Synchronizacja w systemach cyfrowych
Transkrypt
Synchronizacja w systemach cyfrowych
Synchronizacja w systemach cyfrowych Materiały pomocnicze Przemysław Dymarski, Sławomir Kula, R.Schoeneich 1 Synchronizacja elementowa i strukturalna W teletransmisyjnych synchronicznych systemach cyfrowych jednym z podstawowych zadań warunkujących poprawne działanie zestrojów jest zapewnienie synchronizmu pracy systemu odbiorczego i nadawczego. Proces doprowadzania zestrojów do synchronizmu nazywany jest synchronizowaniem lub synfazowaniem. Synchronizowanie systemów cyfrowych ma na celu nieomal zawsze zapewnienie zarówno synchronizacji elementowej, jak i strukturalnej. Synchronizacja elementowa systemu jest zapewniona wówczas, gdy po stronie odbiorczej odtworzono częstotliwość i fazę zegara taktującego nadajnika. Istnienie synchronizacji elementowej jest warunkiem koniecznym dalszego synchronizowania zestrojów. Synchronizacja strukturalna umoŜliwia prawidłową interpretację odbieranej informacji binarnej. W ciągu odebranych bitów system musi potrafić rozróŜnić znaczenie kolejnych bitów np. numer bitu w bajcie, bity kanału sygnalizacyjnego itp. Synchronizacja strukturalna dotyczy z reguły grup N-elementów (bitów) o znanej strukturze, często zwanych ramkami, ale nieznanym połoŜeniu w ciągu odebranych bitów. Stąd proces synchronizacji strukturalnej nazwany jest synfazowaniem lub fazowaniem ramki, gdyŜ w przeciwieństwie do synchronizowania elementowego, gdzie odtwarza się okres i fazę zegara taktującego, okres powtarzania ramek jest znany i wynosi NT (gdzie T - jest okresem zegara taktującego), a niezaleŜna jest ich faza. Na rys.1 przedstawiono graficznie przypadek braku synchronizacji ramki (synchronizacja elementowa jest zachowana). Rysunek 1 Graficzna interpretacja braku synchronizacji ramki. 1 Aby umoŜliwić kontrolę synchronizacji i jej odzyskiwanie, w strukturę sygnału nadawanego wprowadza się dodatkowe bity zwane bitami synchronizacji. Ze względu na rozmieszczenie bitów synchronizacyjnych dokonywany jest następujący podział metod synchronizowania systemów cyfrowych: • Metody bitów rozproszonych, gdy bity synchronizacji są rozmieszczone pojedynczo, w równych odstępach wewnątrz ramki ( rys. 2a), Metody bitów skupionych, gdy wszystkie bity synchronizacji tworzą M-bitowy ciąg w • wybranym miejscu ramki ( rys. 2b). Rysunek 2 Sygnał binarny z wzorem synchronizacji a) rozproszonym, b) skupionym (M=4) 2 Układ synchronizacji ramki i jego podstawowe parametry Układ zapewniający synchronizacje składa się z dwóch, niekiedy zupełnie niezaleŜnych części: • Układu wykrywania braku synchronizacji, czyli układu alarmowania w przypadku utraty synchronizacji. Działanie tego układu oparte jest na zasadzie sprawdzania określonego wzoru synchronizacji. • Układu poszukiwania synchronizacji, uruchamianego w przypadku jej utraty lub w trakcie nawiązywania łączności. 