5. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów rzeczywistych
Transkrypt
5. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów rzeczywistych
5. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów rzeczywistych Prostota równania Bernoulliego sprawia że stosowane jest ono również dla przepływu płynu lepkiego, mimo że w tym przypadku wszystkie przemiany energii są nieodwracalne. W przepływie między przekrojami 1-1 i 2-2 płyn lepki traci energię na skutek tarcia wewnętrznego jak i tarcia o ściankę kanału, tak więc całkowita energia przepływającego płynu w przekroju 1-1 jest większa od całkowitej energii w przekroju 2-2 i relację pomiędzy całkowitymi energiami w tym przypadku można zapisać: U 12 p1 U22 p + + z1 > + 2 + z2 2g ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g Jeżeli w powyższej zależności znak ">" zastąpimy przez "=” wówczas dla zachowania równości energii występującej po obu stronach równania konieczne jest zwiększenie prawej strony o energię straconą wskutek lepkości płynu, w wyniku czego otrzymamy równanie Bernoulliego dla płynu lepkiego: 2 2 U1 p U p + 1 + z1 = 2 + 2 + z 2 + hstr 2g ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g Człon hstr oznacza wysokość strat energii pomiędzy rozpatrywanymi przekrojami, które są sumą strat tarcia na długości rurociągu i wszystkich strat miejscowych na poszczególnych elementach rurociągu: hstr = λ ⋅ LU2 U2 + ∑ξ d 2g 2g gdzie: λ - współczynnik strat tarcia λ = f(Re, prędkości, chropowatości), ξ - współczynnik strat lokalnych ξ = f(rodzaju przeszkody, prędkości). 70 PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 5.1 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.2, str. 113) Przez przewód z poziomym kolanem przepływa woda. Zmierzona różnica poziomów wody w rurkach piezometrycznych przed i za kolanem wynosiła h = 20 mmH2O. Średnica przewodu d = 30 mm, strumień objętości przepływu Q = 1.5 dm3/s. Obliczyć wartość współczynnika straty lokalnej kolana. Dane: h = 20 mmH2O d = 30 mm Q = 1.5 dm3/s Wyznaczyć: ξ Rozwiązanie: 2 2 U1 p U p + 1 + z 1 = 2 + 2 + z 2 + hstr 2⋅g ρ⋅ g 2⋅ g ρ⋅ g 1-1 – przekrój, w którym wpływa czynnik do kolana 2-2 – przekrój, w którym wypływa czynnik z kolana U1 = U2 = U z 1 = z2 = 0 4 ⋅Q m π⋅d 2 ⇒U = = 2.12 2 4 s π⋅d Z równania Bernoulliego po uproszczeniu otrzymujemy stratę ciśnienia, spowodowaną zmianą kształtu geometrycznego kolana: p − p2 h ⋅ ρ ⋅ g h str = 1 = 0.02 m = ρ⋅g ρ⋅g którą możemy wyrazić wzorem: Q =U hstr = ξ ⋅ U2 ⇒ 2⋅ g ξ= 2 ⋅ g ⋅ hstr U 2 = 2 ⋅ 9.81 ⋅ 0.02 2.12 2 Otrzymujemy: ξ = 0.087 Zadanie 5.2 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.3, str. 113) W poziomym przewodzie o średnicy d = 25 mm zmierzono ciśnienie w dwóch przekrojach odległych o L = 8 m. Na podstawie różnicy wysokości ciśnień, która wynosiła h = 770 mmH2O, obliczyć współczynnik strat tarcia λ, jeśli prędkość wody w przewodzie U = 1.5 m/s. Dane: d = 25 mm L=8m h = 770 mmH2O U = 1.5 m/s Wyznaczyć: λ Rozwiązanie: 71 = 0.087 2 2 U0 p U p + 0 + z 0 = 1 + 1 + z1 + hstr 2g ρ⋅g 2g ρ⋅g U0 = U1 = U z0 = z1 = 0 Z równania Bernoulliego