PRZEPŁYWY MIĘDZYGAŁĘZIOWE. tablica przepływów

[1]
PRZEPŁYWY MIĘDZYGAŁĘZIOWE.
Jedną z metod analizy zaleŜności występujących w procesach
tworzenia i podziału produkcji materialnej są metody przepływów
międzygałeziowych (analizy nakładów i wyników, analizy inputoutput).
Elementarnym opisem układu jest tutaj tzw.
tablica przepływów międzygałęziowych
(tutaj: ujęcie wartościowe w [zł])
dział
produkcja
globalna
przepływy międzygałęziowe [xij]
produkcja
finalna
Xi
xi1
xi2
xi3
xi
1
2
3
800
1000
600
400
160
160
200
400
200
120
120
180
80
320
60
koszty
materiałowe
1940
720
800
420
460
płace Vj
345
60
150
135
x
zyski Mj
115
20
50
45
x
wartość
dodana Dj
460
80
200
180
x
produkcja
globalna Xj
2400
800
1000
600
x
Podstawowe wielkości występujące w bilansie PM zdefiniowano w
boczku i główce powyŜszej tablicy PM.
Matematyczny opis powiązań ujętych w tablicy PM nosi nazwę
modelu PM,
(modelu nakładów i wyników, modelu input-output)
[2]
Podstawowe załoŜenia dla rozpatrywanej tutaj najprostszej
wersji modelu PM to:
1. układ daje się podzielić na n wzajemnie ze sobą powiązanych
działów (gałęzi),
2. układ jest układem odosobnionym, tj. bez powiązań zewnętrznych.
Fudamentalnym pojęciem modelu PM jest pojęcie
współczynnika techniczno-finansowego (kosztów)
bij =
 b11 b12
b
b22
21

B=
 ... ...

bn1 bn 2
xij
Xj
... b1n 
... b2 n 

... ...

... bnn 
Interpretacja:
jaka wartość produkcji działu "i" musi być
zaangaŜowana w wytworzenie produkcji o wartości 1 zł w dziale "j"
W przykładowym układzie
 0.5 0.2 0.2

xij  

0
.
2
0
.
4
0
.
2
=
B = bij =
 

X
j 

0.2 0.2 0.3
Układ równań bilansowych produkcji globalnej (Xi)
Bilans podziału produkcji globalnej
wartość produkcji globalnej =
zuŜycie produkcyjne + produkcja finalna (końcowa)
n
X i = ∑ xij + xi
(i = 1,2,..., n )
j =1
n
X i = ∑ bij X j + x i
j =1
(i = 1,2,..., n )
[3]
 X1 
X 
X =  2
 ... 
 
X n 
 x1 
 b11 b12
x 
b
b22
2
21



x=
B=
 ... 
 ... ...
 

x
 n
bn1 bn 2
... b1n 
... b2 n 

... ...

... bnn 
Układ równań bilansowych w zapisie macierzowym
X = BX + x ⇒ x = X − BX
(∗)
x = ( I − B) X
(∗∗)
X = ( I − B) −1 x
(∗
∗) Macierz (I-B) nazywana jest macierzą struktury technicznofinansowej (lub macierzą Leontieff'a w ujęciu finansowym). Jej
elementy interpretujemy następująco:
"o ile wzrośnie produkcja finalna w dziale 'i' jeŜeli produkcja
globalna w dziale 'j' wzrośnie o 1 zł"
 0.5 − 0.2 − 0.2
(I − B ) = − 0.2 0.6 − 0.2
0.7
 − 0.2 − 0.2
(∗
∗∗)
Macierz (I-B)-1 nazywana jest macierzą współczynników
materiałochłonności (lub dodatkowego zapotrzebowania) w ujęciu
finansowym. Jej elementy interpretujemy następująco:
"o ile zł naleŜy zwiększyć produkcję globalną w dziale 'i' aby
produkcja finalna (końcowa) w dziale 'j' wzrosła o 1 zł"
(I − B )−1
3.115 1.475 1.311
= 1.475 2.541 1.148


