TTM 2015/2016 - etap szkolny - tematy wraz ze szkicami rozwiązań

Tarnowski Turniej Matematyczny
etap szkolny w roku 2015/16
dnia 3 grudnia 2015 r.
Zadanie 1. (5 pkt.)
Punkty X, Y i Z są środkami trzech odcinków, których jeden koniec leży na prostej
k zaś drugi na prostej l. Uzasadnić, że jeśli proste k i l są równoległe, to punkty X, Y, Z
są współliniowe.
Zadanie 2. (5 pkt.)
Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n ∈ N prawdziwa jest nierówność:
(n + 1)3 >
13 2
n.
2
Zadanie 3. (5 pkt.)
Punkt K jest środkiem boku BC kwadratu ABCD o polu 1. Na boku CD wybrano
punkt L w ten sposób, że proste AK i KL są prostopadłe, zaś na boku AD wybrano
punkt M w ten sposób, że proste KL i LM są prostopadłe. Obliczyć pole czworokąta
AKLM .
Zadanie 4. (5 pkt.)
Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna n ∈ N taka, że liczba n2 + 6n + 14 jest
kwadratem liczby całkowitej.
Informacje dla uczestnika zawodów
1. Czas trwania zawodów: 120 minut (2 godziny).
2. Na jednym arkuszu nie należy pisać rozwiązań różnych zadań. Każdy arkusz
należy podpisać (drukowanymi literami) imieniem, nazwiskiem oraz nazwą szkoły.
3. W przypadku konieczności otrzymania dodatkowego papieru, wyjścia z sali itp.,
należy podnieść rękę i siedząc na miejscu zaczekać na podejście dyżurującego.
4. W przypadku stwierdzenia niesamodzielności pracy w czasie zawodów lub w trakcie jej oceny, Jury unieważni pracę.
5. W czasie zawodów nie wolno korzystać z kalkulatorów, telefonów komórkowych
i innych urządzeń elektronicznych.
Tarnowski Turniej Matematyczny w roku 2015/16
odbywa się pod patronatem
Rektora Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Tarnowie
i Marszałka Województwa Małopolskiego
Tarnowski Turniej Matematyczny
etap szkolny w roku 2015/16
dnia 3 grudnia 2015 r.
Szkice przykładowych rozwiązań zadań
Zadanie 1. Punkty X, Y, Z należą do prostej m, która leży między k i l w połowie
odległości między nimi.
n2 dla n ­ 7. Wystarczy więc sprawdzić, że
Zadanie 2. Zauważmy, że n3 > 13
2
13 2
3
nierówność (n + 1) > 2 n zachodzi dla liczb n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Zadanie 3. Trójkąty ABK, KCL i LDM są podobne. Skale podobieństwa, w odniesieniu np. do trójkąta ABK o polu 41 , można łatwo wyznaczyć i stwierdzić, że trójkąt
1
9
KCL ma pole 16
a trójkąt LDM ma pole 64
. Stąd czworokąt AKCM ma pole
1−
1
1
9
35
−
−
= .
4 16 64
64
Zadanie 4. Zauważmy, że jeśli podana liczba n2 +6n+14 byłaby kwadratem liczby
naturalnej k, to byłaby także kwadratem liczby przeciwnej −k. Wykażemy, że liczba
n2 + 6n + 14 nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej k. Przypuśćmy, że istnieje
liczba naturalna k taka, że
n2 + 6n + 14 = k 2 .
Stąd (n + 3)2 + 5 = k 2 , czyli (k − n − 3)(k + n + 3) = 5 oraz k > n + 3. Wobec tego
(
k−n−3=1
k+n+3=5
Układ ten spełnia para liczb k = 3 i n = −1, a więc nie ma liczby naturalnej n takiej,
że liczba n2 + 6n + 14 jest kwadratem liczby naturalnej k.
Tarnowski Turniej Matematyczny w roku 2015/16
odbywa się pod patronatem
Marszałka Województwa Małopolskiego
Prezydenta Tarnowa
Małopolskiego Kuratorium Oświaty i
Rektora Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Tarnowie