Zastosowania funkcji liniowej

Zastosowania funkcji liniowej
Problem:
Polskie Towarzystwo Małych Biznesmenów (TMB) chce zorganizować w jednym
z warszawskich hoteli trzydniową konferencję poświęconą funkcjonowaniu małego biznesu. Każdy
uczestnik zapłaci 1000 zł za uczestnictwo w konferencji. Suma ta pokrywa koszty pokoju, posiłków
i opłatę konferencyjną. Hotel żąda 40000 zł za możliwość korzystania z sali konferencyjnej
i urządzeń rekreacyjnych oraz 600 zł za pobyt każdego uczestnika konferencji (nocleg
i wyżywienie). Ilu Małych Biznesmenów powinno przyjechać na konferencję, aby przyniosła ona
zysk?
Badanie zagadnienia:
Utwórzmy dwie funkcje: dochodu D(n) i kosztu K(n), gdzie n oznacza liczbę uczestników
konferencji i jest liczbą naturalną. Łatwo zauważyć, że:
D(n)=1000n,
K(n)=40000+600n.
Możemy utworzyć również funkcję zysku Z(n)=D(n)-K(n).
Zorganizowanie konferencji będzie opłacalne dla TMB, jeśli zysk będzie dodatni, to znaczy
dochody będą większe od kosztów. Wartość argumentu n*, dla której zysk jest zerowy, nazywamy
punktem
opłacalności.
W przypadku modeli liniowych przedsięwzięcie będzie opłacalne, jeśli wartość argumentu będzie
większa od n*. Wartość n* można łatwo obliczyć z równania:
1000n = 40000+600n
lub odczytać z odpowiednio przygotowanego wykresu. W celu ilustracji graficznej problemu
skorzystamy z programu Funkcje i wykresy.
Na jednym układzie współrzędnych sporządzimy wykresy trzech funkcji wyrażających dochód,
koszt i zysk. Ponieważ w takim przypadku opis osi współrzędnych musi być jednakowy dla
wszystkich funkcji, więc nazwijmy oś pionową np. pieniądze, gdyż taka nazwa jest adekwatna do
wartości wszystkich trzech rozważanych funkcji. Po wprowadzeniu funkcji wyrażającej dochód
i funkcji wyrażającej koszt, funkcję zysku możemy utworzyć jako różnicę dwóch poprzednio
wprowadzonych funkcji. W tym celu należy wybrać z menu opcję Wprowadź i podopcję Wykres
różnicy funkcji. Ponieważ argumenty wszystkich funkcji należą do zbioru liczb naturalnych,
należy wybrać punktowy typ wykresu (Widok/Typ wykresu/Wykres punktowy). Zauważ,
że w przypadku szerokiego zakresu osi poziomej wykres ten w zasadzie nie różni się od wykresu
w postaci linii ciągłej. Spróbuj odpowiedzieć na pytanie – dlaczego?
Aby w pełni zilustrować problem i uniknąć niejasności przy identyfikowaniu poszczególnych
wykresów, można dowolne elementy ekranu opisać. Tekst wprowadzamy w okienku, które otwiera
się po kliknięciu prawym przyciskiem myszy. Pole z tekstem można przeciągnąć w dowolne
miejsce.
Uruchom program i wykonaj powyżej opisane czynności.
Poniższy obraz ilustruje problem:
Wnioski (hipotezy):
Wnioskujemy, że aby konferencja była opłacalna, musi w niej uczestniczyć więcej niż 100 osób.
Zadania do samodzielnej pracy:
Zadanie 1.
Spróbuj z powyżej omawianego zadania zamkniętego uczynić zadanie otwarte, wymagające
przeprowadzenia symulacji. Możesz tego dokonać przez uzmiennienie którejś wielkości (np. kwoty,
jaką wpłaca uczestnik) i potraktowanie jej jako parametru.
Zadanie 2.
Spółdzielnia lekarska zatrudnia kilka osób do prowadzenia ewidencji pacjentów, za co płaci
1 zł od każdego przyjętego pacjenta. Szef spółdzielni uważa, że należy skomputeryzować te prace i
rozważa dwie opcje:
1. leasing komputera z oprogramowaniem za 1600 zł rocznie; obsługa administracyjna jednego
pacjenta kosztowałaby wtedy 0,6 zł;
2. zlecenie obsługi administracyjnej wyspecjalizowanej firmie, która żąda stałej opłaty 300 zł
rocznie oraz 0,8 zł za jednego pacjenta.
Spółdzielnia przyjmuje rocznie około 3000 pacjentów. Co doradziłbyś szefowi spółdzielni?