Wypór i równowaga ciał pływających po powierzchni Reakcja cieczy

Wypór i równowaga ciał pływających po powierzchni
Reakcja cieczy na ciało w niej zanurzone nazywa się wyporem. Siła wyporu działa pionowo i
skierowana jest w górę.
Wypór hydrostatyczny (można też mówić o wyporze ciała znajdującego się w przestrzeni
wypełnionej powietrzem i powodującym zmniejszenie ciężaru ciała) utożsamiamy ze składową
pionową parcia W = Py.
Rys. 1. Pływanie ciał - identyfikacja objętość części zanurzonej i objętości bryły parcia
1. Wprowadzenie
Wypór hydrostatyczny jest siłą [N]. Wypór ciała zanurzonego w cieczy zależy od rodzaju
cieczy oraz objętości zanurzonej części ciała i opisany jest wzorem:
W = γ Vb
(1)
gdzie: Vb – objętość części ciała zanurzonej w cieczy - równa bryle parcia.
Porównując ze sobą wypór W i ciężar ciała G można wyróżnić trzy przypadki: W > G, W < G
oraz W = G. Ciało pływa po powierzchni cieczy gdy nie tylko ciężar ciała jest zrównoważony
siłą wyporu ale istnieje nadwyżka siły wypory nad jego ciężarem (W > G). W przeciwnym
przypadku ciało tonie i opada na dno zbiornika (W < G). Gdy siły wyporu i ciężaru ciała
zanurzonego w cieczy zachodzi równość (W = G) to ciało może pływać w całej objętości
zbiornika nie wynurzając się na powierzchnię.
Punkty zaczepienia wypadkowych sił wyporu i ciężaru znajdują się w środkach ciężkości
odpowiednio. W zależności od wzajemnego ułożenia punktów przyłożenia wypadkowych siły
wyporu i ciężkości względem siebie można wyróżnić trzy stany równowagi ciała; równowaga
trwała, chwiejna i obojętna (Rys. 2).
Rys.2. Pływanie ciał –przykłady zaczepienia wypadkowych sił w różnych stanach równowagi:
a) równowaga chwiejna, b) trwała, c) obojętna
W przypadku gdy punkt zaczepienia siły wyporu znajduje się poniżej punktu przyłożenia siły
ciężkości siły te będą wywoływać moment obrotowy, który będzie obracał ciało wokół własnej
osi. Równowaga jest trwała gdy kierunek działania obu sił jest taki sam oraz gdy punkt
zaczepienia wyporu znajduje się wyżej niż punk zaczepienia siły ciężkości. Wynika z tego, że im
odległość pomiędzy punktami zaczepienia sił jest większy (W ponad G) to stan równowagi jest
pewniejszy i ciało można odchylić od pionu o większą wartość. Miarą pozwalającą ocenić stan
równowagi ciał pływających (W>G) i porównywać ze sobą różne obiekty jest wysokość
metacentryczna (metacentrum):
m=
Jx
−h
V
(2)
Gdzie: Jx – moment bezwładności przekroju bryły pływającego ciała względem osi obrotu, V –
objętość części zanurzonej ciała (bryły parcia), h – odległość środka wyporu od środka
ciężkości bryły (Rys. 3).
Ze wzoru (2) wynika, że parametr m jest kryterium stateczności ciał pływających (w wodzie?).
Wysokość metacentryczna uzależniona jest od kształtu i wielkości ciała oraz od rozmieszczenia
jego obciążenia:
Jx/V>0 i h<0 – równowaga trwała, po wychyleniu ciała środek ciężkości zlokalizowany jest
poniżej środka wyporu (m>0). Ciało wytrącone z równowagi wraca do stanu pierwotnego.
h>0 i h<Jx/V (2h<m??)- gdy środek ciężkości zlokalizowany jest powyżej środka wyporu
równowaga trwała tylko w tym zakresie,
h=Jx/V – wtedy m=0 i ciało jest w równowadze obojętnej.
Rys.3. Wysokość metacentryczna (dla ciał pływających)
1. Zadanie
Na dnie naczynia znajduje się sześcian o boku a=20 cm. Obliczyć wartość wyporu w przypadku
gdy:
a) położony jest na szorstkiej powierzchni i nie przylega podstawą do dna naczynia,
b) ściśle przylega podstawą do dna naczynia.
