Metody optymalizacji – Paweł Zieliński 1 Lista nr 4 – ćwiczenia 1

1
Metody optymalizacji – Paweł Zieliński
Lista nr 4 – ćwiczenia
1. Warsztat mechaniczny ma jedną tokarkę T i dwie frezarki F1 i F2 . Otrzymał zamówienie
na wykonanie trzech typów części: A, B i C. Wykonanie części każdego typu wymaga
zastosowania dwóch operacji: jednej na tokarce T a drugiej na jednej z frezarek (F1 lub
F2 ). Czas wykonania tych operacji, limity czasu pracy maszyn oraz zysk z wykonania
jednej części typu A, B lub C podaje poniższa tabela:
T
F1
F2
Zysk
A
2
6
5
60
B
1
5
5
40
C
5
3
4
35
Limit czasu
200
84
100
Sformułuj model wyboru optymalnego planu produkcji.
2. Kasjer w kantorze dysponuje tylko banknotami o nominałach 1$, 5$, 10$, 20$, 50$.
Sformułuj model minimalizujący liczbę banknotów, których wartość jest równa zadanej
kwocie.
3. Samolot transportowy może zabrać 6 typów ładunków (w każdym typie po jednym).
Wagi, objętość i zysk z przewozu podaje tabela:
Typ ładunku
1
2
3
4
5
6
Waga
5
8
3
2
1
1
Objętość
1
9
6
5
7
8
Zysk
400
750
600
550
400
800
Ładunek nie może ważyć więcej niż 21 i przekroczyć objętość 20. Jakie typy ładunków powinno się załadować, aby osiągnąć maksymalny zysk. Podać model powyższego
problemu.
4. Dany jest zbiór zadań Z = {1, . . . , n}, które mają być wykonywane na trzech dostępnych
procesorach P1 , P2 i P3 . Dla każdego zadania i ∈ Z zadany jest czas wykonywania
pi . Wszystkie czasy są dodatnimi liczbami całkowitymi. Każdy harmonogram S jest
wyznaczony przez trzy rozłączne zbiory S1 , S2 i S3 takie, że S1 ∪ S2 ∪ S3 = Z. Zadania
ze zbioru Si , i = 1, 2, 3, są wykonywane w dowolnej kolejności na i-tym procesorze.
Termin zakończenia wszystkich zadań można obliczyć następująco:
Cmax = max{
X
j∈S1
pj ,
X
j∈S2
pj ,
X
pj }.
j∈S3
Celem jest wyznaczenie harmonogramu S dla którego termin zakończenia wszystkich
zadań jest najmniejszy. Podać model powyższego problemu.
2
Metody optymalizacji – Paweł Zieliński
5. Dyspozytor MPK oszacował minimalną liczbę kierowców autobusów koniecznych do obsługi linii autobusowych w mieście. Na podstawie badania natężenia przewozów wyodrębniono sześć pór doby oraz oszacowano minimalne zapotrzebowanie na kierowców w
tych porach. Dane szczegółowe podano w poniższej tabeli:
Pora doby
Minimalna
liczba
2.00-6.00
22
6.00-10.00
55
10.00-14.00
88
14.00-18.00
110
18.00-22.00
44
22.00-2.00
33
Kierowcy mogą rozpoczynać pracę na początku każdej pory, po czym pracują przez
kolejnych 8 godzin. Sformułować model zatrudnienia kierowców minimalizujący wielkość
zatrudnienia.
6. Pewien bank szacuje możliwość swojego rozwoju na pewnym obszarze obejmującym
13 regionów. Poniższej w tabeli podane są numery sąsiednich regionów każdego z 13
regionów oraz wielkości populacji zamieszkujących każdy region.
regiony
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
populacja
19500
96000
87000
52000
233000
57000
117000
88000
106000
76000
95000
323000
175000
sąsiednie regiony
2,4
1,3,4,6,7
1,2,4,5
2,3,5,6,8
3,4,8,9,10
2,4,7,8,11
2,6,11
4,5,6,9,11
5,8,10,11,12
5,9,12
6,7,8,9,13,12
9,10,11,13
11,12
Bank może założyć swoją swoją siedzibę (bank centralny) w dowolnym regionie oraz filie
tylko w regionach sąsiadujących z bankiem centralnym.
W których regionach powinny być zlokalizowane trzy banki centralne, aby zmaksymalizować wielkość obsługiwanej populacji? Podać model dla powyższego problemu.
7. Pewna firma zamierza uruchomić produkcję pewnego importowanego artykułu. Popyt
na artykuł szacuje się na 100000 szt. Możliwe są trzy lokalizacje zakładów: A, B i C.
Koszty budowy, jednostkowe koszty produkcji oraz maksymalne zdolności produkcyjne
podano w tabeli:
Miejsca
lokalizacji
A
B
C
Koszt budowy
(mln $)
1.5
1.3
1.2
Jednostkowe
koszty produkcji w ($)
14
10
11
Maksymalna zdolność
produkcyjna
70000
60000
80000
3
Metody optymalizacji – Paweł Zieliński
(a) Gdzie należy wybudować zakłady i jaka powinna być wielkość ich produkcji, aby
łączne koszty były najmniejsze? Podać model dla tego problemu.
(b) Jak w (a) ale zapotrzebowanie na ten artykuł zgłaszają odbiorcy X i Y. Ich popyt
wynosi odpowiednio 40000 szt. i 60000 szt. natomiast jednostkowe koszty transportu (w $) podano w tabeli:
Do
Od
A
B
C
X
Y
3
2
4
2
5
1