2.1 Układ poszukiwania synchronizacji Układ poszukiwania synchronizacji winien zapewnić odszukanie wzoru (sekwencji) synchronizacyjnej w jak najkrótszym czasie w warunkach duŜych zakłóceń (duŜa elementowa stopa błędów, tzn. prawdopodobieństwo przekłamania pojedynczego bitu Pe ). Są to postulaty sprzeczne - duŜa stopa błędów wymusza długi czas działania układu, aby zapewnić określoną pewność jego działania. Nawet w warunkach bezbłędnej transmisji układ nie zawsze zapewnia znalezienie wzoru synchronizacji w jednym cyklu pracy two (obejmującym najczęściej kilka do kilkudziesięciu ramek), gdyŜ poszukiwana sekwencja moŜe wystąpić 2 przypadkowo w ciągu bitów informacyjnych (bitów danych). Jest to tzw. symulacja wzoru synchronizacji ( rys.3). Rysunek 3 Graficzna ilustracja symulacji sekwencji synchronicznej. W związku z tym mówi się o średnim czasie poszukiwania synchronizacji tw oraz o odchyleniu standardowym σ w tego czasu od wartości średniej. Umownie określa się czas maksymalny poszukiwania synchronizacji jako twm = tw + 3σ w . Wielkości tw i σ w zaleŜą od następujących prawdopodobieństw charakteryzujących działanie układu poszukiwania synchronizacji: Pzp - prawdopodobieństwo znalezienia prawidłowego wzoru synchronizacji w 1 cyklu pracy, Pzf - prawdopodobieństwo omyłki, tj. wybrania fałszywego wzoru synchronizacji, spowodowane przypadkowym wystąpieniem poszukiwanej sekwencji w bitach danych, przy jednoczesnym przekłamaniu bitów sekwencji synchronizacyjnej, Pnz - prawdopodobieństwo nie znalezienia wzorca synchronizacji w 1 cyklu pracy spowodowane niespełnieniem określonego warunku przy duŜej stopie błędów Pe . JeŜeli załoŜymy Pzf ≈ 0 wówczas 1 1 jest średnią liczbą cykli pracy potrzebnych = Pzp 1 − Pnz do znalezienia wzoru synchronizacji, czyli tw = two . W przypadku omyłki ( Pzf ≠ 0 ) sytuacja Pzp się komplikuje, gdyŜ następuje dodatkowe opóźnienie tsp , konieczne dla wykrycia braku synchronizacji. W tej sytuacji średni czas poszukiwania synchronizacji moŜe być określony przy uŜyciu grafu [3] w następujący sposób: Konstruujemy graf jak na rys. 4. Węzeł wejściowy B oznacza stan poszukiwania synchronizacji, natomiast węzeł wyjściowy A znalezienie prawidłowego wzoru synchronizacji. Gałęzie oznaczają poszczególne zdarzenia i posiadają transmitancje równe Pzt , gdzie P – prawdopodobieństwo danego zdarzenia, t –jego czas trwania. Np. z węzła B do A prowadzi gałąź transmitancji 3 Pzp z two , gdyŜ prawdopodobieństwo znalezienia prawidłowej sekwencji synchronicznej w podstawowym cyklu pracy two wynosi Pzp . Pozostałe zdarzenia (omyłka i brak decyzji) reprezentowane są gałęziami skierowanymi do węzła B, gdyŜ po ich wystąpieniu kontynuowane jest poszukiwanie synchronizacji. Rysunek 4 Graf dla wyznaczenia średniego czasu poszukiwania synchronizacji. Po skonstruowaniu grafu określamy transmitancję od wejścia do węza A. W naszym przypadku: T ( z) = z two Pzp t +tsp 1 − z two Pnz − z wo Pzf Średni czas pozostawania w węźle wejściowym B. tzn. średni czas poszukiwania synchronizacji określamy ze wzoru: tw = dT ( z ) dz z =1 W naszym przypadku tw = two + 2.2 Pzf Pnz two + (two + tsp ) Pzp Pzp Układ wykrywania braku