STATYSTYKA MATEMATYCZNA Lista 5

STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Lista 5
1. Badano wytrzymalość na rozerwanie dwóch próbek po 50 zwajów drutu każda,
pochodza̧cych z dwóch fabryk i otrzymano x̄ = 120.8kG/mm2 , ȳ = 128.2kG/mm2
odpowiednio dla fabryki I i II. Z poprzednich badań wiadomo, że wariancje
wytrzymalości wynosza̧ odpowiednio 8.0 i 9.4. Na poziomie istotności α = 0.01
zweryfikować hipotezȩ o braku różnicy w jakości drutu, produkowanego w obu
fabrykach.
2. Na podstawie danych z dwóch niezależnych próbek o liczności n1 = 10 i n2 =
20 wylosowanych z populacji o rozkladach normalnych otrzymano nastȩpuja̧ce
wartości z próbki x̄ = 14.3 i ȳ = 12.2. Wariancje cech sa̧ znane: Var X = 22,
Var Y = 18. Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować hipotezȩ H : EX = EY
wobec hipotezy alternatywnej K : EX 6= EY . Wyznaczyć i naszkicowa funkcjȩ
mocy tego testu. Wyznaczyć prawdopodobieństwo blȩdu drugiego rodzaju, gdy
różnica miȩdzy średnimi wynosi 2.5.
3. Porównuje siȩ wytrzymalość na rozerwanie arkuszy blachy produkowanych w
standardowych i zmiennych warunkach. Dwie 10-elementowe próbki daly wyniki:
x̄1 = 8.37, x̄2 = 9.62, S12 = 1.32 i S22 = 1.18. Czy wytrzymalość blachy produkowanej w zmiennych warunkach jest wiȩksza? Przyja̧ć α = 0.05.
4. Zmierzono twardość piȩciu plytek metalowych wykonanych z tego samego stopu)
oznaczonych literami A, B, C, D i E. Otrzymano wyniki: xA = 2.1, xB = 2.3,
xC = 1.9, xD = 2.1, xE = 2.0. Nastȩpnie plytki te poddano pewnemu zabiegowi
chemicznemu i ponownie zmierzono ich twardość. Wyniki byly nastȩpuja̧ce:
yA = 2.4, yB = 2.3, yC = 2.1, yD = 2.5, yE = 2.2. Czy można stwierdzić,
że zastosowany zabieg zwiȩksza twardość badanych plytek?
5. Po operacji pacjenci czȩsto traca̧ dużo krwi. Celem badań statystyc-nych bylo
porównanie dwóch lekarstw wplywaja̧cych na wzrost objȩtości krwi. 25 pacjentów poddano dzialaniu albuminy a 14 pacjentów poddano dzialaniu innego
lekarstwa. Dla każdego z pacjentów zmierzono przyrost objȩtości krwi po podaniu lekarstwa (w ml). Wyniki podsumowano w poniższej tabeli:
n
średni przyrost objȩtości
s
ALBUMINA POLYGELATINA
25
14
490
240
60
30
Porównaj średni przyrost objȩtości krwi w obu grupach wykorzystuja̧c test Studenta na poziomie istotności α = 0.01.
6. W każdej z poniższych sytuacji podaj wynik testowania H : µ1 = µ2 przeciwko
alternatywie K : µ1 6= µ2 .
• P wartość = 0.085, α = 0.1.
• P wartość=0.065, α = 0.05.
• t = 3.75, df=19, α = 0.01.
• t = 1.85, df=12, α = 0.05.
7. Cechy X i Y w dwóch populacjach maja̧ rozklady normalne o tej samej wariancji.
Z dwóch niezależnych prób prostych o liczebnościach odpowiednio 100 i 120
obliczono x̄ = 1.15, s21 = 2.4 oraz ȳ = 1.05, s22 = 2.3. Czy można twierdzić, że
średnie w tych populacjach sa̧ takie same ? Przyja̧ć poziom istotności α = 0.05.