po uproszczeniu otrzymujemy różnicę ciśnień, określającą stratę ciśnienia na długości przewodu: h str = p0 − p1 h ⋅ ρ ⋅ g = = 0.77 m ρ⋅ g ρ⋅ g którą możemy wyrazić wzorem: LU2 d 2g Otrzymujemy: λ = 0.021 hstr = λ ⋅ ⇒ λ= 2 ⋅ g ⋅ h str ⋅ d L ⋅U 2 = 2 ⋅ 9.81 ⋅ 0.77 ⋅ 0.025 8 ⋅ 1.5 2 = 0.021 Zadanie 5.3 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.4, str. 114) Przewodem o średnicy d = 1 cm i długości L = 2 m przepływa woda z lewego zbiornika do prawego na skutek różnicy poziomów cieczy w zbiornikach. Jaka może być maksymalna wysokość Hmax, aby w przewodzie był przepływ laminarny? Uwzględnić tylko straty tarcia. Dane: Wyznaczyć: d = 1 cm Hmax L=2m Rozwiązanie: Dla uproszczenia pomijamy energię kinetyczną przepływającego płynu w przewodzie i zakładamy, że rozporządzalna wysokość H zostaje w całości zużyta na pokonanie straty tarcia w przewodzie: LU2 hstr = H = λ ⋅ d 2g W przepływie laminarnym współczynnik strat tarcia określamy zależnością: 64 λ= , Re wtedy: 32 L U 2 H= ⋅ Re d g W tym przypadku Hmax odpowiada prędkości Umax dla której liczba Remax wyniesie Re = 2300: Remax = H max = d ⋅ U max = 2300 ν 32 ⋅ L ⋅ ν 2 ⋅ Re max g ⋅d3 = 32 ⋅ 2 ⋅ ( 9 .8 ⋅ 10 −7 ) 2 ⋅ 2300 9 .81 ⋅ 0 .01 3 Po podstawieniu otrzymujemy: Hmax = 0.015 m 72 Zadanie 5.4 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.5, str. 114) Hartowniczy piec jest opalany olejem opałowym, zużycie którego wynosi m& = 300 kg/h. Gęstość oraz kinematyczny współczynnik lepkości oleju wynoszą odpowiednio: ρr = 880 kg/m3 i ν = 0.25 cm2/s. Określić ciśnienie oleju w przewodzie przed rozpylaczem, jeśli zbiornik z olejem opałowym znajduje się na wysokości H = 8 m nad osią rozpylacza. Długość przewodu L = 30 m, średnica d = 25 mm. Dane: m& = 300 kg/h = 0.0833 kg/s ρ = 880 kg/m3 ν = 0.25 cm2/s = 0.25 ⋅ 10-4 m2/s H=8m L = 30 m d = 25 mm Wyznaczyć: p Rozwiązanie: Strumień objętości wypływającej ropy: Q= m& ρ = 0.0833 m3 = 9.46 ⋅ 10 −5 880 s Prędkość średnia: U= Liczba Reynoldsa: Q 4 ⋅ Q 4 ⋅ 9.46 ⋅ 10 −5 m = = = 0 . 193 s S π ⋅ d 2 3.14 ⋅ 0.025 2 Re = U ⋅ d 0.193 ⋅ 0.025 = = 193 ν 0.25 ⋅ 10 −4 Liczba Re wskazuje na przepływ laminarny. Stratę ciśnienia na wskutek tarcia na długości L obliczamy z prawa Hagena-Poiseuille’a: π ⋅ ∆p ⋅ d 4 Q= 128 ⋅ µ ⋅ L 128 ⋅ Q ⋅ µ ⋅ L 128 ⋅ 9.46 ⋅ 10 −5 ⋅ 0.022 ⋅ 30 ∆p = = = 6509 Pa 3.14 ⋅ 0.025 4 π⋅d4 gdzie dynamiczny współczynnik lepkości µ = ν ⋅ ρ = 0.25 ⋅ 10 −4 ⋅ 880 = 0.022 Wysokość ciśnienia przed rozpylaczem: ∆p 6509 =8− = 7.25 m słupa oleju opałowego Ho = H − 880 ⋅ 9.81 ρ⋅g 73 kg m⋅s Zadanie 5.5 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.9, str. 115) Do otwartego zbiornika wypełnionego wodą podłączony jest przewód o średnicy d = 50 mm i długości L = 25 m. Obliczyć prędkość wypływu wody z przewodu, jeśli H = 5 m. Uwzględnić straty lokalne i tarcia, przyjąć: ξ1 = 0.5 (strata na wypływie ze zbiornika), ξ2 = 4 (strata na zaworze), λ = 0.03. Dane: d = 50 mm L = 25 m H=5m ξ1 = 0.5, ξ2 = 4 λ = 0.03 Wyznaczyć: U Rozwiązanie: Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1: 2 2 U0 p0 U1 p + + z0 = + 1 + z 1 + hstr 2g ρ⋅ g 2g ρ ⋅ g zakładając: U0 = 0, p0 = p1 = pa, z0 = H 2 h str 2 2 U U L U1 = λ⋅ + ξ1 ⋅ 1 + ξ 2 ⋅ 1 d 2g 2⋅ g 2g Podstawiając powyższe zależności do równania Bernoulliego, możemy określić wartość prędkości w przekroju wylotowym U1 = 2⋅ g ⋅H 2 ⋅ 9.81 ⋅ 5 m = = 2.18 1 + ξ1 + ξ 2 + λ ⋅ L / d 1 + 0.5 + 4 + 0.03 ⋅ ( 25 / 0.05 ) s Zadanie 5.6 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.11, str. 115) Woda znajdująca się w górnym zamkniętym zbiorniku pod ciśnieniem pn = 10000 N/m2 przepływa do dolnego, otwartego zbiornika. Określić strumień objętości wody, jeśli H1 = 10 m, H2 = 1 m, H3 = 2 m, średnica przewodu d = 100 mm, średnica odstojnika D = 200 mm, współczynnik straty lokalnej zaworu ξ5 = 4, promień kolan R = 100 mm. Straty tarcia w rurociągu pominąć. Współczynniki strat miejscowych wynoszą: ξ1 = 0.5, ξ2 = 0.29 dla R/d = 1, ξ3 = [1-(f/F)]2 = [1−(1/4)]2 = 0.56, ξ4 = 0.37 dla f/F = 1/4, ξ6 = 1. Dane: pn = 10000 N/m2 H1 = 10 m, H2 = 1 m, H3 = 2 m Wyznaczyć: Q 74 d = 100 mm, D = 200 mm R = 100 mm ξ1 = 0.5, ξ2 = 0.29, ξ3 = 0.56, ξ4 = 0.37, ξ5 = 4, ξ6 = 1 Rozwiązanie: Obieramy przekrój 0-0 na powierzchni zwierciadła w lewym zbiorniku i przekrój 1-1 na wylocie z przewodu do prawego zbiornika. Równanie Bernoulliego dla tych przekrojów: U 0 2 pa + pn U 1 2 p a + (H 3 − H 2 )ρ ⋅ g + + H1 = + + H 2 + hstr 2g ρ⋅ g 2g ρ⋅ g Sumaryczna strata energii wyraża się wzorem: 2 2 2 2 2 U1 U1 U1 U2 U1 hstr = ξ 1 ⋅ + 3⋅ξ2 ⋅ + ξ5 ⋅ + ξ4 ⋅ + ξ3 ⋅ 2⋅ g 2⋅ g 2⋅ g 2⋅ g 2⋅ g zakładamy: U0 = 0, U2 = U1(d/D)2 Podstawiając powyższe zależności do równania Bernoulliego, możemy określić wartość prędkości w przekroju 1-1: 2⋅ g ⋅( U1 = pn + H1 − H 3 ) ρ⋅g 1 + ξ1 + 3 ⋅ ξ 2 + ξ 4 + ξ 5 + ξ 3 ( d / D ) 4 = 10000 2 ⋅ 9.81 ⋅ + 10 − 2 1000 ⋅ 9.81 1 + 0.5 + 3 ⋅ 0.29 + 0.37 + 4 + 0.56 ⋅ (0.1 / 0.2) 4 = 5.12 Strumień objętości natomiast wynosi: Q= m3 π⋅d2 ⋅ U 1 = 0.041 4 s Zadanie 5.7 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.12, str. 116) Woda przepływa z górnego zbiornika do dolnego przez lewar o średnicy d = 50 mm i całkowitej długości L = 30 m. Określić: strumień objętości przepływu oraz podciśnienie w najwyższej część lewara, jeśli różnica poziomów wody w zbiornikach wynosi H = 4.5 m. Położenie górnego kolana h = 2.5 m, współczynniki strat tarcia λ = 0.03, kolan ξk = 0.29. Dane: l = 12 m. Gęstość wody przyjąć ρ = 1000 kg/m3. Dane: d = 50 mm L = 30 m, l = 12 m H = 4.5 m, h = 2.5 m λ = 0.03 ξk = 0.29 ρ = 1000 kg/m3 Wyznaczyć: Q, pa - p2 Rozwiązanie: Obieramy przekrój 0-0 na zwierciadle w lewym zbiorniku i przekrój 1-1 na wylocie z przewodu do prawego zbiornika. Równanie Bernoulliego dla tych przekrojów: 75 m s U0 2 p U 2 p + x⋅ ρ⋅ g + a +H +x= 1 + a + hstr 2g ρ⋅g 2g ρ⋅g U 2 L U 12 + 4 ⋅ξk ⋅ 1 d 2⋅ g 2⋅ g zakładamy: U0 = 0, x - głębokość zanurzenia wylotu. Podstawiając powyższe zależności do równania Bernoulliego, możemy określić wartość prędkości w przekroju 1-1: hstr = λ ⋅ U1 = m 2⋅ g ⋅H 2 ⋅ 9.81 ⋅ 4.5 = = 2.1 1 + 4 ⋅ ξ k + λ( L / d ) 1 + 4 ⋅ 0.29 + 0.03 ⋅ ( 30 / 0.05 ) s Strumień objętości wynosi: m3 s 4 Aby obliczyć ciśnienie w najwyższym punkcie