synchronizacji Działanie układu polega na sprawdzeniu określonego wzoru synchronizacji. Rezultatem działania układu jest potwierdzenie wzoru lub zaalarmowanie, tj. przejście do algorytmu poszukiwania synchronizacji. Dobry układ winien jak najszybciej alarmować w przypadku braku synchronizacji (jak najkrótszy czas wykrywania braku synchronizacji tsp ) oraz jak najdłuŜej potwierdzać prawidłowy wzór synchronizacji, nawet w warunkach duŜych przekłamań (jak najdłuŜszy czas utrzymywania synchronizacji tsf ). Są to najczęściej postulaty sprzeczne. 4 ZałóŜmy, Ŝe sprawdzenie wzoru synchronizacji odbywa się w czasie tso . Wzór synchronizacji moŜe zostać potwierdzony z prawdopodobieństwem Pp lub moŜe wystąpić alarm z prawdopodobieństwem Pa = 1 − Pp . Odpowiedni graf przedstawiono na rys.5. Rysunek 5 Graf układu wykrywania braku synchronizacji, A – stan zgodności wzoru synchronizacji, Bstan poszukiwania wzoru synchronizacji. Transmitancja od wejścia do węzła B wynosi: T ( z) = z tso Pa 1 − z tso Pp Średni czas pozostawania w węźle A wynosi: ts = dT ( z ) dz z =1 = tso Pa JeŜeli układ działa w warunkach synchronizacji, tzn. potwierdzany jest prawidłowy wzór synchronizacji, wówczas zaleŜy nam na jak najmniejszym prawdopodobieństwie fałszywego alarmu Pa = Paf , a co za tym idzie, na jak najdłuŜszym średnim czasie utrzymywania synchronizacji: tsf = tso Paf JeŜeli następuje utrata synchronizacji, wówczas zaleŜy nam na jak największym prawdopodobieństwie alarmu ( Pa = Pap ) i jak najkrótszym średnim czasie wykrywania braku synchronizacji: tsp = tso Pap Często określa się średni czas utraty synchronizacji twy na który składa się średni czas wykrywania braku synchronizacji tsp oraz średni czas poszukiwania synchronizacji tw : twy = tsp + tw 5 3 Metody synchronizowania systemów PCM Układy synchronizacyjne systemu PCM kontrolują istnienie synchronizmu, a w razie jego braku synchronizują system. Pod względem funkcjonalnym działanie układów moŜna podzielić na następujące bloki funkcjonalne: • Detekcja błędów synchronizacji, • Selekcja błędów, • Analiza błędów. Detekcja błędów synchronizacji przeprowadzana jest przy uŜyciu matrycy wzoru synchronizacji (rys.6a), albo za pomocą generatora sygnału synchronizacji (rys.6b). Podstawowa róŜnica pomiędzy nimi polega na tym, Ŝe w detektorze z matrycą decyzja o błędzie w sekwencji synchronizacyjnej ramki podejmowana jest po wczytaniu do rejestru przesuwnego całego sygnału zawierającego wzór synchronizacji, zaś w detektorze z generowanym sygnałem synchronizacji błędy są sygnalizowane na bieŜąco po kaŜdym błędnym bicie. NiezaleŜnie od tego, czy wzór synchronizacji jest skupiony czy rozproszony oraz typu detektora błędów moŜliwe są trzy metody poszukiwania synchronizacji. Stosując metodę z matrycą najbardziej celowe staje się zatrzymanie zegara ramki, jego ustawienie w stan początkowy i oczekiwanie na znalezienie i potwierdzenie wzoru synchronizacji, po czym zegar jest uruchamiany. 6 Rysunek 6 Detektor błędów w sygnale synchronizacji: a)detektor z matrycą wzoru synchronizacji, b) detektor z generatorem sekwencji synchronizacji. W metodzie z generowanym wzorem synchronizacji, gdy stwierdzona zostanie utrata synchronizacji i rozpocznie się poszukiwanie sekwencji synchronizacyjnej kaŜdy odebrany bit, którego wartość logiczna jest niezgodna z wzorcem synchronizacji będzie wykrywany przez detektor, a zegar ramki będzie opóźniany o jeden bit (wzór synchronizacji rozproszony), albo ustawiany w fazie początkowej tj. przesuwany o n bitów, jeŜeli błąd wystąpił na n-tej pozycji (wzór synchronizacji skupiony). Układy synchronizacji ramki moŜna podzielić równieŜ pod względem stosowanego algorytmu pracy. Algorytm powinien zawierać zabezpieczenia polegające na opóźnianiu decyzji o braku synchronizacji, aby przypadkowe błędy transmisji, mimo zachowania synchronizacji nie powodowały fałszywego przechodzenia w stan jej poszukiwania. Podobnie, gdy system utracił synchronizację, nie pierwsza wykryta sekwencja synchronizacyjna, lecz dopiero jej potwierdzenie w następnych ramkach upowaŜnia do 7 przejścia w fazę synchronizmu. Takie postępowanie wydłuŜa czas, po którym system odzyskuje synchronizację, ale pozwala uchronić się przed symulacją wzoru synchronizacji (patrz rys. 3). Na rysunku 7 przedstawiono strukturę czasową ramki i wieloramki systemu PCM 30. W systemie PCM 30 sygnał synchronizacji ramki nadawany jest tylko w ramkach oznaczonych numerami parzystymi, w pierwszej szczelinie kanałowej 1 ma następującą postać binarną: 0011011. W ramkach o numerach nieparzystych, w pierwszej szczelinie kanałowej na pozycji B2 przesyłany jest bit o wartości logicznej 1 (negacja pierwszego bitu sygnału synchronizacji). Ponadto w ramce oznaczonej R0, w szczelinie kanałowej 16 przesyłana jest czteroelementowa sekwencja synchronizacji wieloramki o postaci 0000. Rysunek 7 Struktura czasowa ramki i wieloramki systemu PCM 30 [1]. Szczegółowo przedstawiono szczelinę 0 i 16, zawierającą sygnały sygnalizacyjne poszczególnych kanałów. SK - szczelina kanałowa, KT - kanał telefoniczny, B-bit, Xi, U, Vi – bity tworzące dodatkowe kanały informacyjne, Yi – bity wykorzystywane do przesyłania informacji o utracie synchronizacji ramki lub wieloramki. 8 Rysunek 8 Graf pracy układu synchronizacji systemu PCM 30. PP - ramka parzysta z poprawnym wzorem synchronizacji, PP - ramka parzysta z błędnym wzorem synchronizacji, NN - ramka nieparzysta z poprawnym wzorem synchronizacji (drugi bit równy 1), NN - ramka nieparzysta z błędnym sygnałem synchronizacji (drugi bit równy 0), PI - ramka z wzorem synchronizacji, NI - ramka z drugim bitem 1, PI -ramka bez potwierdzonego wzoru synchronizacji, NI - ramka z drugim bitem 0, I+1 – opóźnienie o jedną ramkę. Na rysunku 8 przedstawiony jest graf pracy układu synchronizacji w systemie PCM 30. MoŜna wyróŜnić cztery stany pracy układu. Są to: • Stan utrzymywania synchronizacji (A), • Stany przedalarmowe (B), • Stan utraty synchronizacji i poszukiwania sygnału synchronizacji (C), • Stan potwierdzania poprawności znalezionego sygnału