Ciekawe ciągi - Seminarium z popularyzacji matematyki, 05.2009r.

Ciekawe ciągi
Arkadiusz Męcel
Seminarium monograficzne: popularyzacja matematyki
4 maja 2009r.
Referat ten ma na celu prezentację kilku ciągów liczb naturalnych, które mogą
się z różnych względów wydawać niezwykłe. Głównym naszym celem jest wzbudzenie zainteresowania słuchaczy mnogością niezwykłych pomysłów kryjących
się za... przypadkowo, jak by się wydawać mogło, dobranymi zestawami pierwszych kilku wyrazów...
Na rozruszanie komórek pobawmy się w zgadywanie – jaką regułą rządzi się
ciąg, którego pierwsze kilka pojawi się poniżej?
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9
Ciąg ów (A001462) jest, jak na początek, dość niezwykły. Reguła mówi bowiem,
że a(n) to ilośc wystąpień liczby n w całym ciągu. Niezbyt to, na pierwszy rzut
oka, rekurencyjna definicja. Czytelnik dostrzeże jednak z łatwością, że jest to
tylko pozór... Na ironię, rozwiewa się on dopiero w obliczu znajomości reguły.
• (A019460) 2, 3, 3, 5, 10, 13, 39, 43, 172, (177) – dodaj 1, pomnóż przez 1,
dodaj 2, pomnoż przez 2...
• (A004000) 1, 2, 4, 8, 16, 77, 145, 668, 1345, 6677, 13444, 55778 – dodaj odwrotność i posortuj...
A teraz czwarty, przewrotny – wypada ostrzec – przykład... Rozważmy ciąg
(A135385), którego pierwsze 9 elementów wygląda całkiem znajomo:
1,
2,
3,
4,
5,
1
6,
7,
8,
9
Jaki więc będzie 10. wyraz ciągu? 10? To by było za proste... Jest to bowiem
2592. Nasz ciąg ma więc teraz postać:
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
2592
Podajmy dla ułatwienia 11. wyraz ciągu:
24547284284866560000000000.
Matematyk wie, że w takich przypadkach zawsze można uratować się wielomianami interpolacyjnymi i mądrze oznajmić: wielomian takiego, a takiego stopnia
ma zadane wartości w punktach od 1 do 12. Ale nie o to chodzi! Czy można regułę tworzenia tego ciągu opisać inaczej? Czy podpowiedzią będzie ujawnienie,
że angielska nazwa tego ciągu to:
P OW ERT RAIN ?
A może raczej:
P O W E RT RA I N ?
Wszystko jasne! Przecież 25 92 = 2592! Czy to przewrotna wyobraźnia kazała
autorowi wymyślić tak diabelskie dzieło? Otóż nie! Pomysłodawcami powertraina są słynni w matematycznym świecie łowcy ciągów: Neil Sloane oraz Martin
Gardner. Pierwszy z nich jest prawdziwym miłośnikiem ciągów. Jest też twórcą słynnej internetowej encyklopedii ciągów. Nazbierał ich tam już ponad 150
tysięcy. Choć do wypełnienia Arki wciąż brakuje nie nawet przeliczalnie, ale
wręcz nieprzeliczalnie wielu okazów, Sloane ma już w swojej kolekcji prawdziwe
dziwolągi...
Wracając jeszcze do omawianego wyżej ciągu... Nie wiadomo, czy jest on w ogóle nieskończony. Ba! Nie wiadomo, czy istnieje jakikolwiek jego wyraz większy
od 24547284284866560000000000. Jest to sympatyczny, choć zapewne niezbyt
ważki dla matematyki problem otwarty.
Pobawmy się dalej w zgadywanie na podstawie jakiej reguły powstaje dany ciąg.
Przy tej okazji wynikną kolejne ciekawe pomysły...
2
Przykład sprzed prawie 40 lat. Znajdź kolejny wyraz ciągu:
679,
378,
168,
48,
32.