 1.311 1.148 2.131
( w przybliŜeniu)
[4]
Układ równań bilansowych produkcji globalnej (Xj)
Bilans tworzenia produkcji globalnej (równanie kosztów)
Wartość produkcji = koszty materiałowe + płace + zyski
X j = ∑ xij + (M j + V j )
n
( j = 1,2,..., n )
i =1
n
( j = 1,2,..., n )
X j = ∑ bij X j +D j
i =1
Warunek równowagi
cząstkowej układu
Układ gospodarczy jest w równowadze cząstkowej jeŜeli wartość
produkcji liczone wg
• bilansu podziału oraz
• bilansu powstania
są sobie równe, tj.
(i =
j; i, j = 1,2,..., n )
(i =
j; i, j = 1,2,..., n )
Xi = X j
n
∑x
j =1
+ x i = ∑ xij + (M j + V j )
n
ij
i =1
Warunek równowagi
ogólnej układu
Układ gospodarczy jest w równowadze ogólnej jeŜeli wartość
dodana w układzie jest równa produkcji końcowej (finalnej) układu.
n
∑D
j =1
∑ (M
n
j =1
n
j
= ∑ xi
i =1
+ V j ) = ∑ xi
n
j
i =1
[5]
Warunek samowystarczalności układu
Układ gospodarczy nazywamy samowystarczalnym jeŜeli dla
kaŜdego działu produkcja finalna (końcowa) jest nieujemna, tj.
xi ≥ 0
(i = 1,2,..., n )
x≥0
w zapisie macierzowym
Wyznaczanie przyrostów produkcji globalnych i produkcji finalnych
(końcowych)
JeŜeli zaplanowano przyrosty produkcji końcowych, to
wymagane zmiany (przyrosty) produkcji globalnych moŜna obliczyć,
przy załoŜeniu stałości powiązań międzygałeziowych, rozwiązując
następujący układ równań
n
∆X i = ∑ bij ∆X j + ∆xi
(i = 1,2,..., n )
j =1
a w zapisie macierzowym
∆X = (I − B) −1 ∆x
Na przykład
∆x1   20
∆x = ∆x2  = − 20
  

∆x3   40
∆X1  3.115 1.475 1.311  20 85.24
∆X = ∆X 2  = 1.475 2.541 1.148 × − 20 = 24.60

 
 
 

∆X3  1.311 1.148 2.131  40 88.50
JeŜeli zaplanowano przyrosty produkcji globalnych, to zmiany w
produkcjach finalnych (przyrosty) obliczyć, przy załoŜeniu stałości
powiązań międzygałeziowych, rozwiązując układ równań
∆x = (I − B)∆X
Na przykład
 ∆X 1  20
∆X =  ∆X 2  = 80
  

 ∆X 3  80
 ∆x1   0.5 − 0.2 − 0.2 20  − 22 
∆x =  ∆x2  =  − 0.2
0.6 − 0.2 × 80 =  28

   

 
0.7 80  36
 ∆x3   − 0.2 − 0.2
[6]
Tablica przepływów międzygałęziowych
(ujęcie ilościowe)
dział
produkcja
globalna
1 [szt]
2 [kg]
3 [m3]
przepływy międzygałęziowe [qij]
produkcja
finalna
Qi
qi1
qi2
qi3
qi
80
50
60
40
8
16
20
20
20
12
6
18
8
16
6
Fudamentalnym pojęciem jest tutaj
współczynnik techniczny
a ij =
qij
Qj
 a11 a12 ... a1n 

a
...
a
a
22
2n

A =  21
 ... ... ... ...


...
a
a
a
n2
nn 
 n1
Interpretacja:
ile jednostek produktu działu "i" musi być
zaangaŜowane w wytworzenie jednostki produktu działu "j"
W przykładowym układzie
 0.5 0.4 0.2

qij  
A = a ij =  = 0.1 0.4 0.1

Qj  

0.2 0.4 0.3
[7]
W ujęciu ilościowym rozwaŜa się wyłącznie układ równań
bilansowych produkcji globalnej (Qi)
Bilans podziału produkcji globalnej
wartość produkcji globalnej =
zuŜycie produkcyjne + produkcja finalna (końcowa)
n
Qi = ∑ qij + qi
(i = 1,2,..., n )
j =1
n
Qi = ∑ aijQ j + qi
(i = 1,2,..., n )
j =1
 a11 a12
 q1 
a
q 
a 22
2
21



q=
A=
 ... ...
 ... 

 
q
 a n1 a n 2
 n
 Q1 
Q 
Q =  2
 ... 
 
