprawę, że w takim razie
na tych samych zasadach należałoby
zaakceptować odpowiedź 44,79% uzyskaną z wykorzystaniem przybliżenia
π ≈ 3.
Szkoda, że takie ładne zadanie nie
zostało do końca skorelowane z wymogami technicznymi kalkulatorów dopuszczonych do użytku na maturze. Szkoda,
że zaprezentowany przez CKE schemat
rozwiązania nie podaje poprawnej odpowiedzi.
Runą mosty
Najbardziej zastanawiający jest drugi
wynik podany w schemacie rozwiązania. Uczę swoich uczniów, by wykonując
złożone obliczenia, nie przybliżali wyników kroków pośrednich. Powtarzam
im, że „nieprzestrzeganie tej zasady
może doprowadzić do ogromnych różnic w wyniku i spowodować, że most,
który zaprojektujesz, runie”. Na przykład jeżeli mamy podać sumę liczb
1,52 i 2,69 z dokładnością do jedności,
wykonujemy dodawanie: 1,52 + 2,69 =
= 4,21, a następnie wynik zaokrąglamy
do liczby 4. Jeśli najpierw podamy
składniki z dokładnością do jedności
i dopiero wtedy je dodamy, otrzymamy
5. Tylko pierwszy wynik jest poprawny.
Przepraszam za ten banalny przykład,
ale wszystko wskazuje na to, że mosty
w przyszłości będą się walić, skoro pełną
liczbę punktów otrzymał za zadanie 8.
ten, kto najpierw dobrze obliczył pola
czworokąta i niewykorzystanej części
materiału (używając przybliżenia liczby
π z dokładnością do co najmniej czterech
miejsc po przecinku!), ale potem zaokrąglił je do 0,01, i dopiero wtedy obliczył
stosunek tych wielkości (stąd kuriozalny
wynik 42,19%).
Jeszcze jeden przykład
O tym, że zaokrągleniami liczb należy
posługiwać się bardzo ostrożnie, przekonuje znany
√ przykład: należy obliczyć 1000(5 2 − 7)2 z dokładnością do
części dziesiętnych.
Jeśli wykorzystamy
√
wartość 2 podaną przez kalkulator,
√
otrzymamy 5,1 a jeśli zastąpimy 2 jego
przybliżeniem 1,41, to wynikiem będzie
liczba 2,5. Jeszcze bardziej zaskakujące różnice otrzymamy,
gdy najpierw
√
wyrażenie 1000(5 2 − 7)2 przekształ√
cimy do postaci 1000(99 − 70 2). Jeśli
teraz obliczymy wartość tego wyrażenia, korzystając z przybliżenia 1,41, to
otrzymamy liczbę 300. A wszystkiemu
√
jest winne przybliżenie liczby 2. Radzę
samodzielnie√ porównać wartości wyrażeń 100(12 3 − 20)2 oraz
√ równoważnego mu 100(832 − 480 3), raz korzystając z wartości obliczonej za √pomocą
kalkulatora, a raz zastępując 3 jego
przybliżeniem 1,73.
EDUKACJA
CYAN BLACK
ML18 str. 5
5