ANALIZA MATEMATYCZNA. ĆWICZENIA Teoria Liczb

ANALIZA MATEMATYCZNA. ĆWICZENIA
Teoria Liczb Rzeczywistych
ALEXANDER DENISJUK
1. Metoda Indukcji Matematycznej
n(n+1)
.
2
.
n2 = n(n+1)(2n+1)
6
3
Zadanie 1.1. 1 + 2 + · · · + n =
Zadanie 1.2. 12 + 22 + · · · +
Zadanie 1.3. 13 + 23 + · · · + n = (1 + 2 + · · · + n)2 .
Zadanie 1.4. Nierówność Bernoulliego: (1 + x1 )(1 + x2 ) . . . (1 + xn ) >
1 + x1 + x2 + · · · + xn , gdzie
(1) xi są liczbami rzeczywistymi, xi ∈ [0, +∞),
(2) xi są liczbami rzeczywistymi, xi ∈ (−1, 0].
2. Liczby niewymierne
√ √ √
Zadanie 2.1. Udowodnij niewymierność liczb: 3, 6, 3 2.
3. Kresy zbiorów
Zadanie 3.1. Niech A będzie zbiorem liczb wymiernych postaci m/n,
gdzie m i n są liczbami całkowitymi oraz 0 < m < n. Czy A ma element
największy? najmniejszy? Oblicz sup A, inf A.
Brak najmniejszego
i największego elementów, sup A = 1, inf A = 0
Zadanie 3.2. −A = { −x | x ∈ A } Udowodnij, że
(1) inf(−A) = − sup A,
(2) sup(−A) = − inf A.
Zadanie 3.3. A + B = { x + y | x ∈ A, y ∈ B } Udowodnij, że
(1) inf(A + B) = inf A + inf B,
(2) sup(A + B) = sup A + sup B.
Zadanie 3.4. A · B = { xy | x ∈ A, y ∈ B }. Niech ∀x ∈ A ⇒ x > 0,
∀y ∈ B ⇒ y > 0. Udowodnij, że
(1) inf(A · B) = inf A · inf B,
(2) sup(A · B) = sup A · sup B.
4. Wartość bezwzględna
Zadanie 4.1. Udowodnij,
że
(1) |x − y| > |x| − |y|,
(2) |x + x1 + · · · + xn | > |x| − (|x1 | + · · · + |xn |).
1
2
ALEXANDER DENISJUK
Nierówności:
Zadanie 4.2. |x + 1| < 0, 01.
(−1,01; −0,99)
Zadanie 4.3. |x − 2| > 10.
(−∞; −8] ∪ [12; +∞)
Zadanie 4.4. |x| > |x + 1|.
(−∞, − 21 )
Zadanie 4.5. |2x − 1| < |x − 1|.
(0, 32 )
Zadanie 4.6. |x + 2| + |x − 2| 6 12.
Zadanie 4.7. |x + 2| − |x| > 1.
(− 12 , +∞)
Zadanie 4.8. |x + 1| − |x − 1| < 1.
Zadanie 4.9. |x(1 − x)| < 0,05.
Zadanie 4.10. Udowodnij:
x + |x|
2
!2
[−6, 6]
(− 12 , 12 )
√
√
5− 30 5− 20
, 10
10
x − |x|
+
2
!2
∪
√
√
5+ 20 5+ 30
, 10
10
= x2 .
5. Obliczenia przybliżone
Zadanie 5.1. Który z dwóch pomiarów jest dokładniejszy: 10 cm ±
0,5 mm czy 500 km ± 200 m?
drugi
Zadanie 5.2. Ile poprawnych cyfr zawiera zapis x = 2,3752, jeżeli
względny bląd wynosi 1 %?
dwie
Zadanie 5.3. Oszacować względny i bęzwzględny błędy pomiaru x =
12,125, jeżeli zawiera on 3 poprawne cyfry.
0,41%
Zadanie 5.4. Boki prostokąta równe są
x = 2,50 cm ± 0,01 cm,
y = 4,00 cm ± 0,02 cm.
W jakim przedziale zawarte jest pole powierzchni tego prostokąta? Jaki
jest błąd względny i bezwzględny, jeżeli za przybliżenie przyjąć iloczy
średnich wartości boków?
9,9102 cm2 6 S 6 10,0902 cm2 , ∆ 6 0,0902 cm2 ,
δ 6 0,91%
Zadanie 5.5. Promień koła równy jest r = 7,2 m ± 0,1 m. Z jaką
dokładnością można obliczyć pole tego koła, jeżeli przyjąć π = 3,14?
δ 6 3,05%
Zadanie 5.6. Boki prostopadłościana równe są
x = 24,7 m ± 0,2 m,
y = 6,5 m ± 0,1 m,
z = 1,2 m ± 0,1 m.
W jakim przedziale zawarta jest objętość tego prostopadłościana? Jaki
jest błąd względny i bezwzględny, jeżeli za przybliżenie długości boków
przyjąć średnie wartości?
172,480 m3 6 V 6 213,642 m3 , V = 192,660 ± 20,982 m3 ,
δ ≈ 12%
ANALIZA MATEMATYCZNA. ĆWICZENIA
Teoria Liczb Rzeczywistych
3
Zadanie 5.7. Jaki powinien być względny błąd pomiaru boka kwadratu x (2 m < x < 3 m), żeby można było obliczyć pole tego kwadratu
z dokładnością 0,001 m2 ?
∆ 6 0,17 mm
Zadanie 5.8. Jakie powinny być bezwzględne błędy pomiaru boków
prostokątu x i y, żeby można było obliczyć pole tego prostokątu z dokładnością 0,01 m2 , jeżeli wiadomo, że boki są nie większe od 10 m?
∆ 6 0,0005 m
Zadanie 5.9. Udowodnij, że
δ(xy) 6 δ(x) + δ(y) + δ(x)δ(y),
gdzie δ jest błędem względnym.
Literatura
[1] Demidowicz B. P.: Zbiór zadań z analizy matematycznej; Naukowa Książka;
Lublin. 1992.