Project 2

Lid-driven cavity
Lid­driven cavity jest jednym z problemów najczęściej stosowanych do testowych nowych metod obliczeniowej mechaniki plynów. Ze względu na prostą geometrię oraz łatwe do zaimplementowania warunki brzegowe, przykład ten jest bardzo często wykorzystywany do sprawdzania poprawności kodów obliczeniowych. Standardowo przypadek ten odpowiada sytuacji, w której płyn porusza się wewnątrz kwadratowego zbiornika. Ruch wymuszony jest poprzez nadanie niezerowej prędkości stycznej jednej ze ścian, podczas gdy pozostałe ścianki pozostaja nieruchome (Rys. 1). Rys.1) Ilustracja dwuwymiarowego problemu lid­driven cavity. Górna ścianka porusza się z niezerową prędkością U w prawo, podczas gdy reszta ścian pozostaje w spoczynku. Omawiany problem jest świetnym przykladem testowym nie tylko ze wzgledu na prostotę i możliwość przeprowadzenia symulacji przeróżnymi metodami, ale przede wszystkim dzięki bardzo dużej ilości literatury omawiającej ten przypadek. Dobre zestawienie wyników do porównania z własnymi symulacjami znajdziemy choćby w pracy Ghia, Ghia, i Shin1 z 1982 r. Lattice Boltzmann method
Metoda gazu sieciowego Boltzmanna jest jedną z głównych metod obliczeniowej mechaniki płynów. W metodzie tej zamiast jawnie rozwiązywać równania Naviera­Stokesa, skupiamy się na rozwiązaniu dyskretnego równania Boltzmanna. W tym celu przestrzeń obrazujemy za pomocą regularnej sieci, w węzłach któreji definiujemy funckję rozkładu, obrazującą część płynu poruszającą sie w danym kierunku. Algorytmicznie procedura składa się z dwóch etapów: kroku kolizji, w którym brane pod uwagę są zderzenia między partiami płynu, oraz kroku przesunięcia, odpowiadającego za propagację funkcji rozkładu. Dla podstawowego modelu kolizji (BGK2) etapy te zpiasać moża zapisać jako: 1
2
http://200.17.228.88/CFD/bibliografia/Ghia_Ghia_Shin_1982.pdf P. L. Bhatnagar, E. P. Gross, and M. Krook, Phys. Rev. 94, 511 (1954) ●
krok kolizji: ●
krok przesunięcia: eq​
Występującą w kroku kolizji funkcję rozkładu stanu równowagi ƒ​
otrzymać możemy z równania i ​
3
Maxwella­Boltzmanna : Parametry symulacji
W metodach obliczeniowej mechaniki płynów szczególną uwagę należy zwracać na parametry symulacji. Ważną rolę odgrywają zarówno odpowiednio dobrane współczynniki, jak i warunki początkowe oraz brzegowe. Na potrzeby niniejszego projektu parametry symulacji dobrane zostały w taki sposób, że: ● współczynnik relaksacji: τ = 1 2​
● prędkość dźwięku: c​
= ⅓ S​
Skąd otrzymujemy następujące zależności4: ● lepkość kinetyczna: ν = ⅓*(τ ­ ½) ● liczba Reynoldsa: Re = d*u/ν, gdzie d ­ rozmiar charakterystyczny układu, u ­ prędkość ściany. Wyniki
Poniżej prezentowane są wyniki symulacji dwuwymiarowego problemu lid­driven cavity, rozwiązanego metodą gazu sieciowego Boltzmanna, na siatce o rozmiarach 128x128 l.u., dla różnych wartości liczby Reynoldsa (Rys. 2). Wyniki te różnią się nieco od rozwiązań prawidłowych, co spowodowane jest najprawdopodobniej prostą implementacją ruchu ściany. Prędkość wymuszona jest poprzez odgórne zadanie parametrów funkcji rozkładu stanu równowagi na górnej scianie. Podejście takie generuje pewne błędy mogocę negatywnie wpływać na wyniki symulacji. W celu otrzymania prawidłowego rozwiązania należy zastosować np. warunki zaproponowane przez Zou i He5, co planowane jest przez autora jako rozszerzenie niniejszego projektu. X. He and L. Luo,​
​
Phys. Rev. E 56, 6811 (1997) http://www.physics.buffalo.edu/phy411­506/2010/topic4/lec­4­5.pdf 5
Q. Zou and X. He, Phys. Fluids 9, 1591 (1997) 3
4
Rys.2) Wyniki symulacji problemu lid­driven cavity. Ilustracje przedstawiają rozwiązania dla liczb Reynoldsa kolejno: 1, 10, 100, 250, 500, 1000.