synchronizacji (D). Ze stanu pracy synchronicznej (A) do stanu alarmowego (B) następuje przejście, gdy w ramce, która powinna zawierać poprawny wzór synchronizacji pojawiają się błędy, albo gdy 9 w ramce z negacją pierwszego bitu sekwencji synchronizacyjnej odebrany bit ma wartość logiczną zero. JeŜeli następna odebrana ramka, w której powinna być sekwencja synchronizacyjna nie będzie jej posiadała to układ synchronizujący system pozostanie w stanie alarmu. Podobnie, gdy błąd będzie wykryty ponownie w ramce z zanegowanym bitem synchronizacji. JeŜeli błędy nie zostaną stwierdzone to układ wraca do stanu A pełnego synchronizmu. Dopiero α kolejnych błędów w ramkach parzystych, albo 0 kolejnych błędów w ramkach nieparzystych spowoduje wejście układu w stan utraty synchronizacji i rozpocznie się proces poszukiwania sekwencji synchronizacyjnej (stan C). NaleŜy podkreślić, Ŝe wybór liczb α i β (najczęściej α = β ) jest bardzo istotny z punktu widzenia pracy krotnicy PCM. JeŜeli liczba przejść α będzie zbyt mała to błędy transmisji mogą, przy zachowanej synchronizacji wprowadzać układ w stan C. Gdy jednak dojdzie do rzeczywistej utraty synchronizacji to przyjęcie duŜej liczby α niepotrzebnie wydłuŜy czas powrotu do stanu synchronizmu. Wyliczmy średni czas utrzymywania synchronizacji tsf . Podstawowy cykl pracy algorytmu wykrywania braku synchronizacji wynosi tso = 2 NT (gdzie: N - liczba bitów w ramce, T - okres zegara), gdyŜ wzór synchronizacji występuje w co drugiej ramce. Prawdopodobieństwo fałszywego alarmu (tj. błędnego przejścia ze stanu A do C ) moŜe być okreś1one w następujący sposób. Dla M-bitowej sekwencji synchronizacyjnej prawdopodobieństwo bezbłędnej transmisji wynosi: PM = (1 − Pe )M gdzie: Pe – elementowa stopa błędów (prawdopodobieństwo przekłamania jednego bitu). Prawdopodobieństwo wystąpienia błędu na którymkolwiek bicie sekwencji synchronizacyjnej wynosi 1 − PM natomiast prawdopodobieństwo przekłamania sekwencji synchronizacyjnej w kolejnych ramkach, a więc prawdopodobieństwo fałszywego alarmu jest dane wzorem: α α Paf = [1 − PM ] = 1 − (1 − Pe )M ≈ (MPe )α Ostatnie przybliŜenie jest słuszne dla Pe ≪ 1 . Wyprowadzony wzór obowiązuje dla ramek parzystych. W ramkach nieparzystych sprawdzany jest tylko 1 bit, którego przekłamanie w β kolejnych ramkach moŜe spowodować przejście do stanu C. Stanie się to z prawdopodobieństwem ( Pe )β a wiec o wiele mniejszym niŜ (MPe )α . Ostatecznie na średni czas utrzymywania synchronizacji wpływają ramki parzyste i słuszny jest wzór: 10 t sf = t so 2NT = = 2 N T [1 − (1 − Pe ) M ] − α Pa f Pa f W stanie C układ synchronizacji poszukuje sekwencji synchronizacyjnej w odbieranym sygnale. Po pierwszej napotkanej w sygnale odbieranym sekwencji synchronizacyjnej następuje proces potwierdzania (stan C), Ŝe wzór synchronizacji nie jest symulowany. JeŜeli w odległości jednej ramki od znalezionej sekwencji wystąpi zanegowany pierwszy bit wzoru synchronizacji to następuje teraz sprawdzenie czy pojawi się w następnej ramce wzór synchronizacji