(Microsoft PowerPoint - 4 Statystyka elektronow i dziur [tryb zgodno

4. Statystyka elektronów i dziur
Gęstość stanów
Koncentracja elektronów i dziur w półprzewodniku niezdegenerowanym
i zdegenerowanym
Półprzewodnik samoistny
Domieszkowanie, donory i akceptory
Półprzewodnik domieszkowany, zależność koncentracji swobodnych nośników
i poziomu Fermiego od temperatury
1
Gęstość stanów w paśmie
D=1
N( E ) = 2 k ( E )
D=2
1
2π
N( E ) = 2 πk 2 ( E )
D=3
1
(2 π )
2
dla kulistych powierzchni izoenergetycznych:
1  2m * 
ρ (E) =  2 
π h 
1/ 2
1
E − Ec
ρ (E) =
1  m*


π  h2 
(na jedn dł)
N( E ) = 2
4
1
πk 3 ( E )
3
( 2 π )3
h2k 2
E (k ) = Ec +
2m *
1  2m * 
ρ( E ) =


2π2  h 2 
3/2
E − Ec
(2π)3
(2π)2
1D
2D
3D
2
Gęstość stanów w paśmie przewodnictwa i walencyjnym
Gęstość stanów w paśmie walencyjnym:
m⇒ mh*; (E-Ec)⇒(Ev-E)
g(E)
pasmo przewodnictwa: g(E)~(me*)3/2(E-Ec)1/2
pasmo walencyjne: g(E)~(mh*)3/2(EV-E)1/2
Eg
pasmo walencyjne
Ev
pasmo przewodnictwa
EC
energia
Ogólniej (dla elipsoidalnych powierzchni izoenergetycznych, zdegenerowanych
pasm): masa efektywna gęstości stanów
med * = M2/3 (m xm ym z )1/3
liczba minimów
3
Przykład - struktura 2-wymiarowa
EC
3
∆EC
2
1
g 3D * LZ
E gB
g (E )
E gA
g 2D
1
∆Ev
2
GaAs
Ev
E1
Lz
AlxGa1-xAs
E2
E3
energia
GaAs
AlxGa1-xAs
laser półprzewodnikowy
warstwa buforowa
PODŁOŻE
•większe prawdopodobieństwo
emisji ekscytonowej
•mniejsza gęstość stanów
⇒
mniejsza gęstość prądu
progowego w akcji laserowej
4
Rozkład Fermiego-Diraca
prawdopodobienstwo f(E)
kBT
T =0K :
fe (E) = 1 dla E < EF
1.0
T=0
T1>0
fe (E) = 0 dla E >EF
0.5
T2>T1
0.0
EF
T > 0K
fe (E) =
energia E
EF- poziom Fermiego, f(EF) = ½
1
 E −EF 
1+ exp 

 k BT 
E-EF>>kBT:
fe(E) ≈ exp{-(E-EF)/kBT}
Dla dziur:
fh(E)= 1− fe =
1
 E F −E 
1+ exp 

k
T
B


EF-E>>kBT:
fh(E) ≈ exp{-(EF-E)/kBT}
5
Koncentracja swobodnych elektronów i dziur
w równowadze termodynamicznej
T=0 K
brak elektronów w paśmie
przewodnictwa i dziur w p.
walencyjnym
T>0
Im wyższa temperatura, tym większe
prawdopodobieństwo pojawienia się
swobodnego elektronu w pasmie przew.
i dziury w pasmie walencyjnym
6
Koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa
∞
n(E)dE = f e (E)g e (E)dE
n = ∫ n( E )dE
Ec
Półprzewodnik niezdegenerowany
7
Koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa w
równowadze termodynamicznej
Półprzewodnik niezdegenerowany
(EC-EF)>>kBT
∞
n =
∫ n(E)dE
∞
=
Ec
∫
f e (E)g
e
(E)dE
Ec
3/2
E − Ec
 2πm * k BT 
n = 2
 F1/2 (ξ ); ξ = F
2
h
kBT


F1/2 ( ξ ) =
∞
x1 / 2 dx
F1 / 2 ( ξ ) =
π ∫0 1 + exp( x − ξ )
2
π ξ
e dla eξ << 1
2
 E c − EF 
2(2πme * k B T)3/2
n = Nc exp  −
, gdzie NC =
kBT 
h3

8
Koncentracja dziur w paśmie walencyjnym w
równowadze termodynamicznej
Półprzewodnik niezdegenerowany
(EF-EV)>>kBT
Ev
p=
∫ p(E)dE =
−∞
Ev
∫ fh (E)ρh (E)dE
−∞
 2πm *h k B T 
p = 2

2
h


F (η ) =
3/ 2
F1 / 2(η);
∞
x1 / 2 dx
F1 / 2 ( η ) =
π ∫0 1 + exp( x − η )
2
η=
EF − E V
k BT
π η
e dla eη << 1
2
 EF − E v 
2(2πm *h k B T)3/2
p = Nv exp  −
, gdzie Nv =
3
k
T
h
B