Qn 
... a1n 
... a 2 n 

... ...

... a nn 
Układ równań bilansowych w zapisie macierzowym
Q = QA + q ⇒ q = Q − AQ
(∗)
q = (I − A)Q
(∗∗)
Q = (I − A) −1 q
(∗
∗) Macierz (I-A) nazywana jest macierzą struktury technicznej. Jej
elementy interpretujemy następująco:
"o ile jednostek wzrośnie produkcja finalna w dziale 'i' jeŜeli
produkcja globalna w dziale 'j' wzrośnie o jednostkę"
 0.5 − 0.4 − 0.2
(I − A ) =  − 0.1 0.6 − 0.1
0.7
 − 0.2 − 0.4
[8]
(∗
∗∗)
Macierz (I-A)-1 nazywana jest macierzą współczynników
materiałochłonności (lub dodatkowego zapotrzebowania) w ujęciu
ilościowym. Jej elementy interpretujemy następująco:
"o ile jednostek naleŜy zwiększyć produkcję globalną w dziale 'i' aby
produkcja finalna (końcowa) w dziale 'j' wzrosła o jednostkę"
(I − A )−1
3.115 2.951 1.311
= 0.738 2.541 0.574


 1.311 2.295 2.131
( w przybliŜeniu)
Warunek samowystarczalności układu
Układ gospodarczy nazywamy samowystarczalnym jeŜeli dla
kaŜdego działu produkcja finalna (końcowa) jest nieujemna, tj.
qi ≥ 0
q≥0
(i = 1,2,..., n )
w zapisie macierzowym
Wyznaczanie przyrostów produkcji globalnych i produkcji finalnych
(końcowych)
Korzystamy tutaj z podobnego postępowania jak w ujęciu
wartościowym stosując odpowiednio wzory
∆q = (I − A)∆Q
oraz
∆Q = (I − A) −1 ∆q
[9]
Równanie cen
Z równania kosztów mamy:
X j = ∑ xij + (M j + V j )
n
( j = 1,2,..., n )
i =1
n
( j = 1,2,..., n )
X j = ∑ bij X j +D j
i =1
X j = Qj × p j
bij =
xij
Xj
=
qij × pi
Qj × p j
= aij
pi
pj
Dj = Qj × d j
n
Q j p j = ∑ aij
i =1
pi
Q j p j +Q j d j
pj
÷Q j
Układ równań cen ma postać:
n
p j = ∑ aij pi +d j
i =1
( j = 1,2,..., n )
[10]
Równanie cen - zapis macierzowy
n
( j = 1,2,..., n )
p j = ∑ aij pi +d j
i =1
 p1 
p =  M 
 pn 
 a11 L an1 
A T =  M O M 
 a1n L ann 
 d1 
d =  M 
d n 
p = AT p + d
p − AT p = d
(
(I − A )p = d
×I−A
T
(
p = I−A
)
T −1
d
)
T −1
lewostr.
[11]
Wyznaczanie cen
równowagi w układzie gospodarczym
JeŜeli dane są:
•
macierz współczynników technicznych A oraz
•
wektor jednostkowych wartości dodanych d (zyski+płace na
jednostkę wyrobu),
to wektor cen równowagi wyznacza się z układu równań:
p = (I − A T ) −1 d
jeŜeli przyjmiemy, Ŝe wektor jednostkowych
Przykładowo:
wartości dodanych (d) jest równy:
 d 1  1 
d = d 2  = 4
   
 d 3   3
przy
0.5 0.1 0.2
AT = 0.4 0.4 0.4
0.2 0.1 0.3
(liczby te mianowane są
w zł / jednostkę),
to wektor cen równowagi w układzie (p) będzie następujący
 p1  3.115 0.738 1.311 1 10 
p =  p 2  =  2.951 2.541 2.295 4 ≈ 20
   
  
 p 3  1.311 0.574 2.131  3 10 
(liczby te mianowane są
w zł / jednostkę)