itd. aŜ do ostatecznego potwierdzenia i powrotu do stanu synchronizmu. JeŜeli jednak nie pojawi się właściwa sekwencja to układ powraca bezpośrednio do stanu C. Wyjątek stanowi wykrycie w pierwszym kroku, po znalezieniu sekwencji synchronizacyjnej ponownie wzoru synchronizacji. Przed powrotem do stanu C wprowadza się opóźnienie o czasie trwania jednej ramki, aby w ten sposób ominąć symulację wzoru synchronizacji (rys.9), co jest szczególnie niebezpieczne w transmisji danych kanałem telefonicznym, gdyŜ moŜe wówczas dochodzić do trwałej symulacji sygnału synchronizacji. Rysunek 9 Przebieg poszukiwania synchronizacji przy trwałej symulacji wzoru synchronizacji. S sekwencja symulująca wzór synchronizacji, PI, NI, D - patrz rys 8. Dla M-elementowego wzoru synchronizacji prawdopodobieństwo symulacji Psym wynosi: Psym = 2− M A prawdopodobieństwo Pδ sym : δ -krotnego powtórzenia wzoru synchronizacji w kolejno sprawdzanych ramkach jest równe: Pδ sym = 2− M δ Wartość tego prawdopodobieństwa decyduje o liczbie kroków sprawdzania poprawności znalezionego wzoru synchronizacji. Dla M = 7. prawdopodobieństwo to jest równe 0,0078. a prawdopodobieństwo dwukrotnej symulacji wynosi 0,000061 i jest na tyle małe, Ŝe wystarcza jednokrotne potwierdzenie wzoru synchronizacji ( δ =2). Czas powrotu do stanu synchronizmu, przy załoŜeniu, Ŝe ustała przyczyna błędów transmisji jest tym krótszy im dłuŜsza jest sekwencja synchronizacyjna i im krótsza jest 11 ramka. W systemie PCM 30 z parametrami M = 7, α = 3, δ = 2 i N=256 maksymalny czas tvm odzyskiwani synchronizacji wynosi [2]: tvm = 4 NT = 3,2ms. Czas ten jest wystarczająco mały, by nie zakłócać sygnałów komutacyjnych, a w transmisji sygnału mowy wprowadzać jedynie krótkotrwały trzask. 4 4.1 Algorytm synchronizacji ramki z rozproszonym wzorem synchronizacji Podstawowe załoŜenia ZałóŜmy, Ŝe ramka składa się z N bitów, z czego N - 1 są to bity informacyjne (danych), a 1 bit pełni role bitu synchronizacyjnego. Na pozycji synchronizacyjnej pojawia się w kolejnych ramkach wartość róŜna od poprzedniej, tzn. rozproszony wzór synchronizacji wynosi 01010101… Bity danych tworzą sekwencję przypadkową, przy czym prawdopodobieństwo wystąpienia jedynki i zera jest jednakowe. Celowe jest równieŜ rozpatrywanie sytuacji, w której wszystkie transmitowane bity są jednakowe (np. równe 1). Sytuacja taka występuje np. po wyłączeniu źródła informacji, w przypadku awarii itp. Sporządzone programy obliczeniowe obejmują oba przypadki (dane losowe i stałe), natomiast wyprowadzenia wzorów podano tylko dla pierwszego przypadku (dane losowe). 