2. lista zadań

Topologia
Matematyka WPPT
semestr letni 2010/2011
Lista 2
1. Poka», »e je»eli zbiory
AiB
s¡ ograniczone, to
A∪B
jest te» ograniczony.
C([0, 1]): fn (x) = n1 x, gn (x) = xn , hn (x) = nxn . Które
z tych ci¡gów s¡ ograniczone w metryce d∞ (f, g) = maxx∈[0,1] |f (x) − g(x)|? Które
s¡ w niej zbie»ne i do czego? Na te same pytania odpowiedz dla metryki d1 (f, g) =
R1
0 |f (x) − g(x)| dx.
2. Rozwa» nast¦puj¡ce ci¡gi w
3. W przestrzeni
ℝ2
z metryk¡ rzeka wyznacz zbiór
Ad
punktów skupienia zbioru
A = {(x, y) : x, y ∈ ℚ}.
To samo zrób dla metryki centrum.
4. Udowodnij, »e operacja pochodnej zbioru ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:
A ⊂ B ⇒ Ad ⊂ B d
(A ∪ B)d = Ad ∪ B d .
Ustal relacj¦ mi¦dzy
(A ∩ B)d
a
5. Poka», »e dla dowolnego zbioru
6. Odlegªo±¢ punktu
x∈X
Ad ∩ B d .
A przestrzeni metrycznej, Ad
od zbioru
A⊂X
jest zbiorem domkni¦tym.
w przestrzeni metrycznej
(X, d)
okre±lamy
wzorem:
d(x, A) = inf d(x, y).
y∈A
(a) Poka», »e nie jest prawdziwe nast¦puj¡ce uogólnienie warunku trójk¡ta:
d(x, y) ¬ d(x, A) + d(y, A).
(b) Wyka» jednak, »e pozostaje w mocy analogon pierwszej nierówno±ci z zadania 7. z
1. listy:
d(x, y) ­ |d(x, A) − d(y, A)|.
W jaki sposób jest mo»liwe, »e nie ma mi¦dzy nimi równowa»no±ci, skoro we wcze±niejszym zadaniu byªa?
(c) Poka», »e zbiór
F
przestrzeni metrycznej
(X, d) jest domkni¦ty wtedy i tylko wtedy,
gdy
∀x 6∈ F, d(x, F ) > 0.
7. Udowodnij, »e zbiór
A w przestrzeni metrycznej (X, d) jest otwarty wtedy i tylko wtedy,
gdy jest sum¡ pewnej rodziny kul otwartych.
8. W
ℝ2
rozwa» trzy metryki: euklidesow¡, taksówkow¡ i maksimum. Sprawd¹, »e kule
otwarte ka»dej z tych metryk s¡ zbiorami otwartymi wzgl¦dem dwóch pozostaªych metryk, a nast¦pnie wywnioskuj z tego, »e zbiory otwarte w ka»dej z tych metryk s¡ takie
same.
(X, d) oraz zbiór A ⊂ X . Oznaczmy przez dA obci¦cie
metryki d do A, tzn. dla x, y ∈ A zachodzi dA (x, y) = d(x, y). Udowodnij, »e zbiór B ⊂ A
jest zbiorem otwartym w przestrzeni (A, dA ) wtedy i tylko wtedy, gdy B = A ∩ G, gdzie
G jest zbiorem otwartym w przestrzeni (X, d).
9. Rozpatrzmy przestrze« metryczn¡