9
Półprzewodnik zdegenerowany
∞
EF
Ec
Ec
n=
− E c )]
3h π
3/2
=
 E − Ec
4
Nc  F
3 π  kBT
Ev
−∞
EF
p = ∫ p(E)dE = ∫ f h (E) g h (E)dE
n = ∫ n(E)dE = ∫ ge(E)dE
8[2πm*e(E F
Ev



3/ 2
 E − EF 

p=
N v  V
k
T
3 π
B


4
3/ 2
10
Półprzewodnik samoistny
Poziom Fermiego w półprzewodniku samoistnym:
n=p


EF − EEcF== ½Eg + ¾k BTln  m *h  ≈ ½Eg
m *e 
 E 
np = ni2 = Nc Nv exp− g 
 k BT 
ni - koncentracja nośników samoistnych
np = ni2 zawsze w warunkach równowagi termodynamicznej!
Eg
ni (300 K)
~0.25 eV
1016 cm-3
InSb,PbSe
~1 eV
1010 cm-3
Ge, Si, GaAs
~4 eV
<1010 cm-3
ZnS, SiC, GaN
11
Poziom Fermiego w funkcji temperatury
w półprzewodniku samoistnym
energia
EC
me*<mh*
Ei
me*>mh*
EV
temperatura
zwykle Eg=Eg(0)-β
βT (wynika z rozszerzalności cieplnej kryształu)
12
Domieszkowanie – typ p i n
Przykład - krzem
Sb – donor (5 elektronów walencyjnych)
B – akceptor (3 elektrony walencyjne)
13
Donory i akceptory
model wodoropodobny
Płytki donor w krysztale:
εo ⇒ εεo
me ⇒ m*e (masa efektywna)
Atom wodoru:
2
En = −
e me
1
2 (4πε o )2 h 2n2
E1 = −13.6 eV
r1 =
4πε o h 2
= 0.05 nm
me e 2
Ed =
dla Ge:
rd =
E1me *
= 0.01eV
ε 2m e
r1εme
≅ 80 r1
me *
płytki poziom energetyczny w
przerwie wzbronionej
experyment:
p-Ge: m*h=0.2 me
B: 0.104 eV
Ga: 0.108 eV
p-Si: m*h=0.5 me
B: 0.045 eV
Ga: 0.068 eV
n-Ge m*e=0.2 me
P: 0.012 eV
As: 0.0127 eV
n-Si m*e=0.4 me
P: 0.045 eV
As: 0.053 eV
14
Typ n
Ed
EF
Typ p
+ + + + + + + + + + poziom donorowy
EF
Ea
+++++++++
n=Nd (wszystkie donory
zjonizowane w 300 K)
n=Ncexp{-(Ec-EF)/kBT}
p=ni2/Nd << n
Nośniki większościowe
Nośniki mniejszościowe
poziom
akceptorowy
p=Na (wszystkie akceptory
zjonizowane
p=NVexp{-(EF-EV)/kBT}
n=ni2/Na << p
1 atom na milion zastąpiony przez domieszkę
koncentracja nośników większościowych 1016 cm-3 >> ni
koncentracja nośników wiekszościowych 104 cm-3 << ni
15
Koncentracja elektronów i dziur na poziomach lokalnych
ND
+
= ND − n D ; N A
ND
nD =
1
e
2
;
E d −E F
kBT
+1
−
= NA − p A
NA
pA =
E F −E D
2e
kBT
+1
16
Półprzewodnik domieszkowany
Nd - koncentracja donorów
ND+ konc. zjonizowanych donorów
nD konc. obsadzonych donorów
warunek neutralności:
n=ND+ + p=ND-nD+p
T<Ts
EF pomiędzy poziomem domieszkowym
a krawędzią pasma
Ec − EF =
Ed kBT Nc
+
ln
2
2 2Nd
Ts<T<Ti
n=Nd
Nc
Ec − EF = kBT ln
Nd
T>Ti:
n i EF jak w półprz. samoistnym
17
Koncentracja elektronów w pasmie przewodnictwa
w funkcji temperatury (półprzewodnik domieszkowany)
niskie T
n=
tgα1 =
NcNd
exp( −Ed /2k B T)
2
tgα 2 =
pośrednie T
Ed
2k B
Eg
2k B
n=Nd
wysokie T
Nd<<n, EF ≅ Eg/2
nośniki mniejszościowe:
p=ni2/n<<ni
18
Półprzewodnik skompensowany
n − p = Nd − Na


4 ( N d − N a )n 1
1

n = ( Na + n 1 ) 1 +
− 1
2


2
(N a + n 1 )


n1 =
 E 
1
NC exp − d 
2
 k BT 
Dla dostatecznie dużych T i n1>>Na
n≈Nd-Na
19