przewodu, obieramy przekroje 0-0 i 2-2, dla których zapisujemy równanie Bernoulliego: Q= π ⋅d2 ⋅ U1 = 0.0041 U02 p U 2 p + a = 2 + 2 + h + hstr 2g ρ⋅ g 2g ρ⋅ g hstr 2 U 22 l U2 = λ⋅ + ξk ⋅ d 2g 2g U0 = 0, U2 = U1 Po uproszczeniu i przekształceniu równania Bernoulliego otrzymujemy: pa − p2 U 2 N l U 22 = λ⋅ + ξ k ⋅ 2 + h = 4.2 mH 2 O ≈ 42000 2g ρ⋅g d 2g m2 Zadanie 5.8 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.16, str. 116) Przez przewód o średnicy d = 75 mm wypływa woda ze zbiornika do atmosfery (na skutek różnicy poziomów H) w ilości Q = 8.1 dm3/s. Określić różnicę H i między poziomem cieczy w zbiorniku a wylotem z przewodu, jeśli długości odcinków wynoszą: L1 = 1 m, L2 = 6 m, L3 = 60 m, L4 = 3 m, L5 = 70 m; współczynnik straty lokalnej zaworu ξz = 4, współczynnik straty lokalnej kolana ξk = 0.29; współczynnik straty lokalnej kolana o mniejszej krzywiźnie ξ1 = 0.5; współczynnik strat tarcia λ = 0.028. Dane: d = 75 mm Q = 8.1 dm3/s L1 = 1 m, L2 = 6 m, L3 = 60 m, L4 = 3 m, L5 = 70 m ξz = 4, ξk = 0.29, ξ1 = 0.5 λ = 0.028 Wyznaczyć: H 76 Rozwiązanie: Układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1: U0 2 p0 U 12 p + +H = + 1 + hstr , 2g ρ ⋅ g 2g ρ⋅g gdzie suma strat energii wynosi: L U 2 U 2 U 2 U 2 hstr = λ ⋅ c 1 + 2 ⋅ ξ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ ξ k ⋅ 1 + ξ z ⋅ 1 , 2⋅ g 2⋅ g 2⋅ g d 2⋅ g przy czym całkowita długość rurociągu: Lc = L1 + L2 + L3 + L4+ L5. Zakładamy że : U0 = 0, ciśnienia w obu przekrojach kontrolnych są jednakowe p0 = p1 = pa. Prędkość U1 obliczamy natomiast z równania ciągłości: 4 ⋅Q U1 = π⋅d2 Podstawiając powyższe zależności do równania Bernoulliego, po przekształceniach znajdujemy wysokość H: L 4 ⋅ Q2 H= 2 4 1 + 2 ⋅ ξ1 + 2 ⋅ ξ k + ξ z + λ ⋅ c = d π ⋅d ⋅g = 4 ⋅ 0.00812 1 + 6 + 60 + 3 + 70 1 + 2 ⋅ 0.5 + 2 ⋅ 0.29 + 4 + 0.028 ⋅ = 5.82 m 2 4 0.075 3.14 ⋅ 0.075 ⋅ 9.81 ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA Zadanie 5.9 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.10, str. 115) Poziomy przewód o średnicy d = 150 mm i długości L = l1 + l2 (l1 = 10 m, l2 = 40 m) łączy dwa otwarte zbiorniki. W zbiornikach jest woda do wysokości H1 = 6 m, H2 = 2 m. Określić strumień objętości wody przepływającej z lewego zbiornika do prawego. Uwzględnić straty lokalne i tarcia: ξ1 = 0.5, ξ2 = 4, ξ3 = 1, λ = 0.03. m3 Odpowiedź: Q = 0.039 s Zadanie 5.10 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.13, str. 116) Określić maksymalny strumień objętości wody przepływającej przez rurę przelewową, jeśli H1 = 0.2 m, H2 = 5 m, współczynnik strat tarcia λ = 0.03, średnica przewodu d = 100 mm, długość przewodu L = 18 m, ξk = 0.29, ξ1 = 0.5 (H1 odległość od osi rury przelewowej do górnej krawędzi zbiornika). Odpowiedź: Q = 0.0285 m3 s 77 Zadanie 5.11 Do otwartego zbiornika wypełnionego wodą do poziomu H = 30 m podłączony jest przewód o długości L i średnicy d = 50 mm. Obliczyć ile wynosi długość przewodu L jeżeli prędkość wypływu wody z przewodu do atmosfery wynosi 2 m/s. Uwzględnić straty lokalne i tarcia, przyjmując: ξ1 = 0.5, ξ2 = 4, λ = 0.03. Ciśnienie powietrza nad lustrem