Rys.4. Schemat obliczeniowy
1.1. Rozwiązanie
Przedstawione na Rys. 4 ciała spoczywają na dnia zbiornika. Sześciany te zanurzone są w cieczy
można spodziewać się, że działa na nie siła wyporu. Jeżeli skorzystamy z tradycyjnego podejścia,
w którym wielkość Vb traktujemy jako objętość części ciała zanurzonej w cieczy możemy dojść
do niepoprawnych wyników. W takim przypadku:
a)
Vb – objętość części ciała zanurzonej w cieczy Vb = a 3
W = γ a3
b)
Vb – objętość części ciała zanurzonej w cieczy Vb = a 3
W = γ a3
Przy bardziej wnikliwym podejściu do wyporu, tj. kiedy wypór traktujemy jako składową
pionową parcia W=Py okaże się że zaprezentowane wyniki są obarczone dużą niepewnością
(błędem). Po wykonaniu wykresów składowej pionowej parcia (Rys. 5) i traktowaniu Vb jako
objętości bryły parcia okazuje się, że w przypadku drugim siła wyporu nie występuje. Co więcej
sześcian ten jest przyciskany do podłoża.
Po uwzględnieniu faktu, że wypór to inaczej składowa pionowa parcia wyniki przedstawiają się
następująco:
W = γ a3
a)
W =0
b)
Rys.5. Schemat składowej pionowej parcia Py (widok 2D w układzie 3D)
1.2. Dyskusja wyników
Kluczowym zagadnieniem przy rozstrzygnięciu o wielkości parcia w przypadku, gdy przedmiot
przylega do dna naczynia jest brak dostępu wody do dolnej powierzchni ciała. Oznacza to, że
brak jest parcia na dolną powierzchnie sześcianu. Warunek ścisłego przylegania przedmiotu do
dna naczynia może wydawać się tylko postulatem lub wręcz, że przedmiot ten jest przyklejony
do dna. W praktyce warunek braku kontaktu dolnej powierzchni z wodą a tym samym braku
parcia na dolną powierzchnie może to być spełniony w przypadku klapy zamykającej otwór
(Rys. 6).
Rys.6. Składowa pionowej parcia na klapę (widok 2D)
2. Siła wyporu w nowej roli
Skoro na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła, której wartość i kierunek działania
potrafimy określić to spróbujmy wykorzystać ją do stworzenia układu napędzanego siłą wyporu.
Pomysł na taki układ jest następujący: na bloczkach, które mogą obracać się wokół własnej osi
bez zbędnego tarcia rozciągnięty jest elastyczny pas. Jedna strona tego pasa zanurzona jest w
wodzie. Pas ten przechodzi przez otwór w dnie naczynia. Przejście to nie wytwarza oporu a
ewentualne ubytki wody są na bieżąco uzupełniane.
Na część pasa znajdującego się w wodzie działa siła wyporu W, która powoduje przesuwanie się
kolejnych jego fragmentów i obrót bloczków – zgodnie z ruchem wskazówek zegara (Rys. 7).
Rys.7. Wykorzystanie wyporu do napędu układu
Wydaje się, że zaprezentowany opis działania tego układu układa się w poprawny ciąg myślowy.
Gdy uświadomimy sobie, że wypór jest składową pionową parcia, oczywiste staje się, że ten
układ nie będzie działał. Nie będzie działał ponieważ brak jest siły napędowej. Niesłusznie
założono że istnieje wypór, w rzeczywistości W=0 ze względu na to, że Py=0 (brak składowej
pionowej parcia). Gdyby jednak udało się zmodyfikować ten układ tak aby wykorzystać siłę,
która działa na każde zanurzone w cieczy ciało stworzono by perpetuum mobile.
Nie ustawajcie w wysiłkach.
Literatura:
Błażejewski R., 1991, 100 prostych ćwiczeń z wodą i powietrzem, Wyd. Nauk.-Techn., Warszawa,
Kubrak J.,1998, Hydraulika techniczna, Wyd. SGGW, Warszawa,
Podniesiński A., 1958, Zbiór zadań z hydrauliki, PWN, Łódź.
Katedra Inżynierii Wodnej, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
[email protected]