Egzamin ze statystyki

COLLEGIUM CIVITAS
g.13:00
Egzamin ze statystyki
14 lutego 2009
imię i nazwisko
numer albumu
TEST [35 pkt]
W kratki przy pytaniach testowych wpisz „T”, jeśli odpowiedź brzmi TAK lub „N”, jeśli odpowiedź brzmi NIE.
(CHYBA, ŻE W POLECENIU JEDNOZNACZNIE WSKAZANO CO INNEGO)
Grupa studencka liczy 10 osób. W tej grupie średnia liczba
zdanych egzaminów wynosi 3,5, a mediana liczby zdanych
egzaminów to 5. Czy z tego wynika, że:
N
cała grupa zdała łącznie 50 egzaminów
N
pięciu studentów zdało dokładnie 5 egzaminów
wariancja liczby zdanych egzaminów jest większa od T
0
błąd modalnej liczby zdanych egzaminów może być N
równy 0
W pewnej zbiorowości zmienna X przyjmuje tylko dwie
wartości: 0 i 7. Wiadomo, że średnia tej zmiennej wynosi 0,7.
Czy z tego wynika, że:
N
mediana tej zmiennej również wynosi 0,7
T
modalna tej zmiennej jest mniejsza od jej średniej
N
błąd modalnej tej zmiennej wynosi 0,9
N
wariancja tej zmiennej wynosi 0
Średnia zmiennej statystycznej przyjmującej wartości ze
zbioru {0;1} jest równa 0,3. Podaj następujące parametry tej
zmiennej:
0
Modalna zmiennej X Mo(X)
0
Mediana zmiennej X Me(X)
0
Pierwszy kwartyl zmiennej X Q1,4(X)
0,3
Błąd modalnej zmiennej X b(X)
Do zbiorowości, w której błąd modalnej wzrostu był równy
0,2 dołączono dwie osoby. Okazało się, że pierwsza osoba
jest niższa od wszystkich innych a druga wyższa, czy w
rezultacie tej zmiany
N
Mediana wzrosła
N
Modalna się zmieniła
T
Rozstęp wzrósł
T
Wariancja się zmieniła
Zmienna X przyjmuje wyłącznie wartości ujemne. Zmienną X
poddano standaryzacji. Czy wynika z tego, że:
zmienna standaryzowana przyjmuje nadal wyłącznie N
wartości ujemne
wariancja zmiennej standaryzowanej jest mniejsza od N
jej wartości średniej
N
Średnia zmiennej przed standaryzacją jest równa
wartości średniej zmiennej standaryzowanej
T
błąd modalnej zmiennej przed standaryzacją jest
równy błędowi modalnej zmiennej standaryzowanej
Członkowie czteroosobowej rodziny zważyli się. Okazało się,
że każdy ma inną wagę. Czy w tej sytuacji maksymalną
wartość przyjmują:
N
Wariancja wagi
T
Błąd modalnej wagi
N
Średnia wagi
N
Odchylenie przeciętne od mediany wagi
TŁUMACZENIE ZDAŃ [12 pkt]
Opisujemy pewną zbiorowość szachistów za pomocą następujących zmiennych:
X – liczba wygranych turniejów międzynarodowych
Y – czy gra w szachy z komputerem (0-nie; 1-tak)
Z – czy pisze podręczniki do gry w szachy (0-nie; 1-tak)
W – wiek (w latach)
Wyjaśnij (na osobnej kartce) znaczenie poniższych zapisów, nie odwołując się do terminologii statystycznej nie
występującej w potocznym języku:
a) E(Z|X≥8) < E(Z|X<8)
™ Częściej można spotkać zawodnika piszącego podręczniki do gry w szachy wśród szachistów, którzy
wygrali co najmniej 8 turniejów, niż wśród takich, którzy wygrali mniej niż 8 turniejów
b) Me(W)=49
™ Co najmniej połowa szachistów ma nie więcej niż 49 lat i co najmniej połowa ma nie mniej niż 49 lat.
Zapisz (na osobnej kartce) za pomocą symboli statystycznych następujące zdania:
c) Najmłodszy z szachistów, którzy wygrali więcej niż 10 turniejów międzynarodowych ma 65 lat
™ Min(W|X>10)=65
d) Wśród szachistów, którzy piszą podręczniki, mających mniej niż 40 lat, 60% gra w szachy z
komputerem.
™ E(Y|Z=1 & W<40)=0,6 lub P(Y=1|Z=1 & W<40)=0,6
COLLEGIUM CIVITAS
g.13:00
ZADANIA [53 PKT]
Uwaga!
Wszystkie odpowiedzi należy uzasadnić.