wody i w miejscu wypływu wody z przewodu do otoczenia wynosi 760 mmHg. Odpowiedź: L = 236 m. Zadanie 5.12 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.23, str. 119) W zamkniętym zbiorniku zawierającym wodę, nad powierzchnią zwierciadła znajduje się gaz o ciśnieniu pn = 200 kN/m2. Na stałej głębokości H = 1 m pod zwierciadłem wody dołączono do zbiornika przewód o długości L = 15 m. Jaka jest średnica przewodu, jeśli strumień objętości wypływającej wody wynosi 3 Q = 7.36 dm /s?. Przyjąć współczynnik strat tarcia równy λ = 0.0144. Straty lokalne oraz energię kinetyczną wylotową pominąć jako małe w stosunku do strat tarcia. Odpowiedź: d = 0.034 m. Zadanie 5.13 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.24, str. 119) Woda przepływa z lewego zbiornika do prawego rurą o średnicy d = 40 mm i długości L = 50 m. Nadciśnienie w lewym zbiorniku pn = 120 kN/m2, różnica poziomów cieczy w zbiornikach wynosi H = 3 m. Jaki jest strumień objętości wody Q, jeżeli współczynnik strat lokalnych na wejściu wynosi ξ = 0.5 a współczynnik strat tarcia wynosi λ = 0.018. Odpowiedź: Q = 0.00357 m3/s. Zadanie 5.14 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.26, str. 119) Przez przewód o średnicy d1 = 20 mm i przy różnicy wysokości H = 1.5 m wypływa benzyna ze zbiornika do lejka umieszczonego na beczce. Wysokość lejka h = 100 mm, średnica wylotu rurki lejka d2 = 30 mm. Określić, czy przy pełnym otwarciu zaworu benzyna będzie wylewać się z lejka przez jego górną krawędź. Współczynnik straty lokalnej zaworu ξz = 3, kolanka ξk = 3. Straty tarcia pominąć. Odpowiedź: Q1 = 0.82 dm3/s, Q2 = 1 dm3/s, a więc benzyna nie będzie się wylewać z lejka. 78 Zadanie 5.15 Ze zbiornika z wodą o stałym poziomie H = 1.5 m wyprowadzony jest poziomo przewód o średnicy D = 7.5 cm i długości l = 5 m, przez który woda wypływa do atmosfery. Obliczyć strumień objętości przepływu z uwzględnieniem strat przepływu. Jak zmieni się strumień objętości przepływu gdy przewód zostanie przedłużony do l1 = 35 m ?. Jaki musi być poziom wody w zbiorniku aby przy dłuższym przewodzie utrzymać poprzedni strumień objętości przepływu ?. W obliczeniach zastosować metodę kolejnych przybliżeń przy założeniu, że błąd względny obliczenia prędkości nie może przekraczać 3%. Odpowiedź: Q = 17.4 dm3/s, Q1 = 8.1 dm3/s, H1 = 5.7 m. Zadanie 5.16 (poz. bibl. [3], zad. 6.6.6, str. 123) Woda z górnego zbiornika jest doprowadzana do zbiornika dolnego trzema przewodami o średnicach d1 = 20 mm, d2 = 30 mm, d3 = 60 mm i długościach l1 = l2 = l3 = 60 m, przy czym wysokość rozporządzalna H = 5 m. Jaka musi być średnica przewodu zastępczego aby jego strumień objętościowy przepływu był równy sumie strumieni objętościowych wody przepływającej przez poszczególne przewody?. Wartość współczynnika strat tarcia λ uzależniona jest od liczby Reynoldsa Re, natomiast straty miejscowe oraz energię wylotową wody pominąć. Przy obliczaniu prędkości przepływu zastosować metodę kolejnych przybliżeń przy założeniu, że błąd względny obliczenia nie może przekraczać 3%. Odpowiedź: dz = 65 mm, Qz = 8.65 dm3/s. 79