Typy transformacji obrazów
Transkrypt
Typy transformacji obrazów
Globalne transformacje obrazów Marek Wnuk < [email protected] > KCiR (W4–K7) PWr MW: CPOS4 – p. 1 Typy transformacji obrazów WUDQVIRUPDFMD SXQNWRZD x Φ3 x y y f g WUDQVIRUPDFMD ORNDOQD x Φ/ x y y f g WUDQVIRUPDFMD JOREDOQD x Φ* x y y f g MW: CPOS4 – p. 2 Liniowe transformacje globalne fH×W = f (0, 0) f (0, 1) ... f (0,W − 1) . . . . . . . . . f (H − 1, 0) f (H − 1, 1) ... f (H − 1,W − 1) FH×W = PH×H fH×W QW ×W ; detP 6= 0, detQ 6= 0 F(u, v) = H−1 W −1 ∑ ∑ P(u, m) f (m, n)Q(n, v) m=0 n=0 −1 fH×W = P−1 H×H FH×W QW ×W MW: CPOS4 – p. 3 Własności transformacji liniowych Separowalność: F = (P f) Q = P (f Q) Dla P i Q rzeczywistych, ortogonalnych i symetrycznych oraz dla P i Q zespolonych, hermitowskich i unitarnych: F = PfQ f = PFQ Przypomnienie: A A A A jest jest jest jest symetryczna ortogonalna hermitowska unitarna ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ AT = A AT A = 1 AT = A⋆ AT A⋆ = 1 MW: CPOS4 – p. 4 Dyskretna transformacja Fouriera (DFT) 2π 1 EK [m, n] = √ e− j K mn ; m, n ∈ Z0K−1 K 1 j 2π mn √ E−1 [m, n] = e K ; m, n ∈ Z0K−1 K K FH×W = EH fH×W EW 1 F(u, v) = √ HW H−1 W −1 ∑∑ mu nv f (m, n)e− j2π( H + W ) m=0 n=0 −1 fH×W = E−1 H FH×W EW 1 f (m, n) = √ HW H−1 W −1 ∑∑ mu nv F(u, v)e j2π( H + W ) u=0 v=0 MW: CPOS4 – p. 5 Własności transformacji Fouriera F(u, −v) F(−u, v) F(−u, −v) F(aH + u, bW + v) = = = = F(u,W − v) F(H − u, v) F(H − u,W − v) F(u, v); a, b ∈ Z f (−m, n) f (m, −n) f (−m, −n) f (aH + m, bW + n) = = = = f (H − m, n) f (m,W − n) f (H − m,W − n) f (m, n); a, b ∈ Z g = f∗h ⇔ G = F H G = F∗H ⇔ g = f h MW: CPOS4 – p. 6 Cykliczność transformacji Fouriera Y +Y + Y X X: X : :X Y+ MW: CPOS4 – p. 7 Szybka transformacja Fouriera (FFT) 2π K = 2b , z = e− j K K−1 √ KF(u) = Gb = ∑ f (k)zku k=0 G(u) = K 2 −1 ∑ ( f (2m)z2mu + f (2m + 1)z(2m+1)u) m=0 M= K , q = z2 , f (2m) = fe (m) , f (2m + 1) = fo (m) 2 M−1 M−1 G(u) = ∑ mu fe (m)q u +z ∑ fo (m)qmu m=0 m=0 ... aż do M=1 MW: CPOS4 – p. 8 Algorytm motylkowy FFT N=2, M=1 0 0 F(0) = ∑ 0 0 fe (0)q + z m=0 fo (0)q0 = f (0) + f (1) m=0 0 F(1) = ∑ 0 ∑ 0 1 fe (0)q + z m=0 ∑ m=0 fo (0)q0 = f (0) − f (1) złożoność obliczeniowa DFT: C(K) = cK 2 + O(K) złożoność obliczeniowa FFT: C(K) = cK lg2 K + O(K) MW: CPOS4 – p. 9 Idea algorytmu motylkowego I I + ) + ) I ) I ) I ) I ) I ) I ) I ) I ) MW: CPOS4 – p. 10 Przykładowy obraz i jego transformata obraz transformata MW: CPOS4 – p. 11 Idea filtracji w dziedzinie cz˛estotliwości obraz pierwotny ) transformata maska filtru odtworzony obraz dziedzina przestrzenna ) widmo po filtracji G]LHG]LQD F] VWRWOLZRFL MW: CPOS4 – p. 12 Przykład filtracji dolnoprzepustowej dolna cz˛eść widma wynik filtracji MW: CPOS4 – p. 13 Przykład filtracji górnoprzepustowej górna cz˛eść widma wynik filtracji MW: CPOS4 – p. 14