8. Badacze zmierzyli koncentracjȩ czerwonych krwinek we krwi 27 jaszczurek. Dodatkowo zbadali czy jaszczurki te byly zarażone pewnym pasożytem przenosza̧cym
malariȩ. Wyniki (w 103 krwinek na mm3 ) podano w poniższej tabeli:
n
x̄
s
zarażone
12
972.1
245.1
niezarażone
15
843.4
251.2
Oczekiwano, że malaria zmniejsza liczbȩ czerwonych cialek krwi. Czy nasze
dane potwierdzaja̧ te oczekiwania ? Zalóżmy, że dane maja̧ rozklad normalny.
Użyj testu Studenta na poziomie istotności α = 0.05 przeciwko odpowiedniej
alternatywie jednostronnej.
9. Wykonano 6 pomiarów nośności wsporników z betonu przygotowanego wedlug
receptury A oraz 6 pomiarów wytrzymalości takich samych wsporników z betonu
przygotowanych wedlug receptury B. Wyniki byly nastȩpuja̧ce:
Receptura A: - 20, 33, 35, 25, 30, 27;
Receptura B: - 28, 30, 33, 20, 24, 18.
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezȩ, że średnia wytrzymalość
badanych wsporników nie zależy od receptury przygotowania betonu.
10. Pewnej grupie 10 pacjentów leczonych na nadciśnienie podano odpowiedni lek.
Wyniki pomiarów ciśnienia tȩtniczego krwi przed leczeniem (A) i po leczeniu
(B) mamy zebrane w poniższej tabeli:
A
B
D=A-B
220 185 270 285 200 295 255 190 225 330
190 175 215 260 215 195 260 150 155 175
30 10 55 25 -15 100 -5
40 70 55
Jak na poziomie istotnoći α = 0, 05 zweryfikować hipotezȩ, że lek ten powoduje
istotny spadek ciśnienia u leczonych pacjentów? Obliczyć wartość-p.
11. Podczas obróbki tulejek za pomoca̧ dwóch automatów tokarskich pobrano dwie
próbki o liczebnościach n1 = 10 i n2 = 15, odpowiednio. W wyniku pomiarów
otrzymano S12 = 9.6µ2 i S22 = 5.7µ2 . Na poziomie istotności α = 0.02 zweryfikować hipotezȩ o równości wariancji pomiarów tulejek.
12. Dla porównania starej (I) i nowej metody (II) oznaczania tytanu wykonano po
sześć oznaczeń. Wyniki oznaczeń sa̧ nastȩpuja̧ce:
I metoda 1.12, 1.05, 1.19, 1.06, 1.10, 1.24
II metoda 1.00, 1.22, 1.29, 1.11, 1.10, 1.24.
Sprawdzić hipotezȩ, że obie metody charakteryzuja̧ siȩ jednakowa̧ wariancja̧
wyników pomiarów przeciwko alternatywie orzekaja̧cej, że nowa metoda daje
mniejsza̧ wariancjȩ. Przyja̧ć α = 0.025.
13. W próbce zlożonej z 500 elementów pewnej partii znaleziono 71 braków. Na
poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezȩ orzekaja̧ca̧, że w partii tej
jest 10% braków.
14. W partii towaru, o której przypuszcza siȩ, że zawiera 15% braków znaleziono 100
braków w próbce zlożonej z 1000 elementów. Na poziomie istotności α = 0.05
sprawdzić hipotezȩ, że w partii jest 15% sztuk wadliwych.
15. W zakladzie produkcyjnym o wyja̧tkowo dużym nasileniu halasu, wylosowano
niezależnie próbȩ n = 160 pracowników i po zbadaniu ich sluchu okazalo siȩ, że
68 pracowników ma zaklócenia slyszalności dźwiȩków o czȩstotliwości ponad 4000
drgań na sekundȩ. Zwerykikować hipotezȩ, że 30% pracowników tego zakladu
ma te zaklócenia sluchu. Przyja̧ć α = 0.01.