wykład 8

Wykład nr.8
Podstawy teorii płyt cienkich:
podstawowe pojęcia i założenia,
równanie płyty kołowosymetrycznej i jego całkowanie
Podstawowe pojęcia i założenia
płyta jest dwu wymiarowym
elementem konstrukcyjnym
którego grubość h jest mała
w stosunku do wymiaru
podstawowego R zaś
obciążenie jest prostopadłe
do powierzchni środkowej
płyty: grube h/2R>0.2 płyty: sztywne f/h<0.2
cienkie h/2R<0.2
wiotkie f/h>0.2
Założenia technicznej teorii zginania płyt
cienkich i sztywnych:
1) odcinki normalne do płaszczyzny
środkowej przed deformacją nie zmieniają
swojej długości po deformacji (hipoteza
Love’a-Kirchhoffa)
2) naprężenia normalne do powierzchni
środkowej są pomijalne małe
3) wszystkie punkty powierzchni środkowej
przemieszczają się w kierunku
prostopadłym do niej
Równanie płyty kołowo-symetrycznej
ds ≅ dr = ρ r dϕ
s ≅ r = ρθ ϕ
dw
tgϕ ≅ ϕ = −
dr
dϕ
d2w
κr =
=
=− 2
ρ r dr
dr
1
krzywizny płyty
1
ϕ
1 dw
κθ =
= =−
ρθ r
r dr
zgodnie z hipotezą Love’a-Kirchhoffa
odkształcenia wynoszą
dϕ
ε r = zκ r = z
dr
ε θ = zκ θ = z
ϕ
r
zatem naprężenia w płycie
ϕ
E
Ez  dϕ
(ε r + νε θ ) =
σr =
+ν 
2
2 
1 −ν
1 − ν  dr
r
E
Ez  dϕ ϕ 
(εθ + νε r ) =
σθ =
ν
+ 
2
2 
1 −ν
1 − ν  dr r 
wielkości statyczne przypadające na
jednostkę długości:
1 dM r
moment radiany
mr =
moment obwodowy
siła poprzeczna
r dθ
dM θ
mθ =
dr
1 dT
t=
r dθ
zatem
+h / 2
ϕ
 dϕ
+ν 
mr = σ r zdz = D
r
 dr
−h / 2
∫
+h / 2
mθ =
∫


σ θ zdz = Dν
−h / 2
dϕ ϕ 
+ 
dr r 
gdzie
Eh 3
D=
12 1 − ν 2
(
)
równanie równowagi momentów na
kierunku promieniowym
dθ
(mr + dmr )(r + dr )dθ − mr rdθ + trdrdθ + 2mθ dr sin = 0
2
po wykonaniu redukcji
dmr mr − mθ
+
= −t
dr
r
d 2ϕ 1 dϕ ϕ
t
czyli
+
− 2 =−
2
dr
r dr r
D
dokując zwinięcia lewej strony mamy
t
d  1 d (rϕ ) 
=−


D
dr  r dr 
wyrażając φ przez w dostajemy
d  1 d  dw   t
r
 =

d r  r d r  dr   D
Całkowanie równania płyty kołowosymetrycznej obciążonej ciśnieniem p
równanie równowagi
na kierunku z
πr 2 p − 2πrt = 0
pr
t (r ) =
2
d  1 d  dw  pr
r
 =

dr  r dr  dr  2 D
1 d  dw 
pr 2
r
 = C1 +
r dr  dr 
4D
pr 3
d  dw 
r
 = C1r +
dr  dr 
4D
kąt obrotu
ugięcie
momenty
zginające
r 2 pr 4
dw
= C2 + C1 +
r
dr
2 16 D
r pr 3
dw C 2
−ϕ =
=
+ C1 +
r
dr
2 16 D
r 2 pr 4
w = C3 + C2 ln r + C1 +
4 64 D
C1
C2  3 + ν 2

mr = − D (1 + ν ) − (1 − ν ) 2  −
r
2
r  16

C1
C2  1 + 3ν 2

mθ = − D (1 + ν ) + (1 − ν ) 2  −
r
2
r 
16

warunki brzegowe
ϕ (0) = 0 w(R ) = 0 ϕ (R ) = 0
ϕ (0) = 0 w(R ) = 0 mr (R ) = 0
mr (a ) = 0 w(R ) = 0 mr (R ) = 0
w(a ) = 0 ϕ (a ) = 0 mr (R ) = m
największe
naprężenia
12
6m r
σ r = 3 mr z ± h / 2 = 2
h
h
12
6mθ
σ θ = 3 mθ z ± h / 2 = 2
h
h
warunek bezpieczeństwa H-M-H
σ r2 + σ θ2 − σ rσ θ ≤ k
6
2
2
m
+
m
r
θ − mr mθ ≤ k
2
h
6
2
2
m
≤
k
gdzie
m
=
m
+
m
zred
zred
r
θ − mr mθ
2
h
Przykład: obliczyć grubość płyty h
oraz największe ugięcie f dla danych:
E=2.1x105MPa, ν=0.3, k=100MPa
ϕ (0) = 0
C2 = 0
qR 4
w (R ) = 0 C 3 =
64 D
qR 2
ϕ (R ) = 0 C1 =
16 D
momenty
zginające
[
]
q
(1 + ν )R 2 − (3 + ν )r 2
mr =
16
q
(1 + ν )R 2 − (1 + 3ν )r 2
mθ =
16
[
]
momenty zginające
w środku płyty
1 +ν
mr (0) = mθ (0) =
qR 2
16
dla
ν = 0.3
mr (0) = mθ (0) = 0.0812qR 2
ν 2
momenty
mθ (R ) = − qR
8
zginające
na
dla ν = 0.3
brzegu
2
2
(
)
(
)
m
R
=
−
0
.
125
qR
m
R
=
−
0
.
0375
qR
r
θ
płyty
qR 2
m r (R ) = −
8
moment zredukowany mzred (R ) = 0.1062 qR 2
warunek bezpieczeństwa
6 ⋅ 0.1062qR 2
≤k
2
h
h ≥ 0.252 R
minimalna grubość płyty
do obliczeń przyjęto
h = 0.3R
warunek cienkości
h
= 0.15 < 0.2
2R
sztywność płyty
Eh 3
5 (0.3R )
3
D=
=
2
.
308
⋅
10
≅
519
.
3
R
Nm
2
12 1 − ν
12
3
(
)
największe ugięcie w środku płyty
qR 4
R
f = w(0) =
≅
64 D 3323
płyta jest sztywna
f
1
1
≅
<<
h 997
5