Po chwili namysłu widać, że jest to 6. Każdy kolejny element powstaje poprzez
wymnożenie cyfr poprzedniego. Widać, że możemy wystartować od dowolnej
liczby naturalnej n, niekoniecznie od 679? Czy zawsze dotrzemy do liczby jednocyfrowej? Oczywiście tak, przecież iloczyn cyfr danej liczby jest zawsze od
niej mniejszy, prawda? W ten sposób po k(n) krokach dojdziemy do liczby jednocyfrowej. k(n) nazywamy persistence, czyli po polsku na przykład: oporność
liczby n. A nasz ciąg? (A003001) składa się, dla kolejnych n z najmniejszych
takich p(n), że k(p(n)) = n. Jednym słowem – z najmniejszych takich, że ich
oporność to n. W 1973r. Sloane i Gardner poświęcili temu zacnemu ciągowi cały
artykuł, który zwieńczyli teorią, że jest on skończony. Co to znaczy skończony?
Znaczy to tyle, że być może nie istnieje liczba o oporności 12? Żadnej takiej do
dziś nie znamy.
Wkracza tu na scenę interesująca prawidłowość związana z zabawą ciągami.
Gdy definiujemy ciąg ’życzeniowo’ (a więc życzymy sobie, by pewna własność
zaszła, pewna procedura była zawsze wykonalna w skończenie wielu krokach)
może się okazać, że zupełnie nie mamy pojęcia jak jej wykonalności (w dowolnym
sensie) dowodzić. Jednym z przykładów jest kolejny dziwoląg z kolekcji Sloane’a
(A033865). Jak określić n − ty wyraz sn tego ciągu? Bierzemy n. Jeśli jest to
liczba palindromiczna, wówczas sn = n. Jeśli nie, to do n dodajemy n z cyframi
w odwróconej kolejności i dostajemy nową liczbę. A potem znowu dodajemy aż dostaniemy palindrom. I tenże palindrom jest wyrazem sn . Przykład? Niech
n = 19. Wówczas:
19 + 91 = 110,
110 + 011 = 121.
Zatem s19 = 121.
Definicja jest jak najbardziej życzeniowa. No bo dlaczego w ogóle uda się nam
zawsze dostać palindrom? Nie wiadomo... I to nie w jakimś abstrakcyjnym tego
stwierdzenia znaczeniu. Nie wiadomo tego już dla 196 ...
3
Jedną z najciekawszych funkcji encyklopedii Sloane’a jest możliwość wpisania
dowolnego skończonego ciągu liczb w nadziei, że słynny łowca lub rozsiani po
całym świecie jego pomocnicy odnaleźli okaz, którego kolejnymi wyrazami są
obiekty naszego zainteresowania. Wpisanie prostej sekwencji od 1 do 9 nie nakieruje nad od razu na powertrain! Będziemy musieli przeszukać 150 stron wyników, zawierających 1495 ciągów. Nie ma w tym jednak nic dziwnego. Dominują
dość sztucznie utworzone ciągi np. c(n), zwracający najmniejszą wielokrotność
n, której suma cyfr wynosi dokładnie n. Nic prostszego - takich ciągów można
wyprodukować wiele...
Wpiszmy więc inny znajomy ciąg:
1, 2, 4, 8
Ile potencjalnych ciągów zawierających tę sekwencję umiemy wskazać? Sloane
ma ich ponad 1000. Jedna opcja to oczywiście potęgi 2? Umiemy wymyślić coś
więcej? Oto kilka mniej, lub bardziej interesujących możliwości:
• (Proste) Liczby takie, że suma ich dzielników jest nieparzysta.
• (A000125) Cake numbers, a więc maksymalna liczba kawałków, na które
można podzielić sześcian n planarnymi cięciami. Jaki jest 5. wyraz? 15. A
szósty? 26.
• (A000127)Załóżmy, że n punktów leży na okręgu. Prowadzimy cięciwy o
końcach w tych punktach. Na ile obszarów zdołamy maksymalnie podzielić
koło ograniczone przez wyjściowy okrąg? Dla małych n są to: 1, 2, 4, 8,
16, 31. O tym mógł Czytelnik wiedzieć... A czy wiadomo Czytelnikowi, że
a(n) to po prostu suma pierwszych 5 elementów (o ile aż tyle ich tam jest)
w n – tym wierszu trójkąta Pascala?