Rozwiązania bez uzasadnienia nie będą punktowane
Zadanie 1. [16 pkt]
Zbadano pracowników pewnego zakładu i określono następujące zmienne: X – wiek
(w latach);
Y – grupa dochodowa (1 – niskie dochody; 2 – średnie dochody; 3 – wysokie dochody); Z – ocena wydajności pracy wystawiona
przez managera (1, 1+, 2, 2+, 3, 3+, 4, 4+, 5) oraz W – miejsce urodzenia (województwo).
Dla każdej z tych zmiennych wpisz, na jakiej skali została zmierzona oraz zaznacz (wstawiając znak „+” w odpowiednią kratkę), które z
wymienionych parametrów można sensownie wyznaczyć dla danej zmiennej. Jeśli jakiegoś parametru nie można wyznaczyć, należy w
odpowiednią kratkę wstawić znak „–”.
Zmienna
X
Y
Z
W
skala
Stosunkowa
Porządkowa
Porządkowa
Nominalna
Mo
+
+
+
+
Me
+
+
+
-
E
+
-
b
+
+
+
+
d
+
-
Zadanie 2. [18 pkt]
Grupa 8 dzieci na podwórku grała w piłkę. Jedna z obecnych przy tym mam zanotowała następujące dane:
Nr kolejny
Liczba zdobytych
Liczba bójek
a) Skonstruuj rozkład łączny liczebności zmiennych X i Y;
dziecka
bramek (X)
z kolegami (Y)
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
1
2
1
1
2
0
0
1
0
0
0
1
2
2
b)
Wyznacz następujące częstości warunkowe:
P(X=0|Y=2)
P(Y=0|X=2)
c)
Skonstruuj rozkład częstości zmiennej E(X|Y)
d)
Oblicz Me(X|Y=0)
a) Rozkład łączny liczebności zmiennych X i Y
X\Y
0
1
2
razem
0
1
2
1
4
1
2
1
razem
2
1
2
2
b) częstości:
™ P(X=0|Y=2) = ½
™ P(Y=0|X=2) = ½
2
4
2
8
c) Rozkład częstości E(X|Y)
E(X|Y)
E(X|Y=0)
E(X|Y=1)
E(X|Y=2)
Razem
P
½
¼
¼
1
Obliczenia:
E ( X | Y = 0) =
0+2+2
= 1;
4
E(X|Y)
1
razem
E ( X | Y = 1) =
Wszystkie średnie warunkowe wynoszą 1.
d) Mediana warunkowa: Me(X|Y=0)=1.
⎧
⎪⎪ P( X ≤ 1) =
⎨
⎪ P( X ≥ 1) =
⎪⎩
3
4
3
4
P
1
1
2
= 1;
2
E ( X | Y = 2) =
0+2
=1
2
D2
+
-
COLLEGIUM CIVITAS
g.13:00
Zadanie 3. [19 pkt]
W firmie „Wykresik” zajmującej się badaniami rynku są dwa działy: dział badań ilościowych, w którym zatrudnionych jest 16
osób oraz dział badań jakościowych z 24 osobami. W poniższej tabeli znajdują się parametry zmiennej „miesięczne zarobki w
tysiącach PLN”.
Wyznacz, najdokładniej jak to możliwe, wartości parametrów nie podane w tej tabeli.
pracownicy
RAZEM
działu ilościowego
działu jakościowego
N
16
24
40
średnia
3
3,5
3,3
wariancja
8,1
8,6
8,46
modalna
(nie wiadomo)
2,8
2,8
mediana
2,8
2,8
2,8
odchylenie przeciętne od mediany
3,85
4,1
4
Agregacja średnich:
16
24
+ E( X | Y = J ) * ,
40
40
3,3 − 1,2 21
czyli po rozwiązaniu tego równania: E ( X | Y = J ) =
=
= 3,5
0,6
6
E ( X ) = E[ E ( X | Y )] , w tym przypadku: 3,3 = 3 *
Agregacja wariancji
1 6 4
* * = 0,06
4 10 10
E[ D 2 ( X | Y )] = 8,1 * 0,4 + 8,6 * 0,6 = 8,4
D 2 ( X ) = 8,4 + 0,06 = 8,46
D 2 [ E ( X | Y )] = (3,5 − 3) 2 * 0,4 * 0,6 =
Agregacja median
Me(X)=2,8 – bo mediany warunkowe są jednakowe
Agregacja odchyleń przeciętnych
d ( X ) = E[d ( X | Y )] , ponieważ mediany warunkowe są jednakowe, a zatem:
d ( X ) = 3,85 * 0,4 + 4,1 * 0,6 = 4