Podstawy teorii decyzji

Podstawy teorii decyzji
1.
Podstawowe pojecia
¾
Parametr generowany przez przyrode¾ – (np. wielkość jutrzejszych opadów deszczu, wynik losowania itp.)
Znana funkcja gestości
¾
prawdopodobieństwa f ( )
Musimy podjać
¾ decyzje¾ d co to wartości, jaka¾ uzyska .
Funkcja strat (ang. loss function) –określa, jaki koszt poniesiemy, gdy podejmiemy decyzje¾ d, a prawdziwy parametr
bedzie
¾
mia÷wartość . Przyk÷
ady takich funkcji:
L(d; ) = jd
j
L(d; ) = (d
)2
L(d; ) =
(d
)
Ryzyko (ang. risk) –wartość oczekiwana funkcji strat
R(d) = EL(d; ) =
2.
Z
L(d; )f ( )d
Kwadratowa funkcja strat
R(d) = EL(d; ) = E (d
)2 = E(d2 2d + 2 ) =
= d2 2dE + E 2
@R(d)
@R(d)
= 2d 2E , zatem
= 0 dla d = E
@d
@d
d = E optymalna¾ decyzja¾ jest wartość oczekiwana parametru
3.
Funkcja strat typu modu÷
oznaczmy F ( ) =
R
1 f(
)d
Z
Z
d
(d
R(d) = EL(d; ) = E jd
j=
1
Z d
Z 1
= d
f ( )d
f ( )d
1
)f ( )d
Z d
f ( )d
d
1
1
d
(d
Z
)f ( )d =
1
f ( )d
d
róz·niczkujemy po d
@R(d)
= 1 [F (d)
@d
= 2F (d)
(1
F (d))] + d[f (d) + f (d)]
[df (d)
( df (d))] =
1, zatem decyzja jest optymalna gdy F (d) =
1
(mediana)
2
korzystaliśmy z de…nicji pochodnej
Z
d
f ( )d
0
= lim
h!0
1
R d+h
1
f ( )d
h
hdf (d)
= df (d)
h!0
h
Rd
1
f ( )d
= lim
h!0
R d+h
d
f ( )d
=
h
= lim
4.
Funkcja strat typu delta
R(d) = EL(d; ) =
f (d) ! max
E (d
)=
Z
1
(d
) f ( )d = f (d)
1
d
najlepsza¾ decyzja¾ jest parametr najbardziej prawdopodobny
5.
Przyk÷
adowa gra
Podajemy liczbe¾ d, automat losuje liczbe¾ z nastepuj
¾ acego
¾
rozk÷
adu
8
< 0, z prawdopodobieństwem
=
1, z prawdopodobieństwem
:
5, z prawdopodobieństwem
1
3
1
3
1
3
Gra 1) gdy musimy zap÷
acić jd
j z÷
otych
najlepsza¾ decyzja¾ (minimalizujac
¾ a¾ ryzyko) jest mediana zmiennej , czyli d = 1, wtedy
R(d ) = E jd
j = 1z÷
1
1
1
+ 0z÷ + 4z÷ = średnio 1:66z÷(mniej nie moz·na)
3
3
3
Gra 2) musimy zap÷
acić (d
)2 z÷
otych
teraz najlepsza¾ decyzja¾ (minimalizujac
¾ a¾ ryzyko) jest wartość oczekiwana zmiennej , czyli d = 2, wtedy
R(d ) = E(d
)2 = 4z÷
1
1
1
+ 1z÷ + 9z÷ = średnio 4:66z÷(mniej nie moz·na)
3
3
3
Gra 3) jeśli tra…my –wygrywamy dom i samochód
nalez·y podjać
¾ decyzje¾ d = 0, d = 1 lub d = 5, wszystkie zdarzenia
prawdopodobne, inne decyzje wykluczaja¾ szanse¾ na wygrana¾
= 0,
= 1 i
= 5 sa¾ tak samo ("najbardziej")