Wielomiany

ALGEBRA LINIOWA 1
Specjalna lista zadań*
Uwaga. Lista zawiera tylko zadania "z gwiazdką" - znacznie trudniejsze i nietypowe. Jest ona przeznaczona dla studentów
pragnących głębiej zastanowić się nad tematyką kursu. Lista jest przygotowana również z myślą o tych osobach, które zamierzają ubiegać się w przyszłości o ocenę celującą 5,5 z kursu ALGEBRA LINIOWA 1, ALGEBRA Z GEOMETRIĄ
ANALITCZNĄ lub innych kursów o podobnej tematyce. Prezentowane tu zadania pojawiły się na egzaminach na ocenę
celującą organizowanych od roku 1995.
2. Wielomiany
2.1*
2.2*
Znaleźć wszystkie liczby całkowite p , dla których wielomian P ( x ) =
x 13 + x + 90 jest podzielny przez wielomian Q ( x ) = x 2 − x + p .
(cel-02-4)
Znaleźć liczby wymierne p, q , dla których liczba x 1 = 3 +
pierwiastkiem wielomianu W ( x ) = x 4 + px 2 + q .
(ce1-13-2)
3
2 jest
2 + 5 + 3 2 − 5 jest wymierna.
2.3*
Uzasadnić, że liczba
2.4*
Znaleźć resztę z dzielenia wielomianu x 2000 + x 1999 + 2001 przez wielomian
( x2 + 1 )2 .
(cel-09-1)
Czy istnieje wielomian W stopnia 2002 , który spełnia warunki
W(1) = W(2) = W(3) = ... = W(2001) = 1 oraz W(2002) = 2,
W(2003) = 3. Odpowiedź uzasadnić.
(ce1-15-2)
2.5*
2.6*
2.7*
2.8*
(cel-10-2)
Wielomian stopnia mniejszego od 2005 spełnia warunek
W (1) = W (2) = ... = W (2005) .
Podać wartość W (2006) − W (0).
(cel-17-2)
Pokazać, że wielomiany z 4 − z 3 + z 2 + 2z − 6 , z 4 + z 3 + 3z 2 + 4z + 6
mają wspólne pierwiastki zespolone.
(cel-16-2)
Liczby zespolone z 1 , z 2 , …, z 9 są pierwiastkami wielomianu
9
W ( z ) = z 9 + 13z 8 + 5z − 2 . Obliczyć sumę Σ z 2i .
(cel-03-2)
Prosta y = mx + b przecina wykres funkcji y = 2x 5 − x 3 + 4x 2 + 3x − 7
w pięciu różnych punktach ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ..., ( x 5 , y 5 ) . Pokazać,
x1 + x2 + … + x5
że liczba
nie zależy od parametrów m i b .
5
(cel-01-3)
i=1
2.9*
2.10* Liczby zespolone α, β, γ są pierwiastkami wielomianu x 3 + x + 1 . Obliczyć
wartość wyrażenia
1
α+i
+ β 1+ i + γ 1+ i
.
2.11* Liczby zespolone α, β, γ są pierwiastkami wielomianu
W ( z ) = z 3 + ( 1 − 2i ) z + 3 − 5i. Uzasadnić, że α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ .
(cel-08-2)
(cel-04-1)
2.12* Wielomian W ( z ) = z n + a n−1 z n−1 + ... + a 1 z + a 0 ma współczynniki
rzeczywiste. Pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba z 0 = e iϕ , gdzie
ϕ ∈ R . Uzasadnić równość
a n−1 sin ϕ + a n−2 sin 2ϕ + ... + a 1 sin [ (n − 1) ϕ ] + a 0 sin nϕ = 0.
(cel-06-1)
2.13* Wielomian x 2001 + x 2000 + ... + x + 1 rozłożyć na czynniki rzeczywiste.
(cel-11-2)
2.14* Wykorzystując rozkład wielomianu x 2n − 1 na czynniki rzeczywiste uzasadnić
równość:
3π
π
sin 2n
⋅ sin 2π
⋅
sin
⋅ ... ⋅ sin
2n
2n
( n−1 )π
2n
=
n
2 n−1
.
(cel-18a-2)
2.15* Zbadać, czy istnieje wielomian zespolony W taki, że
W 2 ( z ) = z 2002 + z 2001 + z 2000 + ... + z + 1 .
2.16* Znaleźć niezerowy wielomian o współczynnikach całkowitych, możliwie najniższego stopnia, którego pierwiastkami są liczby
4kπ
e 101 i , gdzie k = 1, 2, 3, ..., 50 .
(ce1-14-1)
(ce1-18-2)
2.17* Niech f ( x ) = x 2 + 12x + 30 . Znaleźć wszystkie pierwiastki zespolone równania
f{f[f(x)]}=0
.
(ce1-14-3)
2.19* Adam napisał i ukrył wielomian W ( x ) pewnego stopnia o nieujemnych współczynnikach całkowitych. Bartek chce odgadnąć ten wielomian. Adam może mu
podać wartość wielomianu dla dowolnego argumentu wymiernego x . Pokazać,
że Bartek może odgadnąć wielomian zadając tylko dwa pytania, przy czym drugie
(cel-19-1)
po uzyskaniu odpowiedzi na pierwsze z nich.
Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas
październik 2007