4.2 Algorytmy poszukiwania synchronizacji Rozpatrzmy następujący algorytm poszukiwania synchronizacji, którego podstawą jest porównanie dwóch sąsiednich ramek: Przy braku przekłamań na pozycji synchronizacyjnej s występują róŜne wartości bs1 ≠ bs2 . Do wykrycia róŜnych wartości bitów moŜna uŜyć operacji exclusive-or (XOR): 1, bi1 ≠ bi2 ci = XOR(bi1 , bi2 ) = 1 2 0, bi = bi Przy braku przekłamań na pozycji synchronizacyjnej otrzymamy cs = 1. W obecności przekłamań otrzymamy 1 gdy oba bity bs1 bs2 nie zostaną przekłamane (co stanie się z prawdopodobieństwem (1 − Pe )2 ) lub gdy oba bity zostaną przekłamane (prawdopodobieństwo Pe 2 ). Ostatecznie prawdopodobieństwo otrzymania cs = 1 wynosi: 12 P(cs = 1) = (1 − Pe )2 + Pe 2 = 1 − 2Pe + 2Pe 2 Zdarzeniem przeciwnym jest otrzymanie cs = 0 : P(cs = 0) = 1 − P(cs = 1) = 2Pe − 2Pe2 Na pozycjach danych (d) bity mają wartości losowe i otrzymanie cd = 0 oraz cd = 1 jest jednakowo prawdopodobne: P(cd = 1) = P(cd = 0) = 1 2 Wartości ci pochodzące z porównania dwóch kolejnych ramek, nie wystarczają do wykrycia pozycji synchronizacyjnej – jednak dodanie do siebie pewnej liczby n kolejnych rezultatów stanowi juŜ wystarczającą przesłankę do identyfikacji tej pozycji. Po zsumowaniu n kolejnych wartości ci na tej samej i-tej pozycji otrzymuje się wartości: n gi = ∑ ci ( k ) k =1 NaleŜy zwrócić uwagę, Ŝe kaŜda wartość ci pochodzi z dwóch ramek, wobec tego dla otrzymania gi naleŜy odczekać 2n ramek (rys. 10). Podstawowy cykl pracy wynosi więc two = 2nNT , gdzie N – liczba bitów w ramce, T - czas trwania 1 bitu. 13 Rysunek 10 Poszukiwanie synchronizacji rozproszonej (N = 8, n = 3). Przy braku przekłamań na pozycji synchronizacyjnej (i=s) otrzymamy maksymalną wartość gs = n . W obecności przekłamań moŜemy określić prawdopodobieństwo otrzymania gs = j , tzn. wystąpienia j jedynek i n - j zer w zbiorze wartości cs (1) , cs (2) ,..., cs (n) : n j n− j P( gs = j ) = [ P(cs = 1)] [ P(cs = 0)] j Przydatne będzie określenie prawdopodobieństwa, Ŝe gs ≥ j : n n k n −k P( gs ≥ j) = ∑ [ P(cs = 1)] [ P(cs = 0)] k= j k Podobnie dla jednej z N-1 pozycji danych ( i = d) moŜemy określić prawdopodobieństwo otrzymania gd = j , tzn. wystąpienia j jedynej i n - j zer w sekwencji cd (1) , cd (2) ,..., cd ( n) : n n 1 j n− j P( gd = j) = [ P(cd = 1)] [ P(cd = 0)] = n j j 2 Analogicznie: P( gd ≥ j) = 14 1 2n n ∑ k= j n k WyŜej wymienione prawdopodobieństwa dotyczą jednej wybranej pozycji danych. Bardziej interesuje nas prawdopodobieństwo otrzymania gd ≥ j na którejkolwiek z N - 1 pozycji danych. Określmy najpierw prawdopodobieństwo wystąpienia gd < j na wybranej pozycji danych: P( gd < j ) = 1 − P( gd ≥ j) = 1 − 1 2n n ∑ k= j n k Prawdopodobieństwo wystąpienia gd < j na wszystkich N - 1 pozycjach danych wynosi: Pd ( gd < j ) = [ P( gd < j )]N −1 Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tj. wystąpienia na którejkolwiek pozycji danych gd ≥ j wynosi: Pd ( gd ≥ j ) = 1 − [ P( gd < j )]N −1 = 1 − [1 − 1 n n N −1 ∑ ] 2n k = j k Rozpatrzmy dwa warianty algorytmu poszukiwania synchronizacji. Pierwszy wariant wymaga określenia progu I dla wartości g. Wartości gi , są wyliczane dla kolejnych pozycji w ramce. Po napotkaniu gi ≥ I przeszukiwanie ramki jest przerywane a pozycja, na której wystąpił w/w warunek jest określana jako synchronizacyjna. ZałóŜmy najbardziej niekorzystny przypadek, gdy prawidłowa pozycja synchronizacyjna jest testowana jako ostatnia. Pozycja ta zostanie prawidłowo zidentyfikowana, gdy wystąpi warunek gs ≥ I a jednocześnie na wszystkich pozycjach danych będzie gd < I . Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia: Pzp = P( gs ≥ I ) Pd ( gd < I ) = P( gs ≥ I ) [ P( gd < I )] N −1 Omyłka wystąpi, gdy na którejkolwiek z pozycji danych otrzymamy gd ≥ I : Pzf = Pd ( gd ≥ I ) = 1 − [ P( gd < I )] N −1 Brak decyzji będzie miał miejsce gdy na wszystkich pozycjach g < I: Pnz = P[ gs < I ]Pd [ gd < I ] = [1 − P( gs ≥ I )] [ P( gd < I )] N −1 Łatwo sprawdzić warunek Pzp + Pzf + Pnz = 1. Znając podstawowy cykl pracy two moŜna określić średni czas poszukiwania synchronizacji tw , wymaga to jednak znajomości czasu wykrywania braku synchronizacji tsp . Drugi polegał wariant na 15 algorytmu przeszukaniu całej poszukiwania ramki i synchronizacji wybraniu tej pozycji, będzie na której wartość synchronizacyjnej g osiąga maksimum. ZałóŜmy, Ŝe na pozycji pomierzono gs = j . Prawdopodobieństwo zidentyfikowania tej pozycji wynosi: Pd ( gd < j ) = [ P( gd < j)] N −1 Omyłka nastąpi, gdy na którejkolwiek pozycji danych gd ≥ j + 1 ; prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi Pd ( gd ≥ j + 1) . Brak decyzji ma miejsce, gdy na pozycjach danych wystąpi gd = j lecz nie wystąpi gd ≥ j + 1 . Stanie się to z prawdopodobieństwem: Pd ( gd ≥ j) − Pd ( gd ≥ j + 1) Uśredniając w/w prawdopodobieństwa wykrycia prawidłowej pozycji synchronizacyjnej omyłki i braku decyzji otrzymujemy wzory: n Pzp = ∑ P( gs = j) Pd ( gd < j) j =0 n Pzf = ∑ P( gs = j ) Pd ( gd ≥ j + 1) j =0 n Pnz = ∑ P( gs = j)[ Pd ( gd ≥ j ) − Pd ( gd ≥ j + 1)] j =0 4.3 Algorytmy wykrywania braku synchronizacji Algorytm wykrywania braku synchronizacji moŜe działać na identycznej zasadzie co algorytm poszukiwania synchronizacji, opisany w poprzednim punkcie. Jedyną róŜnicę stanowi fakt, Ŝe sprawdzamy nie całą ramkę, lecz tylko jedną pozycję (domniemaną pozycję synchronizacyjną). Podobnie jak w poprzednim punkcie wyliczamy wartość ci = XOR(bi1 , bi2 ) i sumujemy n kolejnych wartości ci otrzymując gi . Podstawowy cykl pracy takiego algorytmu obejmuje 2n’ ramek i wynosi: tso = 2n ' NT , gdzie N – liczba bitów w ramce, T – czas trwania 1 bitu. Algorytm wymaga określenia progu I’ dla wartości g. JeŜeli gi ≥ I ′ wówczas pozycja synchronizacyjna zostanie potwierdzona. JeŜeli gi < I ′ układ przechodzi w stan alarmowania (rozpoczyna się poszukiwanie synchronizacji). ZałóŜmy Ŝe sprawdzana jest prawidłowa pozycja synchronizacyjna (i Zmierzenie gs < I ′ oznacza fałszywy alarm. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia: 16 = s). I ' −1 I ' −1 n Paf = ∑ P( gs = j ) = ∑ [ P (cs = 1)] j [ P(cs = 0)]n− j j =0 j =0 j Średni czas utrzymywania synchronizacji wynosi tsf = tso . Paf ZałóŜmy teraz, Ŝe sprawdzamy nieprawidłową pozycję synchronizacyjną (i = d). Zmierzenie gd < I ' oznacza prawidłowy w tej sytuacji alarm, prawdopodobieństwo takiego zdarzenia: I ' −1 Pap = ∑ P( gd = j) = j =0 1 I '−1 n ∑ 2n j = 0 j Średni czas wykrywania braku synchronizacji wynosi tsp = 17 tso . Pap