• (A089473) Rozważmy znaną zabawkę, w której mamy obrazek złożony z
8 elementów i jednym okienkiem wolnym. Mamy przesunąć wszystko tak,
by powstał obrazek. a(n) mówi ile jest możliwych konfiguracji startowych
takiej zabawki jeżeli mamy ją ułożyć w dokładnie n ruchów. Jest to bardzo
dziwny ciąg. W okolicach 20 ma on wartości rzędu 20000, a dla 31 ma on
wartość 2...
4
Jeśli dołożymy jeszcze 16, 32 i 64 pojawiają się kolejne, coraz to nowsze ciągi...
A wraz z nimi coraz dziwniejsze definicje. Na ile maksymalnie regionów można
podzielić 5 wymiarową przestrzeń n 4 wymiarowymi sferami? Albo jakie są szanse przeżycia w rosyjskiej ruletce? Ile dokładnie podzbiorów zbioru {1, 2, . . . , n}
zawiera dokładnie jeden kwadrat (aż do 128 pasuje)?
Na koniec o ciągu ważnym. Jest wiele ciągów ważnych i o żadnym takim nie było
dotąd mowy. Wystartujmy od tego, czym jest zapis przy tzw. super zasadzie 2.
Otóż, bierzemy liczbę, np. 11 i rozkładamy ją w bazie dwójkowej:
11 = 23 + 21 + 20 .
Teraz, także wykładniki zapisujemy tak, by były w bazie 2 (i wykładniki wykładników itd...). Dla ułatwienia oznaczamy 20 jako 1. Dla 11 jest to:
11 = 22+1 + 21 + 1.
Każdą liczbę naturalną umiemy przedstawić w ten sposób. Zdefiniujmy przykładowy ciąg Goodsteina, bo o nim mowa. Zrobimy to dla liczby 3 (każda liczba
naturalna ma swój własny egzemplarz tego ciągu). G0 = 3. Startujemy więc
od wybranej liczby naturalnej. Teraz, G1 będzie zapisem 3 przy super zasadzie 2, a więc: G1 = 2 + 1 = 3. Ważny jest kolejny krok! G2 powstaje przez
zamianę w zapisie 2 + 1 wszystkich dwójek na trójki i odjęcie 1. Działa to w
ogólnym przypadku, np. dla 11 byłoby to 33+1 + 3 + 1 − 1. Dla trójki jest to
G2 = 3 + 1 − 1 = 3. Przy G3 zamieniamy trójki na czwórki i znowu odejmujemy
1. Mamy więc: G3 = 41 − 1 = 1 + 1 + 1. Zauważmy, że cały czas zależy nam na
tym, by zapis nowo powstałego elementu Gn był przy super zasadzie n + 1. Zauważmy, że dalej już nic nie będziemy podmieniać, a tylko odejmować. A więc:
G4 = 1 + 1 + 1 − 1, zaś G5 = 1 + 1 − 1 i ostatecznie przy G6 0. Pokazaliśmy
jak wygląda konstrukcja i wiadomo już jak ją przenieść na dowolny element
startowy. Pytanie – czy to przypadek, że ostatecznie ciąg nam się wyzerował?
Otóż nie! Ale czy potrafimy to udowodnić? Otóż odpowiedź brzmi – nie zawsze!
Jest to drugi w historii przykład twierdzenia, którego nie da się udowodnić ani
obalić na gruncie aksjomatyki Peano liczb naturalnych. Był to swego czasu dość
sensacyjny wynik. I nie tak dawny znowu, bo z 1982 roku. A na koniec odpowiedzmy sobie na pytanie – dlaczego jednak to twierdzenie jest prawdziwe? Z
kursu logiki, czy wstępu do matematyki możemy pamiętać, że aksjomaty Peano
5
te są twierdzeniami teorii ZF. O ile tylko aksjomaty teorii ZF są niesprzeczne, to
twierdzenie Goodmana możnaby dopisać jako kolejny niezależny aksjomat. Jeżeli jednak dorzucimy pewnik wyboru i wprowadzimy na scenę prawa rządzące
w pozaskończonym świecie liczb porządkowych, wówczas możemy juz wyprodukować zupełnie ścisły i całkiem nietrywialny dowód wspomnianego wyżej faktu.
Na tym zapewne wypada zakończyć. Materiału jest chyba na więcej niż 45
minut.
6